北师大版八年级上册数学教案全集+教学工作计划
北师大版八年级
上册数学教案全集+教学工作计划
第六章:一次函数
6.1 函数
知识目标：
知道什么是常量和变量
了解函数的意义，会举出函数的实例，并能写出简单的函数关系式.
过程与方法目标：
培养学生观察、分析的能力, 培养学生会运用运动、变化的观点思考问题.
情感态度与价值观：
使学生体会事物是互相联系和有规律变化着的.
重点难点
1.常量与变量
【剖析】
（1）在某一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量．
（2）数值始终不变的量，我们称之为常量．
2. 函数定义
【剖析】
（1）一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x和 y，对于 x
的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，我们称 y 是 x 的函数．其中 x 是自变量，
y 是因变量.
（2）如果当 x=a 时,y=b,那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值.
3.函数的图像
【剖析】：一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每一对对应值分别作
为点的横、纵坐标，即(x，y)那么坐标平面内有这些点组成的图形，就是这个函
数的图像。其中点(x，y) 它的横坐标 x 表示自变量的某一个值，纵坐标 y 表示与
它对应的函数值．
典型例题展示
重难点题讲解
1.常量与变量
【例 1】写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：
(1)圆的周长 C 与半径 r 的关系式；
(2)火车以 60 千米/时的速度行驶，它驶过的路程 s（千米）和所用时间 t（时）的关系式；
(3)n 边形的内角和 S 与边数 n 的关系式．
2.根据图像确定两个变量之间的关系
【例 2】如图是某地一天内的气温变化图．
看图回答：
(1)这天的 6 时、10 时和 14 时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这
一时刻的气温．
(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
3.会判断一个表达式是不是函数关系
【例 3】下列表达式是函数吗？若是函数，指出自变量与函数，若不是函数，请说明理由：
4.能根据自变量的值求对应的函数值
【例 4】求下列函数当 时的函数值：
（1） （2） （3） （4）
易错题型讲解
【例 1】一个水池接有甲、乙、丙三个水管，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水
后关闭甲，同时打开丙，直到水池中的水排空．水池中的水量 )( 3mv 与时间 )(ht 之间
的函数关系如图，则关于三个水管每小时的水流量，下列判断正确的是（ ）
A．乙>甲 B． 丙>甲 C．甲>乙 D．丙>乙
【例 2】函数 2y x 中，自变量 x的取值范围是（ ）.
A． 2x B． 2x ≥ C． 2x D． 2x ≤
中考真题讲解
【例 1】 （2009 年贵州黔东南州）如图，在凯里一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生
测试的路程 s（米）与时间 t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线 OABC 和线段 OD，下
列说法正确的是（ ）
A.乙比甲先到终点
B.乙测试的速度随时间增加而增大
C.比赛进行到 29.4 秒时，两人出发后第一次相遇
D.比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快
【例 2】（2009 重庆綦江）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运
动至点 D停止．设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图
2 所示，则△BCD 的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
图 1
2O 5 xA B
C
P
D
图 2
【例 3】（2009 威海）如图，△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点
B与点 D 重合，点 A,BD.,E 在同一条直线上，将△ABC 沿D E 方向平移，至点 A 与点 E 重
合时停止．设点 B,D 之间的距离为 x，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为 y，则准确反映 y 与
x之间对应关系的图象是（ ）
综合技能探究
【例 1】 （2009 年牡丹江）如图，平面直角坐标系中，在边长为
1 的正方形 ABCD的边上有一动点 P沿 A B C D A 运
动一周，则P的纵坐标 y与点 P走过的路程 s之间的函数关系用图
象表示大致是（ ）
1 2 3 4
1
2
y
sO 1 2 3 4
1
2
y
sO s 1 2 3 4
1
2
y
sO1 2 3 4
1
2
y
O
A. C.
【例 2】2009 年重庆）如图，在矩形 ABCD中，AB=2， 1BC ，动点 P 从点 B 出发，
沿路线 B C D 作匀速运动，那么 ABP△ 的面积 S 与点 P 运动的路程 x之间的函数图
象大致是（ ）
D C
P
BA
例 2 图
O
3
1
1 3
S
x
A．
O
1
1 3
S
x O 3
S
x
3
O
1
1 3
S
x
B． C． D．
2
分层题型训练
（A 层）夯实基础训练
一、选择题
1. 某同学在做电学实验时，记录下电压（伏特）与电流（安培）有如下对应关系：
电流 。。。 2 4 6 8 10 。。。
电压 。。。 15 12 9 6 3 。。。
请你估计，若电流是 5 安培时，电压为（ ）伏特.
A、10.5 B、6 C、80 D、18
2.三角形的一条边长为 a，这条边上的高为 h，h 为常量，已知当 a=6 时，三角形面积 S=12，
则当 a=4 时，S的值为（ ）.
A、4 B、6 C、8 D、10
3. 某中学要在校园内划出一块面积是 100cm2的矩形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边的
长分别为 xm 和 ym，那么 y 关于 x的函数关系式可表示为（ ）.
A、y=100x B、y= 100 – x C、y=50 – x D、
4.一个正方形的周长 p（cm）与这个正方形的面积 S（cm2）之间的关系为（ ）.
A、S=4p
2
B、S= p
2
C 、
16
2ps D、
4
2ps
二、填空题
1. 用总长为 80m 的篱笆围成一个矩形场地，若矩形的面积和一边的长分别用 y与 x来表示，
那么它们之间的关系式为 y=x(40-x),在这个式子中，常量是 ,变量
是 .
2. 无线市话小灵通的通话收费标准为：前 3 分钟（不足 3 分钟按 3 分钟计）为 0.2 元，3
分钟后每分钟收 0.1 元，则一次通话时间 x 分钟（x>3）与这次通话的费用 y（元）之间的
关系式为 .
3.把方程 xy=3x-5y 改成用 x 的代数式表示 y的函数形式为 ，当 x=5 时，y 的值
为 .
4.当 x=2 时，函数 y=kx+10 与函数 y=3x+3k 的值相等，则 k 的值等于 .
三、解答题
1.分别指出下列各关系式中的常量与变量：
（1）如果等腰三角形的顶角的度数为α，那么底角的度数β与α之间的的关系式是
a
2
190 ．
（2）如果某种报纸的单价为 a元，x表示购买这种报纸的份数，那么购买报纸的总价
y（元）与 x 之间的关系式是 y=ax．
（3）n边形的内角和的度数 S与边数 n的关系式是 S=（n-2）×180.
2.如图，等腰直角△ABC 的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 10 cm，AC 与 MN 在同一直
线上，开始时 A 点与 M 点重合，让△ABC 向右运动，最后 A 点与 N 点重合．试写出重叠部
分面积 ycm2与 MA 长度 x cm 之间的函数关系式．
（B 层）拓展知识训练
一、选择题
1. 一个长方形的周长为 8cm ，若长是 xcm，宽是 ycm，则 y关于 x的函数关系式是 .
A、y = 4 +x B、y= 4 – x C、y = 8+ x D、y = 8/x
2.函数 xy
2
15 中，自变量 x 的取值范围（ ）.
A、x≥-2 B、x≥-10 C、x≤-10 D、x≤-5
3.半径是 R的圆的周长 C=2 R，下列说法正确的是（ ）.
A、C、 、R是变量 B、C 是变量，2、 、R是常量
C、R 是变量，2、 、C 是常量 D、C、R是变量，2、 是常量
4．半径为 R，圆心角为n时扇形面积的计算公式是
360
2Rns
，用这个公式计算半径为 1，2，
3，4，5，圆心角为 n的扇形面积，变量是( ).
A．n B．n，S C．R，S D．n，R，S
二、填空题
1. 每个同学购一本代数教科书，书的单价是 2 元，总金额 Y（元）与学生数 n（个）的关系
式为 .
