2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第九章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系
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第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
知 识 梳 理
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d
0)所得的弦长为，点M，N在圆Ω上，且直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为( )
A.[2－，2＋] B.[2－，2＋]
C.[－，＋] D.[－，＋]
解析 由题意：2＝，解得r＝2，因为直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，故P(1，1)；设MN的中点为Q(x，y)，则|OM|2＝|OQ|2＋|MQ|2＝|OQ|2＋|PQ|2，即4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简可得＋＝，所以点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以|PQ|的取值范围为，|MN|的取值范围为[－，＋].故选D.
答案 D
13.(2020·长沙调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________.
解析 圆C1关于直线x－y＝0对称的圆C3的方程为(x－1)2＋y2＝r2，则圆C3与圆C2存在公共点，所以|r－1|≤≤r＋1，所以r∈[－1，＋1].
答案 [－1，＋1]
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；
(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围.
解 (1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5，
由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0).
且＝b＋5.
解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.
又|BC|＝|OA|＝＝2.
由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝
＝＝2.
即＝2，解得m＝5或m＝－15.
∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.
(3)由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，
又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.
∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，
解得2－2≤t≤2＋2.
故所求t的取值范围为[2－2，2＋2].
C级 创新猜想
15.(多选题)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的取值可以是( )
A.－1 B.－3 C.1 D.3
解析 由题意得两圆的圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，解得a＝3或a＝－3或a＝1或a＝－1，所以a的所有取值构成的集合是{1，－1，3，－3}.
答案 ABCD
