数学冀教版九年级上册教案27-3反比例函数的应用

数学冀教版九年级上册教案27-3反比例函数的应用

- 1 - 27.3 反比例函数的应用 教学目标 【知识与能力】 1.能够根据具体实际问题情景确定变量之间的反比例关系,并求出反比例函数的解析式. 2.能灵活运用反比例函数的图像和性质解决相关的实际问题. 3.能综合运用几何、方程、不等式、反比例函数知识以及物理等跨学科知识解决相关的实际 问题. 【过程与方法】 1.经历“问题情境——建立反比例函数模型——运用反比例函数解决实际问题”的过程,体 会数学的价值,增强学好数学的信心. 2.经历利用反比例函数解决实际问题的过程,学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日 常生活中所遇到的问题,体验数学建模的思想. 3.体会数学与实际生活紧密联系,经历将实际问题抽象为数学问题的过程,体会数学中转化 和数形结合的思想,增强学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力. 【情感态度价值观】 1.通过将反比例函数的有关知识灵活用于实际,让学生体会到学习数学的价值,从而提高学 生学习数学的兴趣,并获得成功感. 2.通过小组合作交流学习,共同探究反比例函数在实际中的应用,提高合作意识,培养创新精 神. 教学重难点 【教学重点】 从实际问题中建立反比例函数模型,运用反比例函数的图像和性质解决生活实际问题和跨学 科问题. 【教学难点】 根据具体实际问题情景建立反比例函数的模型. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 复习提问: 【课件展示】 1.我们学习了反比例函数的定义、图像和性质,完成下列填空: (1)反比例函数的定义是 . (2)反比例函数的图像是 ,当 k>0 时, ;当 k<0 时, . (3)待定系数法求反比例函数表达式的步骤: ; ; ; . - 2 - 2.前面学习了一次函数的应用,类比前面的学习过程,我们将继续探究什么?基本方法有 哪些? 3.在实际问题中建立函数模型,求解函数表达式的关键是什么? 【师生活动】 学生独立回答,教师关注学生对本节课的学习对象及基本方法是否了解. 导入二: 【课件展示】 你吃过拉面吗?知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗? (1)体积为 20 cm3 的面团做成拉面,面条的长度 y 与面条的粗细(横截面积 S)有怎样的函 数关系? (2)某家面馆的师傅手艺精湛,她拉的面条粗 1 mm2,如果面团的体积为 10 cm3,那么面条 总长是多少? 【师生活动】 学生独立完成后,小组交流答案,学生展示结果,教师及时提醒学生注意 单位换算,并对结果进行点评. 导入三: 【课件展示】 在一段长为 45 km 的高速公路上,规定汽车行驶的速度最低为 60 km/h, 最高为 110 km/h. 1.在这段高速公路上,设汽车行驶的速度为 v(km/h),时间为 t(h),写出 v 与 t 之间的函 数关系式. 2.某司机开车用了 25 min 匀速通过了这段高速公路,请你判断这辆汽车是否超速,并说 明理由. 3.某天,由于天气原因,汽车通过这段高速公路时,要求行驶速度不得超过 75 km/h.此时, 汽车通过该路段最少要用多长时间? [设计意图] 通过复习反比例函数的概念、图像和性质及实际问题中找等量关系列函数 表达式,为本节课的学习做铺垫,由学生熟悉的行程问题导入新课,让学生体会数学与实际问 题之间的关系,很自然地构建出新知识,激发学生的兴趣和求知欲望. 二、新知构建： [过渡语] 在我们熟悉的现实生活中,存在着许多反比例关系,如何解决这些问题,就是 我们这节课一起探究的内容. 一起探究 反比例函数在实际问题中的应用 导入三中有怎样的反比例关系?让我们一起探讨吧! 思路一 教师提出下列问题,学生思考回答,逐步解决. (1)在上述问题中有哪些量?哪些量是常量?