【数学】2019届一轮复习苏教版第2章函数概念与基本初等函数I第13讲学案
第 13 讲 函数模型及其应用
考试要求 1.指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征(A 级要求)；2.函数模
型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用(B 级要求).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大.( )
(2)“指数爆炸”是指数型函数 y＝abx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快
的形象比喻.( )
(3)幂函数增长比直线增长更快.( )
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，恒有 h(x)＜f(x)＜g(x).( )
解析 (1)当 x＝－1 时，y＝2x＝1
2，y＝x2＝1，故(1)错.
(2)“指数爆炸”是针对 b>1，a>0 的指数函数，故(2)错.(3)y＝x
1
2
在(1，＋∞)上
比 y＝x 的增长速度慢，错误.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(教材改编)某汽车油箱中存油 22 千克，油从管道中匀速流出，200 分钟流尽，
油箱中剩油量 y(千克)与流出时间 x(分钟)之间的函数关系式为________.
解析 流速为 22
200＝ 11
100，x 分钟可流 11
100x，则 y＝22－ 11
100x(0≤x≤200).
答案 y＝22－ 11
100x(0≤x≤200)
3.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高 40 ，然后“八折优惠”，结果是每台彩
电比原价多赚 270 元，那么每台彩电原价是________元.
解析 设每台原价是 a 元，则 a(1＋40 )·80 ＝a＋270，解得 a＝2 250.
答案 2 250
4.(2017·南京、盐城模拟)用长度为 24 的材料围一矩形场地，并用该材料在中间
加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.
解析 设隔墙的长为 x(0＜x＜6)，矩形面积为 y，则 y＝x×24－4x
2
＝2x(6－x)＝
－2(x－3)2＋18，∴当 x＝3 时，面积 y 最大.
答案 3
5.(必修 1P100 练习 3 改编)某商品在近 30 天内每件的销售价格 P(单位：元)与销
售时间 t(单位：天)的函数关系为 P＝{t＋20，0 < t < 25，
－t＋100，25 ≤ t ≤ 30，t∈N，且该商
品的日销售量 Q(单位：件)与销售时间 t(单位：天)的函数关系为 Q＝－t＋
40(0
y2，即“如意卡”便宜；
当 x>966
2
3时，y10)时，
销售量 q(x)(单位：百台)与 x 的关系满足：若 x 不超过 20，则 q(x)＝1 260
x＋1
；若
x 大于或等于 180，则销售量为零；当 20≤x≤180 时，q(x)＝a－b x(a，b 为实
常数).
(1)求函数 q(x)的表达式；
(2)当 x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值.
解 (1)当 20≤x≤180 时，由{a－b· 20＝60，
a－b· 180＝0，得{a＝90，
b＝3 5.
故 q(x)＝{1 260
x＋1 ，0 < x ≤ 20，
90－3 5 x，20 < x < 180，
0，x ≥ 180.
(2)设总利润 f(x)＝x·q(x)，
由(1)得 f(x)＝{126 000x
x＋1 ，0 < x ≤ 20，
9 000x－300 5·x x，20 < x < 180，
0，x ≥ 180，
当 00，f(x)单调递增，
当 80
lg
1
4
lg 0.9.
又
lg
1
4
lg 0.9＝ －2lg 2
2lg 3－1
＝ －0.602 0
0.954 2－1
＝－0.602 0
－0.045 8
≈13.14，
且 x∈N*，所以 xmin＝14.
答：至少通过 14 块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的1
4以下.
命题角度 3 构造分段函数模型
【例 3－3】 (2018·盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交
通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车流密度 x(单位：
辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速
度为 0 千米/小时；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时，
研究表明：当 20≤x≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数.
(1)当 0≤x≤200 时，求函数 v(x)的表达式；
(2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单
位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)
解 (1)由题意可知当 0≤x<20 时，v(x)＝60；当 20≤x≤200 时，设 v(x)＝ax＋b，
显然 v(x)＝ax＋b 在[20，200]上是减函数，由已知得{200a＋b＝0，
20a＋b＝60，解得{a＝－1
3，
b＝200
3 ，
故函数 v(x)的表达式为
v(x)＝{60，0 ≤ x < 20，
1
3（200－x），20 ≤ x ≤ 200.
