【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第二章　第4讲　二次函数与幂函数学案

【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第二章　第4讲　二次函数与幂函数学案

第4讲　二次函数与幂函数 一、知识梳理 ‎1．幂函数 ‎(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.‎ ‎(2)五种幂函数的图象 ‎(3)性质 ‎①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；‎ ‎②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；‎ ‎③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎2．二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 ‎①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ ‎②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．‎ ‎③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)‎ f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)‎ 图象 定义域 ‎(－∞，＋∞)‎ ‎(－∞，＋∞)‎ 值域 单调性 在上递减；‎ 在上递增 在上递增；‎ 在上递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 常用结论 ‎1．幂函数的图象和性质 ‎(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．‎ ‎(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．‎ ‎(3)当α>0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；‎ 当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．‎ ‎2．一元二次不等式恒成立的条件 ‎(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 ‎(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 二、教材衍化 ‎1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝________．‎ 解析：因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点，所以＝，解得α＝，则k＋α＝.‎ 答案： ‎2.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为________．‎ 解析：根据幂函数的性质可知a<0，b>1，00，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是________(填序号)．‎ 解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a<0，b>0，所以二次函数图象的对称为x＝－>0，故③正确．‎ 答案：③‎ ‎2．若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________．‎ 解析：因为函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，‎ 所以，即m≤－.‎ 答案： ‎3．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)b＝，因为y＝是减函数，‎ 所以a＝0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以00，若在(0，＋∞)上是减少的，则α<0.　 ‎ ‎　　　　　　二次函数的解析式(师生共研)‎ ‎ (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．‎ ‎【解】　法一：(利用一般式)‎ 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.‎ 法二：(利用顶点式)‎ 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．‎ 因为f(2)＝f(－1)，‎ 所以抛物线的对称轴为x＝＝.‎ 所以m＝.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，‎ 所以f(x)＝a＋8.‎ 因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，‎ 解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.‎ 法三：(利用零点式)‎ 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，‎ 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，‎ 即f(x)＝ax2－ax－2a－1.‎ 又函数有最大值8，即＝8.‎ 解得a＝－4或a＝0(舍去)，‎ 所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.‎ 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：‎ ‎　 ‎ ‎1．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对任意的x∈R.都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为____________．‎ 解析：由f(0)＝3，得c＝3，‎ 又f(1＋x)＝f(1－x)，‎ 所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，‎ 所以＝1，所以b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.‎ 答案：f(x)＝x2－2x＋3‎ ‎2．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为(－，49)，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．‎ 解析：设f(x)＝a＋49(a≠0)，方程a2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.‎ 答案：f(x)＝－4x2－12x＋40‎ ‎　　　　　　二次函数的图象与性质(多维探究)‎ 角度一　二次函数的图象 ‎ 已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)‎ ‎【解析】　A项，因为a<0，－<0，所以b<0.‎ 又因为abc>0，所以c>0，而f(0)＝c<0，故A错．‎ B项，因为a<0，－>0，所以b>0.‎ 又因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c>0，故B错．‎ C项，因为a>0，－<0，所以b>0.又因为abc>0，‎ 所以c>0，而f(0)＝c<0，故C错．‎ D项，因为a>0，－>0，所以b<0，因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c<0，故选D.‎ ‎【答案】　D 角度二　二次函数的单调性 ‎ 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是减少的，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【解析】　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件．‎ 当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，‎ 由f(x)在[－1，＋∞)上是减少的知 解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0]．‎ ‎【答案】　[－3，0]‎ ‎【迁移探究】　(变条件)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的减区间是[－1，＋∞)，求a为何值？‎ 解：因为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的减区间为[－1，＋∞)，所以解得a＝－3.‎ 角度三　二次函数的最值问题 ‎ 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．‎ ‎【解】　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；‎ 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；‎ 当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值f(t)＝t2－2t＋2.‎ 综上可知，f(x)min＝ 角度四　二次函数中的恒成立问题 ‎ 已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．‎ ‎【解析】　2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立．‎ 当x＝0时，－3<0，成立；‎ 当x≠0时，a<－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值 ‎，所以a<.‎ 综上，实数a的取值范围是.‎ ‎【答案】　 解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点 ‎(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．‎ ‎(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．‎ ‎(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．　‎ ‎1．(2020·河南省实验中学模拟)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为(　　)‎ A．{0，－3}　　　　　　 B．[－3，0]‎ C．(－∞，－3]∪[0，＋∞) D．{0，3}‎ 解析：选A.函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝[－2(m＋3)]2－4×3×(m＋3)＝0，所以m＝－3或m＝0，所以实数m的取值范围为{0，－3}，故选A.‎ ‎2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]．‎ ‎(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；‎ ‎(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数．‎ 解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，‎ 所以f(x)在[－4，2]上是减少的，在(2，6]上是增加的，‎ 所以f(x)的最小值是f(2)＝－1，‎ 又f(－4)＝35，f(6)＝15，‎ 故f(x)的最大值是35.‎ ‎(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，‎ 故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．‎ ‎　分类讨论思想在二次函数问题中的应用 ‎ 已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值．‎ ‎【解】　(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上是减少的，‎ 所以f(x)min＝f(1)＝－2；‎ ‎(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上且对称轴为x＝.‎ ‎①当0<≤1，即a≥1时，‎ f(x)＝ax2－2x的对称轴在(0，1]内，‎ 所以f(x)在上是减少的，在上是增加的．‎ 所以f(x)min＝f＝－＝－；‎ ‎②当>1，即00时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；‎ ‎(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.‎ 综上可知，a的值为或－3.‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为(　　)‎ A．－1　　　　　　　　　 B．0‎ C．1 D．－2‎ 解析：选D.函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上是增加的，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.‎ ‎2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象大致是(　　)‎ 解析：选C.若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.‎ ‎3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)‎ A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0‎ C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0‎ 解析：选A.由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0，故选A.‎ ‎4.幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选C.因为y＝xm2－4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，所以m2－4m<0，即00，所以01，即a<－时，‎ f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，‎ 所以－2a－1＝1，‎ 即a＝－1满足题意．‎ 综上可知，a＝－或－1.‎ ‎10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)当∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，‎ 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.‎ 所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，‎ 因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.‎ ‎(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，‎ 所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；‎ 即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立．‎ 所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，‎ 因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，‎ 所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·湖南4月联考)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)‎ C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ 解析：选B.易知定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m是减少的，所以函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上是减少的，所以抛物线的对称轴x＝≥1，所以k≥2.故选B.‎ ‎2．(2020·湖北荆州质量检查(一))若对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]‎ C．(－∞，0] D．[0，＋∞)‎ 解析：选B.因为(3x＋a)3≤8x3，y＝x3在R上递增，所以3x＋a≤2x，可得x≤－a，即x∈(－∞，－a]，因为对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3成立，所以[a，a＋2]是(－∞，－a]的子集，所以a＋2≤－a，所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]，故选B.‎ ‎3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为____________．‎ 解析：当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因为x∈，所以f(x)min＝f(－1‎ ‎)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1.所以m－n的最小值是1.‎ 答案：1‎ ‎5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．‎ ‎(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，‎ F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；‎ ‎(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．‎ 解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，‎ 且－＝－1，‎ 解得a＝1，b＝2，‎ 所以f(x)＝(x＋1)2.‎ 所以F(x)＝ 所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.‎ ‎(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，‎ 即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．‎ 又当x∈(0，1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.‎ 故b的取值范围是[－2，0]．‎