高考数学一轮复习核心素养测评四十8-5等差与等比数列的综合问题

高考数学一轮复习核心素养测评四十8-5等差与等比数列的综合问题

核心素养测评四十　等差与等比数列的综合问题 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.已知1,a1,a2,9四个实数成等差数列,1,b1,b2,b3,9五个数成等比数列,则b2(a2-a1)= (　　)‎ A.8 B.‎-8 ‎C.±8 D.‎ ‎【解析】选A.由1,a1,a2,9成等差数列,得公差d=a2-a1==,由1,b1,b2,b3,9成等比数列,得=1×9,所以b2=±3,当b2=-3时,1,b1,-3成等比数列,此时=1×(-3)无解,所以b2=3,所以b2(a2-a1)=3×=8.‎ ‎2.等差数列{an},等比数列{bn},满足a1=b1=1,a5=b3,则a9能取到的最小整数是 (　　)‎ A.-1 B‎.0 ‎C.2 D.3‎ ‎【解析】选B.等差数列{an}的公差设为d,等比数列{bn}的公比设为q,q≠0,‎ 由a1=b1=1,a5=b3,可得1+4d=q2,‎ 则a9=1+8d=1+2(q2-1)=2q2-1>-1,‎ 可得a9能取到的最小整数是0.‎ ‎3.已知在等差数列{an}中,a1>0,d>0,前n项和为Sn,等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a4,前n项和为Tn,则 (　　)‎ A.S4>T4 B.S41,数列{bn}单调递增,‎ 又S4-T4=a2+a3-(b2+b3)=a1+a4-a1q-=a1(1-q)+a4=(a4-a1q)=(b4-b2)>0,所以S4>T4.‎ ‎　　 【一题多解】选A.不妨取an=7n-4,则等比数列{bn}的公比q==2,所以S4=54,T4==45,显然S4>T4.‎ ‎4.已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则+等于世纪金榜导学号(　　)‎ A.4 B‎.3 ‎C.2 D.1‎ ‎【解析】选C.由题意得b2=ac,‎ ‎2m‎=a+b,2n=b+c,‎ 则+==‎ ‎==2.‎ ‎　　 【一题多解】解答本题,还有以下解法:‎ 特殊值法:选C.因为a,b,c成等比数列,‎ 所以令a=2,b=4,c=8,‎ 又a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,‎ 则m==3,n==6,‎ 因此+=+=2.‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎5.Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1 ,2S2,S3成等差数列,则an=　　　　. ‎ ‎【解析】由3S1,2S2,S3成等差数列,得4S2=3S1+S3,即3S2-3S1=S3-S2,则‎3a2=a3,得公比q=3,所以an=a1qn-1=3n-1.‎ 答案:3n-1‎ ‎6.已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则=　　　　. ‎ ‎【解析】设公差为d,因为在等差数列{an}中,a2, a4,a8成等比数列,所以=a‎2a8,所以(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),所以d2=a1d,因为d≠0,所以d=a1,‎ 所以==3.‎ 答案:3‎ ‎7.已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26.若bn=(n∈N*),则数列{bn}的最大项为　　　,最小项为　　　　. ‎ ‎【解析】因为a5+a7=26,所以a6 =13,因为a3=7,所以3d=6,d=2,所以an=a3+d=7+2=2n+1,所以bn===1+,又因为当n=1,2,3时,数列{bn}递减且<0,当n≥4时,数列{bn}递减且>0,所以数列{bn}的最大项为b4=8,最小项为b3=-6.‎ 答案:8　-6‎ ‎8.已知等差数列的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn为数列的前n项和,则的最小值为　　　　. 世纪金榜导学号 ‎ ‎【解析】依题意:因为a1,a3,a13成等比数列,a1=1,‎ 所以=a‎1a13,所以(1+2d)2=1+12d,d≠0,‎ 解得d=2.可得an=2n-1,Sn=n2,‎ 则===n+2+-4≥4,‎ 当且仅当n=2时,等号成立.‎ 答案:4‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.等比数列{an}的各项均为正数,且‎2a1+‎3a2=1,=‎9a2a6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)设bn=log‎3a1+log‎3a2+…+log3an,求数列的前n项和Tn.‎ ‎【解析】(1)设数列{an}的公比为q,由=‎9a2a6,‎ 得=9,所以q2=.‎ 由条件可知q>0,故q=.‎ 由‎2a1+‎3a2=1得‎2a1+‎3a1q=1,所以a1=.‎ 故数列{an}的通项公式为an=.‎ ‎(2)bn=log‎3a1+log‎3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-.‎ 故=-=-2.‎ 所以Tn=++…+=‎ ‎-2=-,‎ 所以数列的前n项和为-.‎ ‎10.已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.世纪金榜导学号 ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和Sn.‎ ‎【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,‎ 则a2=a1+d,a3=a1+2d.‎ 由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)‎ ‎=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.‎ 故an=-3n+5或an=3n-7.‎ ‎(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;‎ 当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.‎ 故|an|=|3n-7|=‎ 记数列{|an|}的前n项和为Sn.‎ 当n=1时,S1=|a1|=4;‎ 当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;‎ 当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|‎ ‎=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)‎ ‎=5+=n2-n+10.‎ 当n=2时,满足此式,当n=1时,不满足此式.‎ 综上,Sn=‎