哪些量是自变量和因变量? (2)在行程问题中,路程、速度和时间三者之间的等量关系是什么? - 3 - (3)自变量和因变量的乘积是不是常数?两者之间是不是存在着反比例函数关系? (4)你能否写出 v 与 t 之间的函数关系式? (5)你能根据实际问题求出自变量的取值范围吗? (6)已知自变量 t 的值,怎样求因变量 v 的值? (7)已知因变量 v 的值,如何求自变量 t 的值? (8)在该反比例函数关系中,已知自变量的取值范围,怎样求因变量的取值范围? 【师生活动】 先让学生认真审题,独立思考,再通过设置的小问题,教师引导学生逐步 思考,最后建立函数模型解决问题,学生完成解题过程,教师展示课件,纠正学生解题过程中 的错误. 【课件展示】 解:(1)v= 45 9 22 ≤ ≤ 3 4 . (2)当 t= 25 60 时,v=108,∵v<110,∴没有超速. (3)当 v=75 时,75= 45 ,解得 t=0.6, ∵45>0,∴v 随着 t 的增大而减小, ∴当 t≥0.6 时,v≤75, ∴通过该路段最少要用 36 min. 【思考】 解决问题 3 时,可以用不等式解决吗? 思路二 【师生活动】 学生认真审题,独立思考,类比前边学过的一次函数解决实际问题的方法, 完成该题的解答,然后小组合作交流,讨论疑惑及解题思路和方法,教师巡视中解决学生的质 疑,并帮助有困难的学生,最后小组代表板书解题方法. 【课件展示】 解:(1)v= 45 9 22 ≤ ≤ 3 4 . (2)当 t= 25 60 时,v=108,∵v<110,∴没有超速. (3)当 v=75 时,75= 45 ,解得 t=0.6, ∵45>0,∴v 随着 t 的增大而减小, ∴当 t≥0.6 时,v≤75, ∴通过该路段最少要用 36 min. 追问: (1)速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图像有什么特点? (图像只有在第一象限的一支) (2)在实际问题中求函数解析式的关键是什么? (找等量关系) (3)已知自变量求函数值、已知函数值求自变量的基本思想是什么? (代入函数解析式,用方程思想求解) [设计意图] 通过教师引导,给学生提供解决此类问题的思路,让学生在问题解决的过 程中体会反比例函数与实际问题的关系.解决实际问题首先建立函数模型,从两个变量的相 - 4 - 依关系和变化规律,借助函数的图像,利用函数意义或性质解决问题,体会数学建模思想和数 形结合思想的应用,培养学生的应用意识. 例题讲解 【课件展示】 (教材 138 页例)气体的密度是指单位体积(m3)内所含气体的质量(kg).现有某种 气体 7 kg. (1)某储气罐的容积为 V(m3),将这 7 kg 的气体注入该容器后,该气体的密度为ρ(kg/m3), 写出用 V 表示ρ的函数表达式. (2)当把这些气体装入容积为 4 m3 的储气罐中时,它的密度为多大? (3)要使气体的密度ρ=2 kg/m3,需把这些气体装入容积是多少立方米的容器中? (4)在下图所示的直角坐标系中,画出这个函数的图像,并根据图像回答: ①当这些气体的体积增大时,它的密度将怎样变化? ②把这些气体装入容积不超过 2 m3 的容器中,气体的密度ρ在什么范围内? 思路一 【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流解题思路,再独立完成解答过程,小组代表 板书,教师给学生充足的时间合作交流,巡视中帮助有困难的学生,对学生的解答进行点评, 规范书写过程,师生通过回忆解题思路,共同归纳建立反比例函数模型解决跨学科问题的一 般思路. 归纳:根据物理学知识公式找到实际问题中的等量关系,建立反比例函数模型,列出函数 表达式,已知自变量的值(函数值)代入函数表达式,解方程可得对应的函数值(自变量的值), 根据函数表达式描点法画函数图像,利用数形结合思想可解关于函数值的不等式. 