【数学】2018届一轮复习北师大版双曲线

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【数学】2018届一轮复习北师大版双曲线

第七节 双曲线 [考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决 实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单的 几何性质.3.理解数形结合的思想.4.了解双曲线的简单应用. 1.双曲线的定义 (1)平面内到两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|) 的点的集合叫作双曲线,定点 F1,F2 叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离 叫作双曲线的焦距. (2)集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c, 其中 a,c 为常数且 a>0,c>0. ①当 2a<|F1F2|时,M 点的轨迹是双曲线; ②当 2a=|F1F2|时,M 点的轨迹是两条射线; ③当 2a>|F1F2|时,M 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双 曲线.( ) (2)方程x2 m -y2 n =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( ) (3)双曲线方程x2 m2 -y2 n2 =λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2 m2 -y2 n2 =0,即x m±y n =0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.(教材改编)已知双曲线x2 a2 -y2 3 =1(a>0)的离心率为 2,则 a=( ) A.2 B. 6 2 C. 5 2 D.1 D [依题意,e=c a = a2+3 a =2, ∴ a2+3=2a,则 a2=1,a=1.] 3.(2017·福州质检)若双曲线 E:x2 9 -y2 16 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( ) 【导学号:66482406】 A.11 B.9 C.5 D.3 B [由题意知 a=3,b=4,∴c=5.由双曲线的定义||PF1|-|PF2||=|3-|PF2|| =2a=6,∴|PF2|=9.] 4.(2016·全国卷Ⅰ)已知方程 x2 m2+n - y2 3m2-n =1 表示双曲线,且该双曲线两 焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是( ) A.(-1,3) B.(-1, 3) C.(0,3) D.(0, 3) A [∵原方程表示双曲线,且两焦点间的距离为 4. ∴ m2+n+3m2-n=4, m2+n3m2-n>0, 则 m2=1, -m20,b>0)的一条渐近线为 2x +y=0,一个焦点为( 5,0),则双曲线的方程为__________. x2-y2 4 =1 [由于 2x+y=0 是x2 a2 -y2 b2 =1 的一条渐近线, ∴b a =2,即 b=2a,① 又∵双曲线的一个焦点为( 5,0),则 c= 5, 由 a2+b2=c2,得 a2+b2=5,② 联立①②得 a2=1,b2=4. ∴所求双曲线的方程为 x2-y2 4 =1.] 双曲线的定义及应用 (2017·哈尔滨质检)已知双曲线 x2-y2 24 =1 的两个焦点为 F1, F2,P 为双曲线右支上一点.若|PF1|=4 3|PF2|,则△F1PF2 的面积为( ) A.48 B.24 C.12 D.6 B [由双曲线的定义可得 |PF1|-|PF2|=1 3|PF2|=2a=2, 解得|PF2|=6,故|PF1|=8,又|F1F2|=10, 由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形,因此 S△PF1F2=1 2|PF1|×|PF2| =24.] [规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题: 在双曲线的定义中,要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两 定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点间的距 离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时需注意定义 的转化应用. 2.在焦点三角形中,注意定义、余弦定理的活用,常将||PF1|-|PF2||=2a 平方,建立|PF1|·|PF2|间的联系. [变式训练 1] 已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1,F2,点 A 在 C 上.若 |F1A|=2|F2A|,则 cos∠AF2F1=( ) A.1 4 B.1 3 C. 2 4 D. 2 3 A [由 e=c a =2 得 c=2a,如图,由双曲线的定义得|F1A|-|F2A|=2a. 又|F1A|=2|F2A|,故|F1A|=4a, |F2A|=2a, ∴cos∠AF2F1=4a2+2a2-4a2 2×4a×2a =1 4.] 双曲线的标准方程 (1)(2017·广州模拟)已知双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1 的离心率 e=5 4 ,且其右 焦点为 F2(5,0),则双曲线 C 的方程为( ) 【导学号:66482407】 A.x2 4 -y2 3 =1 B.x2 9 -y2 16 =1 C.x2 16 -y2 9 =1 D.x2 3 -y2 4 =1 (2)(2016·天津高考)已知双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的焦距为 2 5,且双曲线 的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为( ) A.x2 4 -y2=1 B.x2-y2 4 =1 C.3x2 20 -3y2 5 =1 D.3x2 5 -3y2 20 =1 (1)C (2)A [(1)由焦点 F2(5,0)知 c=5. 