【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第五章　第1讲　平面向量的概念及线性运算学案

【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第五章　第1讲　平面向量的概念及线性运算学案

第 1 讲　平面向量的概念及线性运算 一、知识梳理 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共 线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． [注意]　(1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． (2)任意向量 a 的模都是非负实数，即|a|≥0. 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运 算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c) 减法 求 a 与 b 的相反向 量－b 的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当 λ>0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反； 当 λ＝0 时， λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa． 常用结论 1．两特殊向量 (1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定． (2)非零向量 a 的同向单位向量为 a |a|. 2．几个重要结论 (1)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP → ＝1 2(OA → ＋OB → )． (2)OA → ＝λOB → ＋μOC → (λ，μ为实数)，若点 A，B，C 共线，则 λ＋μ＝1. (3)若 G 为△ABC 的重心，则有 ①GA → ＋GB → ＋GC → ＝0；②AG → ＝1 3(AB → ＋AC → )． 二、教材衍化 1．已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且OA → ＝a，OB → ＝b，则DC → ＝ ， BC → ＝ ．(用 a，b 表示) 解析：如图，DC → ＝AB → ＝OB → －OA → ＝b－a，BC → ＝OC → －OB → ＝－OA → －OB → ＝－a－b. 答案：b－a　－a－b 2 ． 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， 若 |AB → ＋ AD → | ＝ |AB → － AD → | ， 则 四 边 形 ABCD 的 形 状 为 ． 解析：如图，因为AB → ＋AD → ＝AC → ，AB → －AD → ＝DB → ，所以|AC → |＝|DB → |.由对角线长相等的平 行四边形是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形． 答案：矩形 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　) (2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　) (3)若向量AB → 与向量CD → 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上．(　　) (4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 b＝λa，反之成立．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、易错纠偏 常见误区(1)对向量共线定理认识不准确； (2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误． 1．对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A.若 a＋b＝0，则 a＝－b，所以 a∥b.若 a∥b，则 a＋b＝0 不一定成立．故前 者是后者的充分不必要条件． 2．点 D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD → ＝(　　) A．－BC → ＋1 2BA → 　　　　　 B．－BC → －1 2BA → C. BC → －1 2BA → D．BC → ＋1 2BA → 答案：A 　　　　　平面向量的有关概念(师生共研) 给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； ③若 A，B，C，D 是不共线的四点，且AB → ＝DC → ，则四边形 ABCD 为平行四边形； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b. 其中真命题的序号是 ． 【解析】　①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量 相等，不一定有相同的起点和终点． ②是错误的，|a|＝|b|，但 a，b 的方向不确定，所以 a，b 的方向不一定相等或相反． ③是正确的，因为AB → ＝DC → ，所以|AB → |＝|DC → |且AB → ∥DC → ，又 A，B，C，D 是不共线的四 点，所以四边形 ABCD 为平行四边形． ④是错误的，当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，所以|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． 