解:(1)用 V 表示ρ的函数表达式为:ρ= 7 . (2)当 V=4 m3 时,ρ= 7 = 7 4 =1.75(kg/m3). (3)当ρ=2 kg/m3 时,2= 7 ,解得 V=3.5(m3). (4)函数ρ= 7 的图像如图所示. - 5 - ①由反比例函数的图像可以看出,当这些气体体积增大时,它的密度减小. ②把这些气体装入容积不超过 2 m3 的容器中,气体的密度ρ≥3.5 kg/m3. 思路二 教师引导思考: (1)在物理学中,物体的密度ρ(kg/m3)、体积 V(m3)、质量 m(kg)之间的等量关系是什么? (2)你能根据上边的等量关系写出物体的密度ρ(kg/m3)与体积 V(m3)之间的函数表达式 吗? (3)在函数表达式中已知自变量如何求对应的函数值?已知函数值如何求对应的自变量? (4)根据反比例函数图像,密度ρ(kg/m3)随着体积 V(m3)的增大怎样变化? (5)当体积 V(m3)取最大值时,对应的函数值ρ(kg/m3)是最小值还是最大值? (6)根据已知,自变量 V 的取值范围是什么?对应的函数值ρ的取值范围是什么? 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,共同探究解题过程,教师在巡视过程中 帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评. 课件展示解题过程.(同思路一) 追问: 你能归纳建立反比例函数模型解决跨学科实际问题的一般思路吗? 【师生活动】 学生独立思考后小组交流,教师对学生的回答点评,师生共同归纳. 归纳:根据物理学知识公式找到实际问题中的等量关系,建立反比例函数模型,列出函数 表达式,已知自变量的值(函数值)代入函数表达式,解方程可得对应的函数值(自变量的值), 根据函数表达式描点法画函数图像,利用数形结合思想可解关于函数值的不等式. [设计意图] 通过物理学科中已学过的密度公式,建立公式与反比例函数之间的联系, 用反比例函数知识解决跨学科问题,感受数学在现实生活中的应用,激发学生学习数学的兴 趣,提高学生应用数学解决问题的能力. [过渡语] 我们共同探究了运用反比例函数解决简单实际问题的一般方法,让我们检查 一下学习的效果吧. 做一做: - 6 - 【课件展示】 厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时,面条的总长度 y(m)是面 条横截面面积 S(mm2)的反比例函数,其图像经过 A(4,32),B(m,80)两点(如图所示). (1)写出 y 与 S 的函数关系式. (2)求出 m 的值,并解释 m 的实际意义. (3)如果厨师做出的面条最细时的横截面面积能达到 3.2 mm2,那么面条总长度不超过多 少米? 【师生活动】 学生独立完成,小组代表板书解答过程,小组内交流答案,教师对学生的 展示点评并规范解题过程. 解:(1)y= 128 ,S>0. (2)m=1.6,当面条的总长度是 80 m 时,面条的横截面面积是 1.6 mm2. (3)当 S=3.2 时,y=40. ∵k=128>0,∴y 随 S 的增大而减小, ∴当 S 最小为 3.2 mm2 时,面条的长度不超过 40 m. [设计意图] 通过学生运用反比例函数独立完成生活实际问题,既与导入二做到首尾呼 应,又进一步训练学生建立反比例函数模型的能力,鼓励学生从函数图像、不等式、方程等多 角度思考问题,进而把函数、方程、不等式联系起来,培养学生不同角度看问题,体会数学知 识之间的联系,提高用不同方法解决问题的能力. [知识拓展] 1.在利用反比例函数解决实际问题时,要根据题目的实际意义或物理、化学等学科中的 公式建立函数关系式,再根据需要进行变形或计算. 2.本节知识用到了转化思想及数学建模思想,如将实际问题中的数量关系转化为数学问 题中的函数关系. 三、课堂小结： 1.建立反比例函数模型,解决跨学科问题的一般步骤: (1)审题:弄清题意,分析问题中的等量关系; (2)建模:根据等量关系,将实际问题转化为数学问题,利用反比例函数知识建立数学模 型; (3)解模:根据反比例函数的图像和性质解决问题. 2.在解决实际问题中,根据题意写出函数表达式是解决的关键. 3.综合运用函数、方程、不等式及数形结合思想解复杂的实际问题.