【数学】2019届一轮复习北师大版直线与方程学案

【数学】2019届一轮复习北师大版直线与方程学案

‎ ‎ 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 直线方程 从近三年高考情况来看，对于直线的考查，一是考查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；二是考查求直线的方程，平行、垂直的判定；三是以两直线的交点坐标为背景，与其他知识相结合，求直线方程、面积、距离公式以及中心对称与轴对称的求解，需熟练掌握基础知识和公式的变形，本节知识很少单独考查，常与其他知识相结合，解题时充分利用分类讨论、数形结合的思想，掌握概念，熟记公式，对于两条直线平行、垂直的判定以及对称问题是训练的重点.‎ ‎2017新课标全国Ⅰ 14，20‎ ‎2017新课标全国II 5 , , ]‎ ‎2017新课标全国Ⅲ 13，20‎ ‎2016新课标全国Ⅰ 16‎ ‎2016新课标全国Ⅱ 20 ‎ ‎2016新课标全国III 13‎ ‎2015新课标全国Ⅰ 20[ 学 ] ‎ ‎★★★★★‎ 直线的位置关系[ 学 ]‎ ‎2017新课标全国Ⅰ 10‎ ‎2017新课标全国II 20‎ ‎2016新课标全国Ⅰ 20‎ ‎2016新课标全国III 16，20‎ ‎2015新课标全国Ⅱ 20‎ ‎★★★★‎ 考点1 直线方程 题组一 直线的倾斜角与斜率 调研1 若点P是函数f(x)＝ex－e－x－3x的图象上任意一点，设在点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 .‎ ‎【答案】∪ ‎【解析】由导数的几何意义可知，函数y＝f(x)＝ex－e－x－3x的图象上任意一点P 处切线的斜率等于该点的导函数值，而y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，即tanα≥－1.因为α∈[0，π)，所以倾斜角α的范围为∪.‎ 题组二 直线的方程 调研2 若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是 A．2 B．2 C．4 D．2 ‎【答案】C ‎【解析】解法一 ∵点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，∴‎4m＋3n－10＝0.‎ 欲求m2＋n2的最小值可先求的最小值，而表示‎4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图．‎ 当过原点的直线与直线‎4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离的最小值为2.‎ ‎∴m2＋n2的最小值为4.‎ 解法二 由题意知点(m，n)为直线上到原点最近的点，直线与两坐标轴交于A，B，‎ 直角三角形OAB中，OA＝，OB＝，斜边AB＝ ＝，‎ 斜边上的高h即为所求m2＋n2的算术平方根．‎ ‎∵S△OAB＝OA·OB＝AB·h，∴h＝＝＝2，‎ ‎∴m2＋n2的最小值为h2＝4.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1．解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯.‎ ‎2．求解直线方程时要考虑斜率不存在的情况.‎ 考点2 直线的位置关系 题组一 垂直与平行的判定 调研1 设a∈R，则“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行的充要条件为即a＝±1，故a＝－1是两直线平行的充分不必要条件.故选A．‎ 调研2 如果直线(2a＋5)x＋(a－2)y＋4＝0与直线(2－a)x＋(a＋3)y－1＝0互相垂直，则a＝‎ A．2 B．－2‎ C．2，－2 D．2，0，－2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知(2a＋5)(2－a)＋(a－2)·(a＋3)＝(2－a)·[(2a＋5)－(a＋3)]＝－(a－2)(a＋2)＝0.‎ 解得a＝±2，故选C．‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 由两直线平行或垂直求参数的值 在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.‎ 题组二 距离问题 调研3 若动点A，B分别在直线l1 x＋y－7＝0和l2 x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M 到原点的距离的最小值为 A．3 B．2 ‎ C．3 D．4 ‎【答案】A ‎【解析】依题意知AB的中点M的集合是与直线l1 x＋y－7＝0和l2 x＋y－5＝0的距离都相等的直线，‎ 则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，‎ 设点M所在直线的方程为l x＋y＋m＝0，‎ 根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 在运用两平行直线间的距离公式 时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．‎ 题组三 对称问题 调研4 已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为 A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0‎ C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率 PQ＝－1，所以直线l的斜率 ＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 对于对称问题，要分清是轴对称还是中心对称，解决的根本办法是转化为点与点之间的对称，利用坐标转移法．‎ ‎1．（湖北省稳派教育 高三上学期第二次联考）若直线与直线的倾斜角相等，则实数 A． B．1 ‎ C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合，据此有 ，‎ 求解关于实数的方程可得 . ‎ 本题选择B选项.‎ ‎2．（甘肃省兰州市 高三一诊）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎3．（四川省成都市第七中学 高三上学期模拟测试）当点到直线的距离最大时，的值为 A． B．0 ‎ C． D．1‎ ‎【答案】C ‎4．（广西南宁市第三中学2017－2018学年高三上学期期中考试）“”是“直线和直线平行”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当时，直线即3x＋2y＋6＝0，直线即，可知两直线的斜率相等，且在y轴上的截距不等，此时，两直线平行；‎ 反过来，当直线与直线平行时，能得出或．‎ 综上所述，选A． ‎ ‎5．（云南省师范大学附属中学 高三适应性月考卷（二））已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为 A．─2 B．─3 ‎ C．─4 D．─5‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴，故选D．‎ ‎6．（四川省绵阳市南山中学 高三二诊热身考试）已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为 A．1 B．2 ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题知，b＞0，且两条直线的斜率存在，因为直线 与直线互相垂直，‎ 互相垂直，所以，≥2，当且仅当b=1时取等号.‎ 故选B. ‎ ‎7．（安徽省皖南八校 高三第二次（12月）联考）已知直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的标准方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知，，，故选A．‎ ‎8．（贵州省遵义市 高三上学期第二次联考）数学家欧拉在1765年提出定理 三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎9．（ 陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试）设点，若直线与线段有一个公共点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎10．（江西省重点中学协作体 高三下学期第一次联考）已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】画出不等式组表示的可行域如下图中阴影部分所示．‎ 由题意得表示定点与可行域内的点之间的距离．‎ 由图形得，点到直线的距离即为所求． ‎ 由点到直线的距离公式可得所求最小值为．‎ ‎1．（2017新课标全国卷Ⅰ理 ）设x，y满足约束条件则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎2．（2017新课标全国卷Ⅰ理 ）已知椭圆C （a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明 l过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为 1， 2，‎ 如果l与x轴垂直，设l x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.‎ 则，得，不符合题设.‎ 从而可设l （）.将代入得 ‎. ‎ 由题设可知.‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而 ‎.‎ 由题设，故.‎ 即.‎ 解得.‎ 当且仅当时，，于是l ，即，‎ 所以l过定点（2，）. ‎ ‎3．（2015新课标全国卷Ⅰ理 ）已知椭圆C 9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.‎ ‎（1）证明 直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;‎ ‎（2）若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能,说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）当l的斜率为4－或4+时，四边形OAPB为平行四边形.‎ ‎ ‎