2. 计划购买 50 元的乒乓球，所能购买的总数 n（个）与单价 a（元）的关系式为 ．
3. 声音在空气中传播的速度 v（m/s）与温度 t(℃)之间的关系式是 v＝331＋0.6t，其中常
量是___________，变量是__________________.
4. 给定了火车的速度 v =60km/h，要研究火车运行的路程 s与时间 t之间的关系．在这个问
题中，常量是_____，变量是________；若给定路程 s =100km，要研究速度 v与 t之间的关系．在
这个问题中，常量是______，变量是________．由这两个问题可知，常量与变量是________
的．
三、解答题
1. 某商店售货时，在进价的基础上加一定的利润，其数量与售价如下表：
数量 x(千克) 1 2 3 4 5 …
售价 y(元) 8+0.4 16+0.8 24+1.2 32+1.6 40+2.0 …
(1)请写出 y与 x 的关系式，并指出常量和变量；
(2)求出当数量为 6.5 千克、8 千克时的售价分别是多少?
2. 如图，一个四棱柱的底面是一个边长为 10cm 的正方形，它的高变化时，棱柱的体积也
随着变化.
（1）指出问题中的变量与常量；
（2）当高为 7cm 时，棱柱的体积；
棱柱的高由 1cm 变化到 50cm 时，它的体积由 变化成 .
（1）变量：体积、高；
（2）700
3cm
（3）100
3cm ；5000
3cm
第六章 一次函数
6.2 一次函数
学习要求
知识与技能目标：
1.理解一次函数、正比例函数的概念.
2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式．
过程与方法目标：
经历由实际问题引出一次函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系.
情感态度与价值观：
探求一次函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力培养学的应用数学的能力.
重点难点
1.正比例函数
【剖析】
（1）一般地,形如 y=kx(k 是常数且 k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中 k 叫比例系数.
2. 一次函数
【剖析】
（1）一般地,形如 y=kx+b(k,b 是常数,且 k≠0)的函数,叫做一次函数.
（2）当 b=0 时, y=kx+b 即为 y=kx,所以说正比例函数是特殊的一次函数.
典型例题
重难点题讲解
1.一次函数的判断
【例 1】下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？
(1)面积为 10cm
2
的三角形的底 a(cm)与这边上的高 h(cm)；
(2)长为 8(cm)的平行四边形的周长 L(cm)与宽 b(cm)；
(3)食堂原有煤 120 吨，每天要用去 5 吨，x 天后还剩下煤 y吨；
(4)汽车每小时行 40 千米，行驶的路程 s（千米）和时间 t（小时）．
2.一次函数、正比例函数的定义
【例 3】已知函数 y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求 k 的值．若它是一次函数，
求 k 的值．
易错题型讲解
【例 1】已知函数 y=(5m－3)x2－n2
+(n+1),当 m、n为何值时，这个函数
（1）是一次函数；
（2）是正比例函数.
【例 2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户
每月用水量不超过 6 米 3时，水费按 0.6 元/米 3收费；每户每月用水量超过 6 米 3时，超过
部分按 1 元/米 3收费.设每户每月用水量为 x 米 3，应缴水费 y 元.（1）写出每月用水量不
超过 6米 3和超过 6米 3时，y 与 x 之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数.（2）已
知某户 5 月份的用水量为 8 米 3，求该用户 5 月份的水费.
中考真题讲解
【例 1】 （2009 湖北宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水
库的蓄水量 V(万米 3)与干旱的时间 t(天)的关系如图所示，则下列说法正确的是( )．
A．干旱开始后，蓄水量每天减少 20 万米 3
B．干旱开始后，蓄水量每天增加 20 万米 3
C．干旱开始时，蓄水量为 200 万米 3
D．干旱第 50 天时，蓄水量为 1 200 万米 3
综合技能探究
【例 1】 已知 y 与 x－3 成正比例，当 x＝4 时，y＝3．
(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)y 与 x 之间是什么函数关系；
(3)求 x＝2.5 时，y 的值．
【例 2】我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入低于 800 元但低于 1300 元的部分
征收 5%的所得税……如某人某月收入 1160 元，他应缴个人工资薪金所得税为（1160-800）
×5%=18（元）
①当月收入大于 800 元而又小于 1300 元时，写出应缴所得税 y（元）与月收入 x（元）
之间的关系式。
②某人某月收入为 960 元，他应缴所得税多少元？
③如果某人本月缴所得税 19.2 元，那么此人本月工资薪金是多少元？
分层题型训练
（A 层）夯实基础训练
一、选择题
1.油箱有油 40 升，油从管道中匀速流出，100 秒可流完，油箱中剩油量 Q（升）与流出时间
t（秒）间的函数关系式是（ ）
A、Q=40－
5
2
t B、Q=40+
2
5
t C、Q=40－
2
5
t D、Q=
2
5
t
2.已知等腰三角形周长 20cm，将底边长 y（cm）表示成腰长 x（cm）的函数关系式是 y=20
－2x，则自变量 x 取值范围是（ ）
A、0＜x＜10 B、5＜x＜10 C、一切实数 D、x＞0
3.下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=
1
x
(4)y=2
-1
-3x (5)y=x
2
-1 中，是一次函数
的有（ ）
A、4 个 B、3个 C、2个 D、1 个
4.一次函数 y=kx+b 中，k为( )
A、非零实数 B、正实数 C、非负实数 D、任意实数
二、填空题
1. 某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的头两天每天收 0.8 元，以后
每天收 0.5 元，那么一张光盘在租出的第 n天（n 是大于 2 的自然数）应收租金 元.
2. 已 知 某 种 商 品 买 入 价 为 x 元 ， 销 售 价 为 y 元 ， 毛 利 率 为 45% （ 毛 利 率
= 100%
销售价-买入价
买入价
），则 y 关于 x 的函数解析式为 .
3. 已知 y=
2 8( 3) mm x ，y 是 x 的正比例函数，则 m 的值为 .
4.如果等腰三角形顶角为 x 度，底角为 y度，则 y 关于 x 的函数关系式为 .
三、解答题
1.已知 y－3 与 x 成正比例，且 x＝2 时，y＝7
(1)写出 y 与 x 之间的函数关系．
(2)y 与 x 之间是什么函数关系．
(3)计算 y＝－4 时 x 的值．
2.甲市到乙市的包裹邮资为每千克 0.9 元，每件另加手续费 0.2 元，求总邮资 y（元）与包
裹重量 x（千克）之间的函数解析式，并计算 5千克重的包裹的邮资．
3.仓库内原有粉笔 400 盒．如果每个星期领出 36 盒，求仓库内余下的粉笔盒数 Q 与星期数
t之间的函数关系．
4.今年植树节，同学们种的树苗高约 1.80 米．据介绍，这种树苗在 10 年内平均每年长高
0.35 米．求树高与年数之间的函数关系式．并算一算 4 年后同学们中学毕业时这些树约有
多高．
5.按照我国税法规定：个人月收入不超过 800 元，免交个人所得税．超过 800 元不超过 1300
元部分需缴纳 5%的个人所得税．试写出月收入在 800 元到 1300 元之间的人应缴纳的税金 y
（元）和月收入 x（元）之间的函数关系式．
（B 层）拓展知识训练
一、选择题
1. 如果每盒圆珠笔有 12 支，售价 18 元，那么圆珠笔的售价 y(元)与圆珠笔的支数 x 之间
的函数关系式是 ( )
A、y=1．5x(x 为自然数) B、y=
2
3
x(x 为自然数) C、y=12x(x 为自然数) D、y=18x(x 为自然
数)
2．正方体的棱长是 a，表面积为 S，那么 S与 a之间的函数解析式是( )
A、S=4a
2
B、S=a
3
C、S=6a
2
D、S=8a
2
3．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t (小时)(0
≤t≤4)之间的函数解析式是 ( )
A、h=4t B、h=5t C、h=20-4t D、h=20-5t
4．已知下列函数：①y=2x-1；②y=-x；③y=4x；④y=x/2。其中属于正比例函数的有( )
A、1 个 B、2 个 C、3个 D、4 个
二、填空题
1.若函数
22 mxy 是正比例函数，则 m的值是 .