又 e=c a =5 4 ,得 a=4,b2=c2-a2=9. ∴双曲线 C 的标准方程为x2 16 -y2 9 =1. (2)由焦距为 2 5得 c= 5.因为双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直, 所以b a =1 2. 又 c2=a2+b2,解得 a=2,b=1, 所以双曲线的方程为x2 4 -y2=1. [规律方法] 1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件,两个“定 量”条件.“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上,“定量”是指确定 a,b 的 值,常用待定系数法.若双曲线的焦点不能确定时,可设其方程为 Ax2+By2= 1(AB<0). 2.对于共焦点、共渐近线的双曲线方程,可灵活设出恰当的形式求解.若 已知渐近线方程为 mx+ny=0,则双曲线方程可设为 m2x2-n2y2=λ(λ≠0). [变式训练 2] (1)(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=±1 2x,则该双曲线的标准方程为________________. (2)设椭圆 C1 的离心率为 5 13 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的 点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 ______. (1)x2 4 -y2=1 (2)x2 16 -y2 9 =1 [(1)∵双曲线的渐近线方程为 y=±1 2x, ∴可设双曲线的方程为 x2-4y2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点(4, 3), ∴λ=16-4×( 3)2=4, ∴双曲线的标准方程为x2 4 -y2=1. (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0),设曲线 C2 上的一点 P, 则||PF1|-|PF2||=8. 由双曲线的定义知:a=4,b=3. 故曲线 C2 的标准方程为x2 42 -y2 32 =1,即x2 16 -y2 9 =1.] 双曲线的简单几何性质 (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知 F1,F2 是双曲线 E:x2 a2 -y2 b2 =1 的左、 右焦点,点 M 在 E 上,MF1 与 x 轴垂直,sin∠MF2F1=1 3 ,则 E 的离心率为( ) A. 2 B.3 2 C. 3 D.2 (2)(2017·石家庄调研)设双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左、右顶 点分别是 A1,A2,过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点.若 A1B⊥A2C, 则该双曲线的渐近线为__________. 【导学号:66482408】 (1)A (2)x±y=0 [(1)如图,因为 MF1⊥x 轴,所以|MF1|=b2 a . 在 Rt△MF1F2 中,由 sin∠MF2F1=1 3 得 tan∠MF2F1= 2 4 . 所以|MF1| 2c = 2 4 ,即 b2 2ac = 2 4 ,即c2-a2 2ac = 2 4 , 整理得 c2- 2 2 ac-a2=0, 两边同除以 a2 得 e2- 2 2 e-1=0. 解得 e= 2(负值舍去). (2)由题设易知 A1(-a,0),A2(a,0),B c,b2 a ,C c,-b2 a . 因为 A1B⊥A2C, 所以 b2 a c+a · -b2 a c-a =-1,整理得 a=b. 因此该双曲线的渐近线为 y=±b ax,即 x±y=0.] [规律方法] 1.(1)求双曲线的渐近线,要注意双曲线焦点位置的影响;(2)求 离心率的关键是确定含 a,b,c 的齐次方程,但一定注意 e>1 这一条件. 2.双曲线中 c2=a2+b2,可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系b a = e2-1 e=c a .抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”,研究 a,b,c, e 间相互关系及转化,简化解题过程. [变式训练 3] (2015·全国卷Ⅱ)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 D [不妨取点 M 在第一象限,如图所示,设双曲线方程为x2 a2 -y2 b2 =1(a>0, b>0),则|BM|=|AB|=2a,∠MBx=180°-120°=60°, ∴M 点的坐标为(2a, 3a). ∵M 点在双曲线上,∴4a2 a2 -3a2 b2 =1,a=b, ∴c= 2a,e=c a = 2.故选 D.] [思想与方法] 1.求双曲线标准方程的主要方法: (1)定义法:由条件判定动点的轨迹是双曲线,求出 a2,b2,得双曲线方程. (2)待定系数法:即“先定位,后定量”,如果不能确定焦点的位置,应注 意分类讨论或恰当设置简化讨论. ①若已知双曲线过两点,焦点位置不能确定,可设方程为 Ax2+By2= 1(AB<0). ②当已知双曲线的渐近线方程 bx±ay=0,求双曲线方程时,可设双曲线方 程为 b2x2-a2y2=λ(λ≠0). ③与双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2 a2 -y2 b2 =λ(λ≠0). 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程,只需将双曲线的标准方 程中“1”改为“0”即可. [易错与防范] 1.区分双曲线中 a,b,c 的关系与椭圆中 a,b,c 的关系,在椭圆中 a2= b2+c2,在双曲线中 c2=a2+b2. 2.双曲线的离心率大于 1,椭圆的离心率 e∈(0,1).求它们的离心率,不要 忽视这一前提条件,否则会产生增解或扩大取值范围. 3.直线与双曲线有一个公共点时,不一定相切,也可能直线与渐近线平行.
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