【答案】　③ 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象 的移动混淆． (4)非零向量 a 与 a |a|的关系： a |a|是与 a 同方向的单位向量． 1．给出下列命题： ①向量AB → 的长度与向量BA → 的长度相等； ②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a 与 b 方向相同； ④若非零向量 a 与非零向量 b 的方向相同或相反，则 a＋b 与 a，b 之一的方向相同． 其中叙述错误的命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 C.对于②：当 a＝0 时，不成立；对于③：当 a，b 之一为零向量时，不成立； 对于④：当 a＋b＝0 时，a＋b 的方向是任意的，它可以与 a，b 的方向都不相同．故选 C. 2．下列与共线向量有关的命题： ①相反向量就是方向相反的向量； ②a 与 b 同向，且|a|＞|b|，则 a＞b； ③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件． 其中错误命题的序号为 ． 解析：因为相反向量是方向相反，大小相等的两个向量，所以命题①是错误的；因为向 量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以命题②是错误的；因 为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向 量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以命题③是正确的． 答案：①② 　　　　　　平面向量的线性运算(师生共研) (1)(一题多解)(2020·合肥市第二次质量检测)在△ABC 中，BD → ＝1 3BC → ，若AB → ＝a， AC → ＝b，则AD → ＝(　　) A.2 3a＋1 3b B.1 3a＋2 3b C.1 3a－2 3b D．2 3a－1 3b (2)(2020·河南八市联考改编)在等腰梯形 ABCD 中，AB → ＝2DC → ，点 E 是线段BC → 的中点， 若AE → ＝λAB → ＋μAD → ，则 λ＝ ，μ＝ ． 【解析】　(1)通解：如图，过点 D 分别作 AC，AB 的平行线交 AB，AC 于点 E，F，则 四边形 AEDF 为平行四边形，所以AD → ＝AE → ＋AF → .因为BD → ＝1 3BC → ，所以AE → ＝2 3AB → ，AF → ＝1 3AC → ， 所以AD → ＝2 3AB → ＋1 3AC → ＝2 3a＋1 3b，故选 A. 优解一：AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋1 3BC → ＝AB → ＋1 3(AC → －AB → )＝2 3AB → ＋1 3AC → ＝2 3a＋1 3b，故选 A. 优解二：由BD → ＝1 3BC → ，得AD → －AB → ＝1 3(AC → －AB → )，所以AD → ＝AB → ＋1 3(AC → －AB → )＝2 3AB → ＋1 3AC → ＝2 3a＋1 3b，故选 A. (2)取 AB 的中点 F，连接 CF，则由题意可得 CF∥AD，且 CF＝AD. 因为AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋1 2BC → ＝AB → ＋1 2(FC → －FB → )＝AB → ＋1 2(AD → －1 2AB → )＝3 4AB → ＋1 2AD → ，所以 λ ＝3 4，μ＝1 2. 【答案】　(1)A　(2)3 4　1 2 向量线性运算的解题策略 (1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用 平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则． (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边 形或三角形中求解． 1．下列四个结论： ①AB → ＋BC → ＋CA → ＝0； ②AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → ＝0； ③AB → －AC → ＋BD → －CD → ＝0； ④NQ → ＋QP → ＋MN → －MP → ＝0. 其中一定正确的结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 C.①AB → ＋BC → ＋CA → ＝AC → ＋CA → ＝0，①正确；②AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → ＝AB → ＋MO → ＋ OM → ＝AB → ，②错；③AB → －AC → ＋BD → －CD → ＝CB → ＋BD → ＋DC → ＝CB → ＋BC → ＝0，③正确；④NQ → ＋QP → ＋MN → －MP → ＝NP → ＋PN → ＝0，④正确．故①③④正确． 2．已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足PA → ＋BP → ＋CP → ＝0，AP → ＝λPD → ，则 实数 λ 的值为 ． 