2. 某商店出售一种瓜子，其售价 y（元）与瓜子质量 x（千克）之间的关系如下表
质量 x（千克） 1 2 3 4 ……
售价 y（元） 3.60+0.20 7.20+0.20 10.80+0.20 14.40+0.2 ……
由上表得 y 与 x 之间的关系式是 .
3. 某人用充值 50 元的 IC 卡从 A地向 B 地打长途电话，按通话时间收费，3 分钟内收费 2.4
元，以后每超过 1分钟加收 1 元，若此人第一次通话 t 分钟（3≤t≤45），则 IC 卡上所余的
费用 y（元）与 t（分）之间的关系式是 .
4. 如图，已知 A 地在 B地正南方 3 千米处，甲乙两人同时分 别从
A、B 两地向正北方向匀速直行，他们与 A地的距离 S（千米）与所行
的时间 t（小时）之间的函数关系图象如图所示的 AC 和 BD 给出，当
他们行走 3小时后，他们之间的距离为
千米.
三、解答题
1. 平行四边形的周长为 18cm，两条邻边不相等，其中较大的一条边长为 ycm，较小的一条
边长为 xcm．求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围。
2. 如图，长方形 ABCD 中，AB=4，BC=8．点 P 在 AB 上运动，设 PB=x，图中阴影部分的面积
为 y．
(1)写出阴影部分的面积 y 与 x 之间的函数解析式；
(2)点 P 在什么位置时，阴影部分的面积等于 20?
6.3 一次函数的图像
学习要求
知识与技能目标：
掌握一次函数的性质.
过程与方法目标：
通过一次函数的图象和性质的探究，培养学生的观察、比较、类比、联想、分析、归纳、概
括的逻辑思维能力以及培养学生的动手实践能力.
情感态度与价值观：
通过实际问题的解决．培养学生勇于探索、锲而不舍的精神,通过对一次函数图象和性
质的自主探究，让学生获得亲自参与研究探索的情感体验，从而增强学习数学的热情.
重点难点
1. 正比例函数的图像及性质
【剖析】
（1）一般地,正比例函数 y=kx(k 是常数且 k≠0) 的图像是一条经过原点的直线,我们
称它为直线 y=kx.
（2）当 k＞0 时,直线 y=kx 经过第一三象限从左向右上升,即随着 x 的增大 y 也增大;
当 k＜0 时, 直线 y=kx 经过第二四象限从左向右下降,即随着 x 的增大 y 反而减小.
（3）画正比例函数图象时，只须过原点和（1，k）画一条直线即可.
2. 一次函数的图像及性质
【剖析】
（1）,当k＞0时,直线 y=kx+b从左向右上升,即随着 x的增大 y也增大;当k＜0时, 直线 y=kx+b
从左向右下降,即随着 x 的增大 y 反而减小. 当 b＞0，直线与 y 轴交于正半轴；当 b＜0 时，
直线与 y 轴交于负半轴.
（2）一次函数 y＝kx＋b,当 x＝0 时，y＝b；当 y＝0 时，
k
bx .所以直线 y＝kx＋b 与 y
轴的交点坐标是(0,b),与 x 轴的交点坐标是
0,
k
b
.即可以通过点(0,b)和点
0,
k
b
这
两个点来画一次函数的图像.
典型例题
重难点题讲解
1.正比例函数的图像及性质
【例 1】已知正比例函数
3m2
xm21y ）（ 的图象经过第一、三象限，求 m的值
2.确定二次根式在实数范围内有意义的条件
【例 2】已知一次函数 (2 1) 5y m x m ，当 m是什么数时，函数值 y 随 x 的增大而减
小？
易错题型讲解
【易错点 1】依据图像判断自变量的取值范围
【例 1】已知 y关于 x的函数图象如图所示，则当 0y 时，自变
量 x的取值范围是（ ）
A． 0x B． 1 1x 或 2x
C． 1x D． 1x 或1 2x 1O
y
x
1 2
【易错点 2】一次函数与一次不等式的关系
【例 2】直线 1 1:l y k x b 与直线 2 2:l y k x c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所
示，则关于 x的不等式 1 2k x b k x c 的解集为（ ）．
A.x＞1 B.x＜1 C.x＞－2 D.x＜－2
中考真题讲解
【例 1】（2009 年宁波市）如图，点 A.B.C 在一次函数 2y x m 的图象上，
它们的横坐标依次为 1 ，1，2，分别过这些点作 x轴与 y轴的垂线，则图中
阴影部分的面积之和是（ ）
A．1 B．3 C．3( 1)m D．
3 ( 2)
2
m
【例 2】(2009 年四川省内江市)打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤
衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、
清洗、排水时洗衣机中的水量 y（升）与时间 x（分钟）之间满足某种函数
关系，其函数图象大致为（ ）
综合技能探究
【例 1】 已知一次函数 (1 2 ) 1y m x m ，若函数 y 随 x 的增大而减小，并且函数的
图象经过二、三、四象限，求 m 的取值范围.
【例 2】已知一次函数 (3 8) 1y m x m 的图象与 y 轴交点在 x 轴下方，且 y 随 x 的增
大而减小，其中 m 为整数.
（1）求 m 的值；
（2）当 x 取何值时，0 4y ？
分层题型训练
（A 层）夯实基础训练
x
11 2O
y
A
B
C
A B C D
·
O
y
x
t
·
O
y
x
t
·
O
y
x
t
·
O
y
x
t
一、选择题
1. 在平面直角坐标系中，函数 1y x 的图象经过（ ）.
A．一、二、三象限 B．二、三、四象限
C．一、三、四象限 D．一、二、四象限
2. 一次函数 2 3y x 的图象不经过（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 一次函数 y kx b 的图象只经过第一、二、三象限，则（ ）.
A． 0 0k b ， B． 0 0k b ，
C． 0 0k b ， D． 0 0k b ，
4. 下列函数：① y x ；② 2y x ；③
1y
x
；④
2y x ．当 0x 时，y随 x 的增大
而减小的函数有（ ）.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
1. 1.函数 y=4x 的图象经过点(0,__)和点(1,__),y 随着 x的增大而_____.
2.已知点 P(4, m) ,Q(n, -2)都在函数
3
2
y x 的图象上, 则 m=____, n=_______.
3.如果点 P(-1, 3)在过原点的一直线上,那么这条直线是______,图象过_______象限,且 y
随着 x的增大而_______.
三、解答题
1.如图,已知：正比例函数 y=2x 的图象上一点 P（1，b），过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 B，
求 SΔOPB.
（B 层）拓展知识训练
一、选择题
1. 一次函数 2y x 的图象不．经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 如图所示的计算程序中，y 与 x之间的函数关系所对应的图
象应为（ ）
xO
y
x-2
- 4
A DCB
O
4
2
y
O 2
- 4
y
xO
4
- 2
y
x
取相反数
×2
＋4
图 2
输入 x
输出 y
x
yo
P（1，b）
1
B
3. P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数 y= -x图象上的两点，则下列判断正确的是
A．y1>y2 B．y1
y2 D．当 x10，则它的图像大致是( )B
3.
4.
二、填空题
1. 已知一次函数 y＝kx＋1，当 x＝2 时，y＝5，则 k＝
2. 已知，y=y1+y2，y1与 x 成正比例，y2与成 x 反比例，并且 x=1 时 y=4，x=2 时 y=5；当 x=4
时 y=___________.
3.一次函数的图像过点 A（1，2）和点 B（－2，1），则该函数的表达式为_________.