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝{60x，0 ≤ x < 20，
1
3x（200－x），20 ≤ x ≤ 200，
当 0≤x<20 时，f(x)为增函数，故当 x＝20 时，其最大值为 60×20＝1 200；当
20≤x≤200 时，f(x)＝1
3x(200－x)≤1
3[x＋（200－x）
2 ] 2
＝10 000
3 ，当且仅当 x＝
200－x，即 x＝100 时，等号成立，所以，当 x＝100 时，f(x)在区间[20，200]上
取得最大值10 000
3 .
综上，当 x＝100 时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值10 000
3 ≈3 333.
答：当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约 3 333 辆/小
时.
规律方法 解函数应用题的一般程序：
第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：(建模)将文字语言转化成数 语言，用数 知识建立相应的数 模型；
第三步：(解模)求解数字模型，得到数 结论；
第四步：(还原)将用数 方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：(反思)对于数 模型得到的数 结果，必须验证这个数 结果对实际问题
的合理性.
【训练 3】 (2018·南京调研)某市对城市路 进行改造，拟在原有 a 个标段(注：一
个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建 x 个标段和 n 个道路交叉口，
其中 n 与 x 满足 n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为 m 万元，新建一个道路交
叉口的造价是新建一个标段的造价的 k 倍.
(1)写出新建道路交叉口的总造价 y(万元)与 x 的函数关系式；
(2)(一题多解)设 P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建
的标段数是原有标段数的 20 ，且 k≥3.问：P 能否大于 1
20，说明理由.
解 (1)依题意得 y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.
(2)法一 依题意 x＝0.2a，
所以 P＝mx
y ＝ x
k（ax＋5）＝ 0.2a
k（0.2a2＋5）＝ a
k（a2＋25）
≤ a
3（a2＋25）＝ 1
3(a＋25
a )
≤ 1
3 × (2 a ×
25
a )
＝ 1
30<
1
20.
P 不可能大于 1
20.
法二 依题意 x＝0.2a，
所以 P＝mx
y ＝ x
k（ax＋5）＝ 0.2a
k（0.2a2＋5）＝ a
k（a2＋25）.
假设 P>
1
20，则 ka2－20a＋25k<0.
因为 k≥3，所以 Δ＝100(4－k2)<0，不等式 ka2－20a＋25k<0 无解，假设不成立.P
不可能大于 1
20.
一、必做题
1.给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对
数函数模型.下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，它最可能的函数模型
是________(填序号).
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
解析 根据已知数据可知，自变量每增加 1 函数值增加 2，因此函数值的增量是
均匀的，故为一次函数模型.
答案 ①
2.某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后
3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关
系图象正确的是________(填序号).
解析 前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，∴前三年的斜率在
逐渐增大，∴图象呈现下凹的情形，只有①，③图象符合要求，而后 3 年年产量
保持不变，总产量增加，故①正确，③错误.
答案 ①
3.(2018·盐城月考)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月
用水不超过 10 m3 的，按每立方米 m 元收费；用水超过 10 m3 的，超过部分加倍
收费.某职工某月缴水费 16m 元，则该职工这个月实际用水为______m3.
解析 设该职工用水 x m3 时，缴纳的水费为 y 元，
由题意得 y＝{mx（0 < x ≤ 10），
10m＋（x－10）·2m（x > 10），
则 10m＋(x－10)·2m＝16m，解得 x＝13.
答案 13
4.(2018·南通模拟)某汽车销售公司在 A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地
的销售利润(单位：万元)为 y1＝4.1x－0.1x2，在 B 地的销售利润(单位：万元)为 y2
＝2x，其中 x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，
则能获得的最大利润是________万元.
解析 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车(16－x)
辆，所以可得利润 y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－21
2 )
2
＋0.1×212
4 ＋32.因为 x∈[0，16]且 x∈N，所以当 x＝10 或 11 时，总利润取得
最大值 43 万元.
答案 43
5.(2017·长春模拟)一个容器装有细沙 a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢
慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y＝ae－bt(cm3)，经过 8 min 后发现容器
内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之
一.