解析：因为 D 为边 BC 的中点，所以PB → ＋PC → ＝2PD → ， 又PA → ＋BP → ＋CP → ＝0， 所以PA → ＝PB → ＋PC → ＝2PD → ， 所以AP → ＝－2PD → ， 所以 λ＝－2. 答案：－2 　　　　　　平面向量共线定理的应用(典例迁移) 设两个非零向量 a 与 b 不共线． (1)若AB → ＝a＋b，BC → ＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线． 【解】　(1)证明：因为AB → ＝a＋b，BC → ＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b)， 所以BD → ＝BC → ＋CD → ＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB → ， 所以AB → ，BD → 共线，又它们有公共点 B， 所以 A，B，D 三点共线． (2)因为 ka＋b 与 a＋kb 共线， 所以存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， 所以 k－λ＝λk－1＝0，所以 k2－1＝0， 所以 k＝±1. 【迁移探究】　(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则 k 为何值？ 解：因为 ka＋b 与 a＋kb 反向共线， 所以存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)， 所以{k＝λ， kλ＝1，所以 k＝±1. 又 λ<0，k＝λ，所以 k＝－1. 故当 k＝－1 时，两向量反向共线． [提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点． 1．已知向量 a 与 b 不共线，AB → ＝a＋mb，AC → ＝na＋b(m，n∈R)，则AB → 与AC → 共线的条 件是(　　) A．m＋n＝0 B．m－n＝0 C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0 解析：选 D.由AB → ＝a＋mb，AC → ＝na＋b(m，n∈R)共线，得 a＋mb＝λ(na＋b)，即{1＝λn， m＝λ， 所以 mn－1＝0. 2.(一题多解)(2020·广东六校第一次联考)如图，在△ABC 中，AN → ＝2 3NC → ，P 是 BN 上一 点，若AP → ＝tAB → ＋1 3AC → ，则实数 t 的值为(　　) A.2 3 B.2 5 C.1 6 D．3 4 解析：选 C.通解：因为AN → ＝2 3NC → ，所以AN → ＝2 5AC → .设NP → ＝λNB → ，则AP → ＝AN → ＋NP → ＝2 5AC → ＋ λNB → ＝2 5AC → ＋λ(NA → ＋AB → )＝2 5AC → ＋λ(－2 5AC → ＋AB → )＝λAB → ＋2 5(1－λ)AC → ，又AP → ＝tAB → ＋1 3AC → ，所以 t AB → ＋1 3AC → ＝λAB → ＋2 5(1－λ)AC → ，得{t＝λ 2 5（1－λ）＝1 3 ，解得 t＝λ＝1 6，故选 C. 优解：因为AN → ＝2 3NC → ，所以AC → ＝5 2AN → ，所以AP → ＝tAB → ＋1 3AC → ＝tAB → ＋5 6AN → ，因为 B，P，N 三点共线，所以 t＋5 6＝1，所以 t＝1 6，故选 C. [基础题组练] 1．向量 e1，e2，a，b 在正方形网格中的位置如图所示，则 a－b＝(　　) A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析：选 C.结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故 a－b＝e1－3e2. 2．已知平面内一点 P 及△ABC，若PA → ＋PB → ＋PC → ＝AB → ，则点 P 与△ABC 的位置关系是 (　　) A．点 P 在线段 AB 上 B．点 P 在线段 BC 上 C．点 P 在线段 AC 上 D．点 P 在△ABC 外部 解析：选 C.由PA → ＋PB → ＋PC → ＝AB → ，得PA → ＋PB → ＋PC → ＝PB → －PA → ，即PC → ＝－2PA → ，故点 P 在线段 AC 上． 3．(2020·江西南昌模拟)已知 O 是正方形 ABCD 的中心．若DO → ＝λAB → ＋μAC → ，其中 λ，μ∈ R，则λ μ＝(　　) A．－2 B．－1 2 C．－ 2 D． 2 解析：选 A.DO → ＝DA → ＋AO → ＝CB → ＋AO → ＝AB → －AC → ＋1 2AC → ＝AB－1 2AC → ，所以 λ＝1，μ＝－ 1 2，因此λ μ＝－2. 4．在△ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC → ＝3CD → ，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，若AO → ＝xAB → ＋(1－x)AC → ，则 x 的取值范围是(　　) A.(0， 1 2 ) B.(0， 1 3 ) C.(－1 2，0) D．(－1 3，0) 解析：选 D.设CO → ＝yBC → ，因为AO → ＝AC → ＋CO → ＝AC → ＋yBC → ＝AC → ＋y(AC → －AB → )＝－yAB → ＋(1 ＋y)AC → . 