1 5y x
3 3
4. 某油箱中存油 20 升，油从管道中匀速流出，流速为 0.2 升/分钟，则油箱中剩油量 Q（升）
与流出时间 t（分钟）的函数关系式为___________ （ ）
三、解答题
1. 已知一次函数图象经过 A（－2，－3），B（1，3）两点．
（1）求这个一次函数解析式．
（2）试判断点 P（－1，1）是否在这个一次函数的图象上？
如图 4，直线 y=x＋3 的图象与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点．直线 l 经过原点，与线段 AB
交于点 C，把△AOB 的面积分为 2：1 两部分．求直线 l 的解析式．
第五章 二元一次方程组导学案
【学习课题】 §5.1 认识二元一次方程组
班级： 姓名:
【学习目标】 1.理解二元一次方程的定义和二元一次方程的解。
2.会判断二元一次方程和二元一次方程的解。
3.会求简单的不定方程的解。
【学习重点】 1.会判断二元一次方程和二元一次方程的解。
2.会求简单的不定方程的解。
【学习过程】（一）学习准备：
1.含未知数的等式叫 ，如： 312 x
2.若方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数为 1 的整式方程，这样的方程
叫 ，如： 8743 xx
3.满足方程左右两边未知数的值叫做方程的
4.若 2x 是关于 x一元一次方程 82 ax 的解，则 a =
5.方程 8 yx 是一元一次方程吗？ ；若不是，请你把它取名叫 方程。
（二）解读教材：阅读教材 P103——P104，试解决下列问题：
6.老牛与小马
分析：审题 A：数量问题 2小马老牛
C：设老牛驮了 x个包裹，
小马驮了 y个包裹。 ）（小马老牛 121
7.二元一次方程：
定义：像方程 2 yx 和 )1(21 yx 等这类方程中，含有 个未知数，并且所含未
知数的项的次数都是 的 方程叫做 。
即时练习：下列方程是二元一次方程的是
① 312
y
x ；② 015 xy ；③ 22 yx ；
④ 03 zyx ；⑤ 32 yx ；⑥ 53 x
8.二元一次方程的解：
定义：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个
即时练习：（1）请找出是二元一次方程 8 yx 的解的是：
①
8
0
y
x
；②
5
2
y
x
；③
9
1
y
x
。
（2）已知
2
1
y
x
是二元一次方程 52 yax 的解，求 a的值。
9.二元一次方程组及方程组的解：
定义：含有 个未知数的两个 方程所组成的一组方程，叫二元一次方程组。
即时练习：下列是二元一次方程组的是（ ）
注意等号
对齐
评析：①二元一次方程的左右两边必
须是 式；②方程中必须含 个
未知数；③未知项的次数为 ，而
不是未知数的次数为 1
方程组的解应写成
by
ax
的形式，以表示它们
要同时．．取值才能使方程组成立
①
3
6
yx
yx
；②
3
2
y
x
；③
1
2
y
x
y
；④
3
2
y
xy
；⑤
4
3
zx
yx
。
定义：二元一次方程组中各个方程的 叫做这个二元一次方程组的解。
即时练习：在下列数对中：（1）
2, 5, 1, 5,
(2) (3) (4)
2, 0, 1, 2,
x x x x
y y y y
是方程
0 yx 的解的是_______；是方程 54 yx 的解的是_______；既是方程 0 yx 的
解，又是方程 54 yx 的解的是_______．（填序号）
（三）挖掘教材
10.方程 3521 nm yx 是二元一次方程，则m = ，n = 。
11.若 734 xymx 是二元一次方程，则m的取值范围是( )
A. 2m B. 0m C 3m D 1m
12.二元一次方程 72 yx 的正整数解有（ ）组
A 1 B 2 C 3 D 4
（四）反思小结：
二元一次方程中含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的整式方程；它的
形式可以写成： 0 cbyaxcbyax 或 （其中 0a ， 0b ）；二元一次方程的解
有 个。
【达标检测】
1.若 512222 mnm yx 是关于 x、 y的二元一次方程，则m = ， n = 。
2.若满足方程组
2 3
4 5 1
x y
x y
的 y 的值是 1，则该方程组的解是________．
3.在（1）
3, 1, 0
(2) (3)
0, 1, 1
x x x
y y y
这三对数值中，_______是方程 32 yx 的解，
_____是方程 12 yx 的解，因此_______是方程组
2 3
2 1
x y
x y
的解．（填序号）
【学习课题】 §5.2 求解二元一次方程组（1）——代入消元法
我们只学过一元一次方
程，想办法变成一元一次
把求出的解代入原方程组，可以
知道你解得对不对，最后写答语
自己为方程标
上序号
班级： 姓名:
【学习目标】 学会用代入消元法解二元一次方程组。
【学习重点】 会用代入法解二元一次方程组,。
一、学习准备
1.下面方程中，是二元一次方程的是（ ）
A、 1xy x B、 2 2 3x x C、 1xy D、2 1x y
2.下面 4 组数值中，是二元一次方程 2 10x y 的解的是（ ）
A、
2
6{ xy
B、
3
4{ x
y
C、
4
3{ x
y
D、
6
2{ x
y
3.二元一次方程
2 10
2{x y
y x
的解是（ ）
A、
4
3{ xy
B、
3
6{ x
y
C、
2
4{ x
y
D、
2
6{ xy
4.如： 2 5y x 叫做用 x表示 y， 3 9x y 叫做用 y表示 x。
（ 1）你能把下列方程用 x 表示 y 吗？ 2x y 则 y = ， 2 3x y 则
y = 。
（ 2）你能把下列方程用 y 表示 x 吗？ 2x y 则 x = ， 4 1y x 则
x = 。
二、解读教材
5.例 1 解下列方程
3 2 14 (1)
3 (2){ x y
x y
解：把（2）代入（1），得
3( 3) 2 14y y （注意把（1）中的 x换为 y +3 时要加括号，因为 y +3 这个整体
是 x）
3 9 2 14y y
5 5y
y =1
将 y =1 代入（2），得 x =4
所以原方程组的解是
4
1{ xy
即时练习
（1）
2 10
2{x y
y x
（2）
2 2{x y
y x
用代入法解二元一
次方程组的步骤：
1 编号 ②表示
③代入 ④解方程
⑤代回求另一个未
知数值 ⑥答语
想一想，变那个方程
我们代入时更方便
6.（1）、上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“ ”。
（2）、主要步骤是：
①将其中一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；
②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元
一次方程式；
③解这个一元一次方程；
④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解。这种
解方程组的方法称为代入消元法。简称代入法。
7.例 2
2 (1)
1 2( 1) (2){x y
x y
解：把方程（1）变形为 y = x -2 (3)
把（3）代入（2），得 1 2( 2 1)x x
x +1 = 2 6x
x =7
把 x =7 代入（3），得 y =5
所以原方程组的解是
7
5{ xy
即时练习
（1）
2 3 12
5{ x y
x y
（2）
4 3 1
1{ x y
y x
三、挖掘教材
7.怎样选择
解方程组
2 3 16 (1)
4 13 ( 2 ){ x y
x y
即时练习（1）
2 2 6
2 5{ x y
y x
（3）
3 2 9
2 3{ x y
x y
四、反思小结
变哪个方程呢？一般我们变
未知数的系数较小的那个方
程。
这节课我们学到了什么？
【达标检测】
1.把下列方程用 x表示 y，（1）3 2x y 则 （2）5 4x y 则
把下列方程用 y表示 x （1） 3 2x y 则 （2） 2 3 2x y 则
2.解下列方程组（1）
4 14
3{ x y
y x
（2）
2
2
2 3 12{
nm
m n
【学习课题】 §5.2 求解二元一次方程组（2）——代入消元法
【学习目标】会熟练运用代入消元法解二元一次方程组
【学习重点】灵活用代入法解二元一次方程组,
【侯课朗度】代入消元法的概念及步骤，
一、学习准备
1.把下列方程用 x表示 y，（1） 2x y （2） 2 5 11x y
把下列方程用 y表示 x （1） 2 3 2x y （2）3 5 21x y
2.解下列方程组（1）
5
2 8{ x y
x y
二、解读教材
3.例 1.