解析 当 t＝0 时，y＝a，当 t＝8 时，y＝ae－8b＝1
2a，
∴e－8b＝1
2，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，
即 y＝ae－bt＝1
8a，e－bt＝1
8＝(e－8b)3＝e－24b，
则 t＝24，所以再经过 16 min.
答案 16
6.A，B 两只船分别从在东西方向上相距 145 km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向
西行驶.B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是 40 kmh，B 的速度是 16 kmh，
经过________h，AB 间的距离最短.
解析 设经过 x h，A，B 相距为 y km，则 y＝ （145－40x）2＋（16x）2＝
1 856x2－11 600x＋1452(0≤x≤29
8 )，求得函数的最小值时 x 的值为25
8 .
答案 25
8
7.(2018·苏州模拟)某种病毒经 30 分钟繁殖为原来 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 y
＝ekt(其中 k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则 k＝
________；经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为________个.
解析 当 t＝0.5 时，y＝2，∴2＝e
1
2k，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2，
当 t＝5 时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
答案 2ln 2 1 024
8.(2018·淮安模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩
形花园(阴影部分)，则其边长 x 为________m.
解析 设内接矩形另一边长为 y，
则由相似三角形性质可得 x
40＝40－y
40
，
解得 y＝40－x，
所以面积 S＝x(40－x)＝－x2＋40x
＝－(x－20)2＋400(015，
模拟函数 2：y＝14－23－x 也是单调递增函数，当 x＝12 时，y<15，所以应该选用
模拟函数 2：y＝14－23－x.
当 x＝6 时，y＝14－23－6＝13.875.
所以预测 6 月份的产量为 13.875 万件.
10.(2018·常州一中高三质检)某品牌茶壶的原售价为 80 元/个，今有甲、乙两家茶
具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只买一个茶壶，其价格为 78 元/
个，如果一次购买两个茶壶，其价格为 76 元/个，……，一次购买的茶壶数每增
加一个，茶壶的价格减少 2 元/个，但茶壶的售价不得低于 44 元/个；乙店一律按
原价的 75 销售.现某茶社要购买这种茶壶 x 个，如果全部在甲店购买，则所需金
额为 y1 元；如果全部在乙店购买，则所需金额为 y2 元.
(1)分别求出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式；
(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？
解 (1)对甲茶具店而言：每个售价为(80－2x)元，此时 0≤x≤18，x∈N，当 x>18
时，每个售价为 44 元，所以 y1 与 x 之间的函数关系式为
y1＝{x（80－2x），0 ≤ x ≤ 18，x ∈ N，
44x，x > 18，x ∈ N.
对乙茶具店而言：每个售价为 80×75 ＝60 元，
所以 y2＝60x，x∈N.
(2)设甲茶具店比乙茶具店多花费 y 元，
则 y＝y1－y2＝{x（80－2x）－60x，0 ≤ x ≤ 18，x ∈ N，
44x－60x，x > 18，x ∈ N，
即 y＝{－2x2＋20x，0 ≤ x ≤ 18，x ∈ N，
－16x，x > 18，x ∈ N，
当 x＝10 时，y＝y1－y2＝0，即 y1＝y2；
当 1≤x<10 时，y＝y1－y2＝－2x(x－10)>0，
即 y1>y2；
当 1018 时，y＝y1－y2＝－16x<0，即 y18.
①当 00，所以当 t＝5
v时，f(t)取最大值 ，
所以(v2－48
5 v＋36)×(5
v ) 2
≤25，解得 v≥15
4 .
②当 58，所以 1
v－6<
5
v，(v－6)2>0，所以当 t＝13
v 时，f(t)取最大值，
所以(v－6)2(13
v － 1
v－6) 2
＋9≤25，解得39
8
≤v≤39
4 .
③当 13≤vt≤16，即13
v ≤t≤16
v 时，
f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，
因为 12－6t>0，16－vt>0，所以 f(t)在(13
v ，
16
v )上单调递减，
所以当 t＝13
v 时，f(t)取最大值，
(12－6 × 13
v ) 2
＋(16－v × 13
v ) 2
≤25，解得39
8 ≤v≤39
4 .
因为 v>8，所以 8
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