【数学】2020届一轮复习人教A版坐标系与参数方程作业

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【数学】2020届一轮复习人教A版坐标系与参数方程作业

‎2020届一轮复习人教A版 坐标系与参数方程 作业 ‎1.(2019·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心为(3,),半径为1的圆.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程,C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设M为曲线C1上的点,N为曲线C2上的点,求|MN|的取值范围.‎ ‎【解析】:(1)消去参数φ可得C1的普通方程为+y2=1.‎ 曲线C2的圆心的直角坐标为(0,3),‎ 所以C2的直角坐标方程为x2+(y-3)2=1.‎ ‎(2)设M(2cos φ,sin φ),曲线C2的圆心为C2(0,3),‎ 则|MC2|== ‎==.‎ 因为-1≤sin φ≤1,‎ 所以|MC2|min=2,|MC2|max=4.‎ 根据题意可得|MN|min=2-1=1,‎ ‎|MN|max=4+1=5,‎ 即|MN|的取值范围是[1,5].‎ ‎2.(2019·合肥模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.‎ ‎【解析】:(1)由ρ=4cos θ,得(x-2)2+y2=4.‎ ‎(2)将代入圆的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,化简得t2-2tcos α-3=0.‎ 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,‎ 则,‎ 所以|AB|=|t1-t2|===,‎ 所以4cos2α=2,故cos α=±,即α=或.‎ ‎3.(2019·广东五校协作体第一次诊断考试)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=4‎ .‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到曲线C2上点的距离的最小值.‎ ‎4.(2019.贵阳模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若A,B分别为曲线C1,C2上的动点,求当AB取最小值时△AOB的面积.‎ 解:(1)由得C1的普通方程为(x-4)2+(y-5)2=9.‎ 由ρ=2sin θ得ρ2=2ρsin θ,‎ 将x2+y2=ρ2,y=ρsin θ代入得C2的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.‎ ‎(2)如图,当A,B,C1,C2四点共线,且A,B在线段C1C2上时,|AB|取得最小值,‎ 由(1)得C1(4,5),C2(0,1),‎ 所以kC1C2==1,则直线C1C2的方程为x-y+1=0,‎ 所以点O到直线C1C2的距离d==,‎ 又|AB|=|C1C2|-1-3=-4=4-4, ‎ 所以S△AOB=d|AB|=××(4-4)=2-.‎ ‎5.(2019·南昌一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为(t为参数,a∈R).‎ 以O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cos θ-ρ=0.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知曲线C1与曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a的值.‎ ‎【解析】:(1)因为曲线C1的参数方程为,‎ 所以其普通方程为x-y-a+1=0.‎ 因为曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cos θ-ρ=0,‎ 所以ρ2cos2θ+4ρcos θ-ρ2=0,‎ 所以x2+4x-x2-y2=0,‎ 即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.‎ ‎(2)设A,B两点所对应的参数分别为t1,t2,‎ 由 得2t2-2t+1-4a=0.‎ Δ=(2)2-4×2(1-4a)>0,‎ 即a>0,由根与系数的关系得.‎ 根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|,|PB|=2|t2|, ‎ 又|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|,‎ 即t1=2t2或t1=-2t2.‎ 所以当t1=2t2时,有,‎ 解得a=>0,符合题意.‎ 当t1=-2t2时,有,‎ 解得a=>0,符合题意.‎ 综上所述,实数a的值为或.‎ ‎6.(2019·福州综合质量检测)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12,其左焦点F在直线l上.‎ ‎(1)若直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|·|FB|的值;‎ ‎(2)求椭圆C的内接矩形周长的最大值. ‎ ‎【解析】:(1)将曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12化为直角坐标方程,得+=1,则其左焦点F(-2,0),则m=-2.将直线l的参数方程(t为参数)与曲线C的方程+=1联立,化简可得t2-2t-2=0,‎ 由直线l的参数方程的几何意义,令|FA|=|t1|,|FB|=|t2|,则|FA|·|FB|=|t1t2|=2.‎ ‎(2)由曲线C的方程+=1,可设曲线C上的任意一点P的坐标为(2cos θ,2sin θ)(0<θ<),‎ 则以P为顶点的内接矩形的周长为4×(2cos θ+2sin θ)=16sin(θ+),‎ 因此当θ=时,可得该内接矩形周长的最大值为16.‎
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