3 5 2 1 (1 )
2 5 1 1 ( 2 ){ x y
x y
解：由方程（2）变形得
5 11
2
yx
（3）
把（3）代入（1）得
5 113( ) 5 21
2
y y
y =3
把 y =3 代入（3）得 x =2
所以原方程组的解是
2
3{ x
y
即时练习
（1）
2 3 13
3 4 18{ x y
x y
（2）
5 3 1
2 3 7{ x y
x y
三、挖掘教材 4.运用
例 2
3 2 3 (1)
2 3
3 2 1 (2 )
2 3
{
x y
x y
即时练习：
1 2 5
3 4
1 2 1
3 4
x y
x y
解：设
3
2
x m
，
2
3
y n
则原方程组变为：
3 (3 )
1 ( 4 )
m n
m n
解方程组得 1
2
m
n
把 1
2
m
n
代入
3
2
x m
，
2
3
y n
中解得 1, 8x y
所以原方程组的解是 1
8
x
y
例 3 已知
1
1{ x
y
是方程组
2
3{ a x b y
x b y
的解，则 a,b 的值是多少？
解：把
1
1{ x
y
代入方程组中得
2 (1)
1 3 ( 2 ){a b
b
由（2）得 2b
把 2b 代入（1）得 4a
所以， 4a ， 2b
即时练习
（1）已知
1
2{ x
y
是方程组
5
3 1{ a x b y
a x b y
的解，则 a,b的值是多少？
三、反思小结
1.解二元一次方程组的思路是消元，把二元变为一元
2.解题步骤概括为三步即：①变、②代、③解、
3.由一个方程变形得到的一个含有一个未知数的代数式必须代入另一个方程中去，否则
会出现一个恒等式。
【达标检测】
1.解下列方程组
（1）
3 4 5
2 3 8{ x y
x y
（2）
6 2 14
3 153
2 2
{ x y
x y
（3）
2( 3) 3 8
5 2( 3) 18{ x y
x y
（4）
3 1 2
2 5
3 1 0
2 5
{
x y
x y
2.若已知
1
1{ x
y
是方程组
2 3
3 4{ a x b y
a x b y
的解，则
ba 的值是多少？
【学习课题】 §5.2 求解二元一次方程组（3）——加减消元法
【学习目标】1.会用加减法解二元一次方程组
2．掌握加减法解二元一次方程组的一般步骤
【学习重点】 会用加减法解二元一次方程组
【课时类型】 技能训练
一、学习准备：
1．用代入法解方程组
②
①
1152
2153
yx
yx
2．等式基本性质是：
二、解读教材
3．观察上题，两方程有何特点？除了代入消元法你还能有其他的方法消元吗？注意方程①
中的 5y 与②中的-5y 是相反数，再请注意：两个等式的两边也同时分别相加或相减，等式
仍成立吗？
解：把两个方程的两边分别相加，得：_________,解得：x=_________
把 x 的值代入①，得__________,解得 y=_____________
所以方程组
1152
2153
yx
yx
的解为
_____
_____
y
x
4.例 1 解方程组
②
①
132
752
yx
yx
剩下的工作
你可以完成
了吗？
解：②-①得：__________ ∴ y =________
把 y 代入①得： x
∴原方程组的解是
____
____
y
x
5.即时练习：解方程组
1929
327
yx
yx
5.这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
例 2 解方程组
②
①
73
534
ts
ts
解：方程②×3，得 9 213 ts ③
①＋③得： 解得： s
把 s 代入①得 t
∴原方程组的解为
______
______
t
s
即时练习：解方程组
522
534
ts
ts
三、挖掘教材：
⑴当两个方程中某一个未知数的系数是相同或互为相反数时，直接把两个方程的两边相加或
相减就可以消去一个未知数，达到消元的目的。
⑵当两个方程中某一个未知数的系数的绝对值成倍数时，需把其中一个方程的两边同时乘以
一个适当的整数，让这个未知数的系数的绝对值相等。
⑶若两个方程中两个未知数的系数不成倍数时，需要把两个方程都乘以适当的书，以便某个
未知数的系数的绝对值相等，这种情况需要先确定消哪一个未知数，一般先消去系数简单的。
例 3.解方程组
②
①
1743
1232
yx
yx
即时练习：解方程组
547
965
yx
yx
解：①×3 得： ③3696 yx
②×2 得： ④3486 yx
用③代替①，用④代替②，原方程组化为：
④
③
3486
3696
yx
yx
加减法的步骤：①编号②观察，
确定要先消去 的未知数。③把
选定的未知数的系数变成相等
或互为相反数。④把两个方程
相加（减），求出一个未知数的
值。⑤代，求另一个未知数的
值。⑥答语。
四、反思小结：
加减法的基本思路是_________________
主要步骤为： 。
【达标检测】：用加减法解下列方程组。
⑴
4929
1123
yx
yx
⑵
156
356
yx
yx
⑶
587
965
yx
yx
【学习课题】§5.2 求解二元一次方程组（4）
——用适当的方法解二元一次方程组
【学习目标】1.能灵活选择“代入法”和“加减法”解二元一次方程组。
2.会解系数比较复杂的方程组。
【学习重点】 对百分比系数和小数，分数系数方程组的整理。
【课时类型】 习题学习
一、学习准备：
1、用两种方法解下列方程组。⑴
945
123
yx
yx
法一、 法二、
二、典例示范。例 1.解方程组
8)2(5)2(4
1
3
2
2
2
yxyx
yxyx
[分析]解这个方程组的难度在于式子比较复杂，关键在于化简。
解：原方程组化简为：
892
610
yx
yx
草稿纸上化简过程如下：
去分母得： 6)2(2)2(3 yxyx
去括号得： 62436 yxyx
合并得： 610 yx
草稿纸上去括号合并就可以了
先把系数化为整数
即时练习：解方程组①
15)3(2)(3
1
53
yxyx
yx
②
6.62.16.0
7.48.05.0
yx
yx
2、例 2.解方程组
%922800%64%96
2800
yx
yx
三、归纳总结
方程组中的方程系数比较复杂时，我们应该想办法利用等式性质先作处理，然后再利用
两种消元方法解化简后的方程组。与同组的同学交流你的感想。
【达标检测】
用适当的方法解方程组。
1.
60%10%60%30
60
yx
yx
2.
12
1
3
3
4
3
0
4
2
3
1
yx
yx
3.
)2(3)9(4
73)(2
yx
yyx
4.
3
12
4
2
xxyyx
提示：注意大数的处理
【学习课题】 §5.2 求解二元一次方程组（5）——习题课
班级： 姓名:
【学习目标】1.会熟练解二元一次方程（组）。
2.会求二元一次方程的特解。
3.会求二元一次方程（组）中待定字母的值。
【学习重点】1.会求二元一次方程的特解。
2.会求二元一次方程（组）中待定字母的值。
【侯课朗读】二元一次方程的相关概念
【学习过程】
一、课前准备
1. 叫做二元一次方程。
2. 叫做二元一次方程的解。
3. 叫做二元一次方程组。
4. 叫做二元一次方程组的解。
5.解二元一次方程组的基本思想是 ，基本方法有 和 。
二、典型例题
例 1.二元一次方程 122 yx 的正整数解有 。
解：因为方程的解都为正整数，所以：
y=1 时， x=10（符合题意）；y =2 时， x =8（符合题意）；
y =3 时， X =6（符合题意）；y =4 时， x =4（符合题意）；
y=5 时， x=2（符合题意）；y=6 时， x=0（符合题意）
所以方程的正整数解为：
1
10
y
x
；
2
8
y
x
；
3
6
y
x
；
4
4
y
x
；
5
2
y
x
。
例 2.若（2x-y）(x-2y)=11,且 x. y 都是正整数，求 x, y.