因为BC → ＝3CD → ，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)， 所以 y∈(0， 1 3 )， 因为AO → ＝xAB → ＋(1－x)AC → ， 所以 x＝－y，所以 x∈(－1 3，0). 5 ． 已 知 平 面 内 四 点 A ， B ， C ， D ， 若 AD → ＝ 2DB → ， CD → ＝ 1 3CA → ＋ λCB → ， 则 λ 的 值 为 ． 解析：依题意知点 A，B，D 三点共线，于是有1 3＋λ＝1，λ＝2 3. 答案：2 3 6．若|AB → |＝8，|AC → |＝5，则|BC → |的取值范围是 ． 解析：BC → ＝AC → －AB → ，当AB → ，AC → 同向时，|BC → |＝8－5＝3；当AB → ，AC → 反向时，|BC → |＝8＋ 5＝13；当AB → ，AC → 不共线时，3<|BC → |<13.综上可知 3≤|BC → |≤13. 答案：[3，13] 7．已知 D，E，F 分别为△ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且BC → ＝a，CA → ＝b，给出下 列命题：①AD → ＝1 2a－b；②BE → ＝a＋1 2b；③CF → ＝－1 2a＋1 2b；④AD → ＋BE → ＋CF → ＝0. 其中正确命题的个数为 ． 解析：BC → ＝a，CA → ＝b，AD → ＝1 2CB → ＋AC → ＝－1 2a－b，故①错； BE → ＝BC → ＋1 2CA → ＝a＋1 2b，故②正确； CF → ＝1 2(CB → ＋CA → )＝1 2(－a＋b) ＝－1 2a＋1 2b，故③正确； 所以AD → ＋BE → ＋CF → ＝－b－1 2a＋a＋1 2b＋1 2b－1 2a＝0.故④正确． 所以正确命题的序号为②③④. 答案：3 8．如图，EF 是等腰梯形 ABCD 的中位线，M，N 是 EF 上的两个三等分点，若AB → ＝ a，BC → ＝b，AB → ＝2DC → . (1)用 a，b 表示AM → ； (2)证明：A，M，C 三点共线． 解：(1)AD → ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＝a＋b＋(－1 2a )＝1 2a＋b， 又 E 为 AD 中点， 所以AE → ＝1 2AD → ＝1 4a＋1 2b， 因为 EF 是梯形的中位线，且AB → ＝2DC → ， 所以EF → ＝1 2(AB → ＋DC → )＝1 2(a＋1 2a)＝3 4a， 又 M，N 是 EF 的三等分点，所以EM → ＝1 3EF → ＝1 4a， 所以AM → ＝AE → ＋EM → ＝1 4a＋1 2b＋1 4a ＝1 2a＋1 2b. (2)证明：由(1)知MF → ＝2 3EF → ＝1 2a， 所以MC → ＝MF → ＋FC → ＝1 2a＋1 2b＝AM → ， 又MC → 与AM → 有公共点 M，所以 A，M，C 三点共线． [综合题组练] 1．已知等边三角形 ABC 内接于⊙O，D 为线段 OA 的中点，则BD → ＝(　　) A.2 3BA → ＋1 6BC → B.4 3BA → －1 6BC → C.1 6BA → ＋1 3AE → D．2 3BA → ＋1 3AE → 解析：选 A.如图所示，设 BC 的中点为 E，则 BD → ＝BA → ＋AD → ＝BA → ＋1 3AE → ＝BA → ＋1 3(AB → ＋ BE → )＝BA → －1 3BA → ＋1 3·1 2BC → ＝2 3BA → ＋1 6BC → .故选 A. 2.如图，A，B 分别是射线 OM，ON 上的点，给出下列向量：①OA → ＋2OB → ；②1 2OA → ＋1 3 OB → ；③3 4OA → ＋1 3OB → ；④3 4OA → ＋1 5OB → ；⑤3 4OA → －1 5OB → .若这些向量均以 O 为起点，则终点落在阴 影区域内(包括边界)的有(　　) A．①② B．②④ C．①③ D．③⑤ 解析：选 B.在 ON 上取点 C，使得 OC＝2OB，以 OA，OC 为邻边作平行四边形 OCDA，则OD → ＝OA → ＋2OB → ，其终点不在阴影区域内，排除 A，C；取 OA 上一点 E，作 AE＝ 1 4OA，作 EF∥OB，交 AB 于点 F，则 EF＝ 1 4OB，由于 EF<1 3OB，所以3 4OA → ＋1 3OB → 的终点不 在阴影区域内，排除选项 D. 3．(2020·广州综合测试(一))设 P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP → ＝2PA → ，则△PAB 与△PBC 的面积的比值是 ． 解析：因为CP → ＝2PA → ，所以 |CP → | |PA → | ＝2 1，又△PAB 在边 PA 上的高与△PBC 在边 PC 上的 高相等，所以S △ PAB S △ PBC＝ |PA → | |CP → | ＝1 2. 答案：1 2 4．(2020·江西临川一中、南昌二中 5 月联考)在△ABC 中，BD → ＝DC → ，AP → ＝2PD → ，BP → ＝ λAB → ＋μAC → ，则 λ＋μ＝ ． 解析：因为BD → ＝DC → ，AP → ＝2PD → ，所以 P 为△ABC 的重心． 易知 D 为 BC 的中点，所以AD → ＝1 2AB → ＋1 2AC → . 所以AD → ＝3 2AP → ＝1 2AB → ＋1 2AC → . 所以AP → ＝1 3AB → ＋1 3AC → . 所以BP → ＝AP → －AB → ＝－2 3AB → ＋1 3AC → . 因为BP → ＝λAB → ＋μAC → ，所以 λ＝－2 3，μ＝1 3，所以 λ＋μ＝－1 3. 答案：－1 3