【数学】2020届一轮复习北师大版集合学案(1)

【数学】2020届一轮复习北师大版集合学案(1)

第章　集合与常用逻辑用语 第一节　集　合 ‎[考纲传真]　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．‎ ‎1．元素与集合 ‎(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.‎ ‎(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．‎ ‎(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋)‎ Z Q R ‎2.集合间的基本关系 ‎(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.‎ ‎(2)真子集：若A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，则AB或BA.‎ ‎(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.‎ ‎(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．‎ ‎3．集合的基本运算 ‎(1)A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；‎ ‎(2)A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；‎ ‎(3)∁UA＝{x|x∈U且x∉A}．‎ ‎[常用结论]‎ ‎1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.‎ ‎2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)任何一个集合都至少有两个子集． (　　)‎ ‎(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}． (　　)‎ ‎(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1. (　　)‎ ‎(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}. (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤2}，a＝，则下列结论正确的是(　　)‎ A．{a}⊆A　 　B．a⊆A　 　C．{a}∈A　 　D．a∉A D　[由题意知A＝{0,1,2}，由a＝，知a∉A.]‎ ‎3．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∪B中的元素个数为(　　)‎ A．6 B．‎5 C．4 D．3‎ C　[因为B＝{0,2,4}，所以A∪B＝{0,1,2,4}，元素个数为4，故选C.]‎ ‎4．(教材改编)已知集合A＝{x|x2－x－6＜0}，集合B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝________.‎ ‎(－2,1)　[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，‎ ‎∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}．]‎ ‎5．已知集合A＝{x2＋x,4x}，若0∈A，则x＝________.‎ ‎－1　[由题意，得或解得x＝－1.]‎ 集合的基本概念 ‎1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)‎ A．9　　　　B．‎8　‎　　　C．5　　　　D．4‎ A　[由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为CC＝9，故选A.]‎ ‎2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)‎ A. B. C．0 D．0或 D　[若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．‎ 当a＝0时，x＝，符合题意；‎ 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－‎8a＝0得a＝，‎ 所以a的取值为0或.]‎ ‎3．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019为(　　)‎ A．1 B．‎0 C．－1 D．±1‎ C　[由已知得a≠0，则＝0，‎ 所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]‎ ‎[规律方法](1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合.,‎ (2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.‎ 集合的基本关系 ‎【例1】　(1)(2019·长春质检)已知集合M＝{0,1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎(2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若B⊆A，则m 的取值范围为________．‎ ‎(1)D　(2)(－∞，1]　[(1)由M∪N＝M得N⊆M，即找集合M的子集个数，故满足题意的集合N有：∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．‎ ‎(2)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A，‎ 当m＞0时，B≠∅，因为A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}＝{x|－1＜x＜3}．‎ 当B⊆A时，有 所以 所以0＜m≤1.‎ 综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．]‎ ‎[规律方法]　(1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.,‎ (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.‎ ‎ 已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　)‎ A．AB B．BA C．A⊆B D．B＝A B　[由题意知A＝{x|－1≤x≤1}，‎ 所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，‎ 因此BA.]‎ 集合的基本运算 ‎►考法1　集合的交、并、补运算 ‎【例2】　(1)(2019·陕西模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪B＝(　　)‎ A．∅ B．{x|x∈R}‎ C．{x|x≤1} D．{x|x＞2}‎ ‎(2)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝(　　)‎ A．{1,3} B．{3,7,9}‎ C．{3,5,9} D．{3,9}‎ ‎(1)B　(2)D　[(1)∵A＝{x|x2－3x＋2≥0}＝{x|x≥2或x≤1}，‎ B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜2}．‎ ‎∴A∪B＝R，故选B.‎ ‎(2)法一：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁UB，则(∁UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理，1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．‎ 法二：本题也可以利用Venn图帮助理解，如图所示．‎ ‎]‎ ‎►考法2　利用集合的运算求参数 ‎【例3】　(1)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于(　　)‎ A．0或 B．0或3‎ C．1或 D．1或3‎ ‎(2)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－1,2) B．(－∞，2]‎ C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)‎ ‎(1)B　(2)D 　[(1)由A∪B＝A，得B⊆A，所以m∈A.因为A＝{1,3，}，所以m＝或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0.由集合中元素的互异性知m≠1，故选B.‎ ‎(2)M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，且M∩N≠∅，结合数轴可得a＞－1.‎ ‎]‎ ‎[规律方法]　解决集合运算问题需注意以下三点：‎ (1)看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.‎ (2) 看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.‎ (3)要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍.‎ ‎ (1)设集合A＝{x|－1＜x≤2}，B＝{x|x＜0}，则下列结论正确的是(　　)‎ A．A∪B＝{x|x＜0}‎ B．(∁RA)∩B＝{x|x＜－1}‎ C．A∩B＝{x|－1＜x＜0}‎ D．A∪(∁RB)＝{x|x≥0}‎ ‎(2)(2019·河北六校联考)设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6＜0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)‎ A．{x|x＜3} B．{x|－3＜x≤1}‎ C．{x|x＜2} D．{x|－2＜x≤1}‎ ‎(1)C　(2)D　[(1)由题知，A＝(－1,2]，B＝(－∞，0)，∴A∪B＝(－∞，2]，A∩B＝(－1,0)，(∁RA)∩B＝(－∞，－1]，A∪(∁RB)＝(－1，＋∞)，故选C.‎ ‎(2)依题意得A＝{x|x≤1}，B＝{x|－2＜x＜3}，题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{x|－2＜x≤1}，故选D.]‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝(　　)‎ A．{x|－1＜x＜2}‎ B．{x|－1≤x≤2}‎ C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}‎ D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}‎ B　[法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.‎ 法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.]‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，则(　　)‎ A．A∩B＝{x|x＜0}　　　　　 B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅‎ A　[∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．‎ 又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.]‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　)‎ A．{1，－3} B．{1,0}‎ C．{1,3} D．{1,5}‎ C　[∵A∩B＝{1}，∴1∈B.‎ ‎∴1－4＋m＝0，即m＝3.‎ ‎∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．‎ 故选C.]‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)‎ A．3　　　　　B．‎2 C．1　　　　　D．0‎ B　[集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，‎ 集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．‎ 结合图形可知，直线与圆有两个交点，‎ 所以A∩B中元素的个数为2.‎ 故选B.]‎ ‎5．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z)，则A∪B＝(　　)‎ A．{1} B．{1,2}‎ C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}‎ C　[因为B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．]‎