例 3.已知关于 x, y 的方程组
myx
myx
10
6
的解也满足 2x-3y=11,求 m 的值，并求方程组的
解。
【达标检测】1.下列方程 52 yxxy ， 11
y
x
， 05 2 yx ， 02 yx ，
5
32
yx
中二元一次方程有 个。
2.若 353 112 mnm yx 是关于 x和 y的二元一次方程，则m = ， n = 。
3.已知
1
5.0
y
x
是方程组
12
53
byx
yax
的解，则 a = ，b = 。
。4.解下列方程组。
⑴
73
732
yx
yx
（两种方法解） （2）
6
1
63
1
52
5
nm
nm
5.（2007，山西）若
92
62
yx
yx
则 x+y=__________.
6.已知
3
0
y
x
和
7
1
y
x
是方程 ax
2
+by+3=0 的两个解,求 a. b 的值。
7.（2006，济南）若
3
2
y
x
是方程 3x-3y=m 和 5x+y=n 的公共解，则 m
2
-3n=_________.
8.（2007，武昌）如果方程组
3)1(
734
ykkx
yx
的解 x, y 相等，则 k 的值为___________.
【学习课题】 §5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
【学习目标】能找出实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组，解决简单的实际问题。
【学习重点】将题目中的等量关系进行转化，列出二元一次方程组。
【候课朗读】
一：学习准备 ： 1. 回忆列一元一次方程解应用题时的常用步骤： 、 、 、 、 、 。
2．二元一次方程组的解法有：________________、__________________。
3．解方程组①
9442
35
yx
yx
②
1
4
5
3
yx
yx
二．解读教材
4. .典型例题：
例 1：阅读课本 P115 完成“雉兔同笼” 题的分析：
A题型： B 等量关系鸡头+兔头=
C：设鸡有 x 只，兔有 y 只。 D 列
则鸡头有 兔头有
鸡脚有 兔脚有 鸡脚+兔脚=
请你完成本题的标准解答
5．即时练习 1. （ 只写分析）若两个数中,较大数的 3倍是较小数的 8 倍,较大数的一半与
较小数的差是 4,那么较大的数是多少？
分析 A题型： B 等量关系;
C 设 D 列方程组：
例 2：以绳测井,若将绳三折测之,绳多五尺；若将绳四折测之,绳多一尺，绳长,井深各
几何？分析：题目大意是
A题型： B 等量关系： + =
D 列
C 设绳长 x 尺，井深 y尺 + =
解：
三．挖掘教材 6．即时练习 2. 4 辆小卡车和 5 辆大卡车一次共可以运货物 27 吨,6 辆小卡
车和 10 辆大卡车一次共可以运货物 51 吨,问小卡车和大卡车每辆每次可运货物多少吨？
分析 A题型： B 等量关系;
C 设 D 列方程组：
四、反思小结
今天，我们学习了列方程组解应用题，应注意的是：
⑴解应用题的格式。
⑵解应用题时，等量关系如何去找？
【达标检测】
7．今有鸡兔若干,它们共有 24 个头和 74 只脚,则鸡兔各有（ ）
A.鸡 10 兔 14 B. 鸡 11 兔 13 C. 鸡 12 兔 12 D. 鸡 13 兔 11
8．一队敌人一队狗,两队并成一队走,脑袋共有八十个,却有二百条腿走,请君仔细数一数，
多少敌军多少狗？
9．某制衣厂某车间计划用 10 天加工一批出口童装和成人装共 360 件,该车间的加工能力是：
每天能单独加工童装 45 件或成人装 30 件。
（1）该车间应安排几天加工童装,几天加工成人装，才能如期完成任务？
（2）若加工童装一件可获利 80 元, 加工成人装一件可获利 120 元, 那么该车间加工完这批
服装后，共可获利多少元？
11．某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅,经过测试,同时开放 1 个大餐厅,2 个小餐厅,可供
1680 名学生就餐；同时开放 2个大餐厅,1 个小餐厅,可供 2280 名学生就餐。
(1)求 1 个大餐厅,1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
(2)若 7 个餐厅同时开放,能否供全校 5300 名学生就餐?请说明理由。
【学习课题】 §5.4 应用二元一次方程组——增收节支
【学习目标】能找出实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组，解决简单的实际问题。
【学习重点】用列表的方式分析题中的各量关系,加强学生列方程组的技能训练。
【候课朗读】
一。学习准备
1.利润=__________________________。
2.阅读课本 P117，完成“总产值、总支出”题的分析：
A题型： B 等量关系： 去年（总值）-去年（总支）=
C 设去年总产值 x 万元，总支出 y万元 D 列
则今年总产值 万元，
总支出 万元 今年（总值）-今年（总支）=
解
二．解读教材
3.典型例题
例 1：医院用甲,乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含 0．5 单位蛋白质和 1
单位铁质,每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质.若病人每餐需要 35 单位蛋白质和
40 单位铁质.那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
分析：
A题型：交叉数量型关系 B 等量关系： 甲（蛋白质）+乙（蛋白质）=
C：设甲原料 x 克，乙原料 y 克。 D 列
则甲原料含蛋白质 乙原料含蛋白质
甲原料含铁 乙原料铁 甲（铁）+乙（铁）=
解：
三．挖掘教材
4.有甲,乙两种商品，甲商品的利润率为 5%，乙商品的利润率为 4%，共获利 46 元，价格调
整后，甲商品的利润率为 4%，乙商品的利润率为 5%，共获利 44 元，则两种商品的进价各为
多少？
A题型：交叉数量型关系 B 等量关系 甲（调整前的利润）+乙（调整前的利润）=
C：设甲种商品的进价为 D 列
乙甲种商品的进价为 y 元。
则： 甲（调整前的利润） 元 甲（调整后的利润）+乙（调整后的利润）=
乙（调整前的利润） 元
甲（调整后的利润） 元
乙（调整后的利润） 元
解：
四．反思小结
5．请你写出今天学习的收获（至少两条）：
⑴
⑵
【达标检测】
6．某厂第一季度产值为 m 万元,第二季度比第一季度增加 20%,则两季度产值共有（ ）
A.（m+20%）万元 B.(m+1)20%万元 C.m(1+20%)
2
万元 D.2.2m 万元
7．某校八年级三班,四班共有95人,体育锻炼的平均达标率为60%，如果三班的达标率为40%，
四班的平均达标率为 78%,则三班有________人，四班有________人.
8．某商店准备用两种价格分别为每千克 18 元和每千克 10 元的糖果混合成杂拌糖果出售，
混合后糖果的价格是每千克 15 元。现在要配制这种杂拌糖果 100 千克，需要两种糖果各多
少千克？
9．某同学的父母用甲,乙两种形式为其存储一笔教育准备金 10000 元，甲种年利率为 2.25%，
乙种年利率为 2.5%,一年后,这名同学得到本息和共 10243.5 元,问其父母为其存储的甲,乙
两种形式的教育准备金各多少钱？
【学习课题】 §5.5 应用二元一次方程组—— 里程碑上的数
【学习目标】1：利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题，培养学生分析问题和解决
问题的能力。
2：初步体会到方程组解决实际问题的一般步骤。
【学习重点】 体验列方程组解决实际问题的过程，理解题意，找出适当的等量关系，并
列出方程组。
一、 学习准备：
1.一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b,则这两个数表示为 。
2.一个三位数，百位数字为 a,十位数字为 b,个位数字为 c,则这个三数表示为 。
二、解读教材 。
3.奇怪的数字 阅读教材 P120 引例，完成下列填空：
问题（1）：小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上 行驶。 设小明在 12.00 时看
到的十位数字是 x，个位数字是 y，那么
问题（2）：在 12.00 时小明看到的数字可表示为 。根据两个数字和是 7，可
列出方程为 。
问题（3）：在 13.00 小明看到的数字可表示为 。故 12.00～13.00 间摩托车行
驶的路程为 。
问题（4）：在 14.00 小明看到的数字可表示为 。故 13.00～14.00 间摩托车行
驶的路程为 。
问题（5）：12.00～13.00 与 13.00～14.00 两段时间内摩托车的行驶路程 ，相应
的方程为 。
问题（6）：你能列出方程组并解之吗？
4.两位数的应用题
有一个两位数，数值是数字和的 5倍，如果数值加 9，其和为这个两位数颠倒过来的两位数，
求原来的两位数。
分析：审题 A：数字问题 B：数值＝５×数字和
Ｃ：设个位数为 x，
十位数字为 y。
数值＋９＝两位数颠倒过来
写出标准解答过程：
三、 挖掘教材：
5.数值问题：数的表达及调整：
①
②
③
四位数
6.阅读教材 P121 例，回答下列问题：
表达为 ，调整后为： y xx y 表达为 。（ x为一位数，y 为一位数）
两位数
三位数 x y 表达为 ，调整后为： y x 表达为 。（ x为两位数，y 为一位数）
x y 表达为 ，调整后为： y x 表达为 。（ x为两位数，y 为两位数）
分析：审题 A：数字问题 B、
C、设较大的两位数为 x，
较小的两位数为 y。
写出标准解答过程：
四、反思小结
通过对上述两个问题的解决，你认为列二元一次方程组解决问题应该注意些什么问题？步骤
是怎样的呢？
【达标测评】
1.一个两位数，减去他的各位数之和的 3 倍，结果是 23，这个两位数除以它的各位数数之
和，商是 5，余数是 1。这两位数是多少？
2.小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个 0，得到的和为 242，而小亮
在另一个加数后面多写了一个 0，得到的和为 341。原来两个加数是多少？
【学习课题】 §5.6 二元一次方程与一次函数
【学习目标】1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系。
2.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
【学习重点】1.用图象法解二元一次方程组。
2.二元一次方程组与一次函数的关系。
3.从图象等信息，获得确定一次函数表达式的方法。
【学习过程】
一、学习准备：
1.形如 （其中 bk、 为常数且 0k ）的函数称为一次函数；当 0b 时，函数的
关系式为_________ __________k 此时， y是 x的_________函数。
2.一次函数 bkxy (k≠0)是一条与直线 kxy (k≠0)________的直线，_________反
映直线的倾斜程度，b是直线与 y轴交点的______________。
3.二元一次方程的一般表达式是_______________（其中 cba 、、 为常数，且 0,0 ba ）。
二、解读教材：
4.方程 5 yx 的解有多少个？写出其中几个。
5.在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，并检验它们在一次函数 5 xy 的图象
上吗？
6.你能在直线 5 xy 上任取一点，它的坐标是方程 5 yx 的解吗？
7.经过你的认真思考，你发现以方程 5 yx 的解为坐标的点组成的____________与一次
函数 5 xy 的图象___________。
猜一猜：一次函数 5 xy 与 12 xy 的图象的交点坐标与方程组
52
5
yx
yx
的解是
什么关系？
做一做：
8.在同直线坐标系中画出直线 5 xy ， 12 xy 并找出交点坐标。
9.快速解方程组
12
5
yx
yx
10.你的猜想正确吗？你发现了什么？
11.若直线 13 xy 与 kxy 的交点在第 4 象限，求 k的取值范围。
12.在平面直角坐标系中，如果点 4,x 在连结点（0，8）和（-4，0）的线段上，求 x的值。
13、 已知，如右图中两直线 21 ll， 的交点坐标
可以看作方程组_________________的解，请将
你的思路讲给组员听。
每个二元一次方程都可以看成
一次函数，反之，亦然。
l1
420
-3
4
2
x
l2
y
14、 一次函数 bkxy 的图象过点（1，3），（-2，-3），求这个一次函数解析式。
15.已知一个一次函数 bkxy 的图象经过点（-3， -2），（-1，
6）两点，
（1）求此一次函数的解析式。
（2）求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积。
16.已知直线 2 axy （ a＜0）与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，求常数 a的值。
反思小结：
1.求函数解析式的一般过程，可以简单称为：一列、二代、三解、四还原。
2.利用图象求函数解析式，一般先找准图象上特殊点的坐标。
3.必须熟悉函数 bkxy 的性质，即 bk、 的意义。
【学习课题】 §5.7 用二元一次方程组确定一次函数的表达式
【学习目标】1.掌握待定系数法。
2.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
【学习重点】1.二元一次方程组与一次函数的关系。
2.从图象等信息，获得确定一次函数表达式的方法。
【学习过程】
一、学习准备
1.二元一次方程组与一次函数的联系有
2.二元一次方程组的解法有
二、解读教材
阅读教材 P126,完成问题。
三、基础训练
1.下列一次函数中，y 的值随 x 值的增大而增大的是（ ）
A．y=-5x+3 B．y=-x-7 C．y= 3x - 5 D．y=- 7x +4
2.在一次函数 1 5y m x 中， y的值随 x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． 1m B． 1m C． 1m D． 1m
3.若一次函数 y = 2x + b 的图象经过点 A(-1， 4 ）， 则
b= ；该函数图象经过点 B(1，＿）和点 C（＿， 0）。
6.直线 l 是一次函数 y=kx+b 的图象，
（1）k= ，b= 。
（2）当 x=30 时，y= 。
（3）当 y=30 时, x= 。
四、例题展示
【例题 1】已知一次函数的图象经过点 A（－1，3）和点 B（2，－3），求这个一次函数的解
析式。
解：设一次函数表达式为 ,将 A（－1，3），B（2，－3）代入得
=
=
k=
b=
所以一次函数表达式为
像例 1这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个
式子的方法，叫做待定系数法。
【例题 2】：某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，
则需要购买行李票，行李票费用 y（元）是行李质量 x(千克)的一次函数，其图象如下图所
示.
(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)旅客最多可免费携带多少千克行李？
解得
五、课堂小测
1.已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是
2.已知一次函数 y=kx+5 的图象经过点（-1，2），则 k= 。
3.写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可）
（1）y随着 x 的增大而减小， （2）图象经过点（1，-3）。
4.已知一次函数 y=kx-k+4 的图象与 y 轴的交点坐标是(0，-2)，那么这个一次函数的表达式
是______________。
5.一次函数 y=kx+b 与 y=2x+1 平行,且经过点(-3,4),则表达式为：
6.A（1，4），B（2，m），C（6，－1）在同一条直线上，求 m 的值。
7.已知一次函数 y=kx+b，图像经过点 A(2,4),B(0,2)两点，且与 x轴交于点 C。
（1）求这个函数的表达式。
（2）求△AOC 的面积
8.已知一次函数的图像经过点 A（2，2）和点 B（－2，－4）
（1）求 AB 的函数表达式；
（2）求图像与 x 轴、y 轴的交点坐标 C、D，并求出直线 AB 与坐标轴所围成的面积；
（3）如果点 M（a，
2
1
）和 N（－4，b）在直线 AB 上，求 a，b 的值。
【学习课题】 *§5.8 三元一次方程（组）
班级： 姓名:
【学习目标】 1.理解三元一次方程的定义和三元一次方程的解。
2.会求三元一次方程组的解。
3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元和一元的化归思想。
【学习重点】 1.会解简单的三元一次方程组。
2.进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等
重要方法。
【学习过程】
一、学习准备：
1.什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？
2.解二元一次方程组的基本思路是 ，基本方法有 和 。
二、阅读： 72 zyx 是二元一次方程吗？你认为它应该是 。
3.含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1次的整式方程，叫做三元一次方程。
4.含有三个未知数，并且每个方程中含未知数的项的次数都是 1 次，这样的方程组叫三元
一次方程组。
如：
yx
zyx
zyx
4
2252
12
即时练习：下列是三元一次方程组的是（ ）
①
3
6
yx
yx
②
4
3
zx
yx
③
3
2
1
zx
yx
xy
5.三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的指导思想是“消元”，具体方法是代入法和加减法。
三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程。
三、反思小结：解三元一次方程组的基本思路是 ，基本步骤是：
【达标检测】
解下列方程组
① ②
【资源链接】已知 ， ，求 的值。
注意事项：①区分未知数的次数与含未
知数的项的次数。②组成三元一次方程
组的方程不一定都是三元一次方程。
北师大版八年级上册数学教案
北师大版八年级上册数学教案分享，一起来看看吧。
八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理
的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方
法，但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远
不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认
识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，
探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探
究能力有待加强．
本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八
年级(上)第一章《勾股定理》第一节第 1 课时. 勾股定理揭
示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联
系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节
是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的
基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续
性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，
其中蕴涵着丰富的科学与人文价值．
为此本节课的教学目标是：
1．用数格子的办法体验勾股定理的探索过程并理解
勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步
运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学
思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．
3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；
进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
4．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；
通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，
热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习．
本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，
引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股
定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作
业．
第一环节：创设情境，引入新课
内容：2002 年世界数学家大会在我国北京召开，投影
显示本届世界数学家大会的会标：
会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，
数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联
系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．
意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.
效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.
内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积
角度观察图形：
问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系
吗！
学生通过观察，归纳发现：
结论 1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方
形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生
感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论
1，为探究活动二作铺垫.
效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，
培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得
到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.
2．探究活动二
内容：由结论 1 我们自然产生联想：一般的直角三角
形是否也具有该性质呢！
观察下面两幅图：
填表：
A 的面积
B 的面积
C 的面积
左图
右图
你是怎样得到正方形 C 的面积的！与同伴交流．
学生的方法可能有：
方法一：
如图 1，将正方形 C 分割为四个全等的直角三角形和
一个小正方形， ．
方法二：
如图 2，在正方形 C 外补四个全等的直角三角形，形
成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面
积， ．
方法三：
如图 3，正方形 C 中除去中间 5 个小正方形外，将周
围部分适当拼接可成为正方形，如图 3 中两块红色部分可拼
成一个小正方形，按此拼法， ．
分析填表的数据，你发现了什么！
学生通过分析数据，归纳出：
结论 2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的
面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、
归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形 C 的面
积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.
效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形 C 的面
积计算这一难点后得出结论 2.
3．议一议
内容：你能用直角三角形的边长 ， ， 来表示上图
中正方形的面积吗！
你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗！
分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，
并测量斜边的长度．2 中发现的规律对这个三角形仍然成立
吗！
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的
平方．如果用 ， ， 分别表示直角三角形的两直角边和斜
边，那么 ．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把
直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，
斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．
意图：议一议意在让学生在结论 2 的基础上，进一步
发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.
效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象
概括能力及语言表达能力；2．通过作图培养学生的动手实
践能力.
例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地
面 10m 处折断倒下，树顶落在离树根 24m 处. 大树在折断之
前高多少！
练习：
1．基础巩固练习：
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
2．生活中的应用：
小明妈妈买了一部 29 in 的电视机. 小明量了电视机
的屏幕后，发现屏幕只有 58 cm 长和 46 cm 宽，他觉得一定
是售货员搞错了．你同意他的想法吗！你能解释这是为什么
吗！
意图：练习第 1 题是勾股定理的直接运用，意在巩固
基础知识．
效果：例题和练习第 2 题是实际应用问题，体现了数
学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的
意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.
教师提问：
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法！
2．对这些内容你有什么体会！与同伴进行交流．
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方．如果用 ， ， 分别表示直角三角形的两
直角边和斜边，那么 ．
2．方法： 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
“割、补、拼、接”法.
3．思想： 特殊—一般—特殊；
数形结合思想．
意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之
间的交流、互动．
效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达
和交流的能力，增强不断反思总结的意识.
北师大版八年级数学上册
教学工作计划
一、学生基本情况分析
八年级是初中学习过程中的关键时期，八年级两个班在数学情况两极分化问
题很是严重，对优等生来说他们能够理解知识形成技能具备一定的数学能力，而
对后进生来说简单的基础知识还不能够掌握成绩不容乐观。为使学生学好进一步
学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，进一步培养学生运算能力、发
展思维能力和空间观念，使学生能够运用所学知识解决实际问题，逐步形成数学
创新意识，作为教师，我们将实行因材施教策略。
二、教材分析
第一章《勾股定理》的主要内容是勾股定理的探索和应用。其中勾股定理的
应用是本章教学的重点。
第二章《实数》主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的概念和运
算。本章的内容虽然不多，但在初中数学中占有十分重要的地位。本章的教学重
点是平方根和算术平方根的概念和求法，教学难点是算术平方根和实数两个概念
的理解。
第三章《位置与坐标》主要讲述平面直角坐标系中点的确定，会找出一些点
的坐标。
第四章《一次函数》的主要内容是介绍函数的概念，以及一次函数的图像和
表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。其中一次函数的图像的表达式是本
章的重点和难点。
第五章《二元一次方程组》要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程
组来解一些实际的问题。
第六章《数据的分析》主要讲述平均数和中位数、众数的概念，会求平均数
和能找出中位数及众数。
第七章《平行线的证明》主要内容是了解定义、命题、定理、推论的含义；
对顶角定理、两直线平行的判定定理及性质定理、三角形内角和定理及其推论等
的证明。平行线判定定理和性质定理的证明是本章教学的重点，三角形内角和定
理及其推论的证明是本章的难点。
三、教学目的和任务
教科书提供了了大量数学活动的线索，成为供所有学生从事数学学习的出发
点，目的是使学生能够在教科书提供的学习情境中，通过探索与交流等活动，获
得必要和发展，达到《标准》所设立的课程目标，从学生实际出发，从他们熟悉
或感兴趣的问题情境引入富有数学含义的问题，从展开数学探索，同时教科书在
提供学习素材的基础上，依据学生已有的知识背景和活动经验，提供了大量的操
作，思考与交流的体会，为学生创造了富有情趣的学习环境。
上半学期完成第一章到第四章，下半学期完成第五章到本册教材结束。掌握
平方根与立方根、实数、平面坐标系、一次函数、勾股定理、平行线的证明等知
识并形成相应数学技能。在情感与价值观上认识图形中的数量关系，培养学生的
实事求是认真严肃的学习态度，在民主和谐合作的学习过程中养成独立探究勤与
思考大胆创新，发展学生的非智力因素提高学生的数学素质与素养。
具体教学目标如下：
1、掌握勾股定理及其逆定理，会利用它们解决一些实际问题。
2、正确理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本运算，并能熟练地进行
二次根式的化简。
3、掌握二次根式加、减、乘、除的运算法则，能够进行二次根式的运算。
掌握二次根式的化简，进一步提高学生的运算能力。
4、理解证明的必要性和设置基本事实的必要性，通过具体实例了解定义、
命题、定理、推论的含义。初步感受公理化思想以及公理化方法对数学发展和促
进人类文明进步的价值。
5、理解相似一次函数的概念，掌握一次函数的图像和表达式，学会用一次
函数解决一些实际问题。
四、教学措施及方法
1、认真做好教学工作。把认真教学作为提高成绩的主要方法，认真研读新
课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，
认真辅导，认真制作测试试卷，也让学生学会认真学习。
2、兴趣是最好的老师，爱因斯坦如是说。激发学生的兴趣，给学生介绍数
学家，数学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。
3、引导学生积极参加知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探索、
交流、分享发现快乐的高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学习。
4、引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生
透过现象看本质，提高学生举一反三的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，
培养学生的发散思维，让学生处于一种思如泉涌的状态。
5、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生
稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。
五、本学期教学进度计划及课时安排：
第一章 勾股定理 7课时
第二章 实数 14 课时
第三章 位置与坐标 8课时
第四章 一次函数 10 课时
第五章 二元一次方程组 12 课时
第六章 数据的分析 9课时
第七章 平行线的证明 10 课时
