2018年北京市石景山区高考一模试卷数学文

2018年北京市石景山区高考一模试卷数学文

2018 年北京市石景山区高考一模试卷数学文 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项. 1.设集合 A={x|(x+1)(x-2)＜0}，集合 B={x|1＜x＜3}，则 A∩B=( ) A.{x|-1＜x＜3} B.{x|-1＜x＜1} C.{x|1＜x＜2} D.{x|2＜x＜3} 解析：A={x|-1＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}. 答案：C 2.下列函数中既是奇函数，又在区间(0，+∞)上是单调递减的函数为( ) A. yx B.y=-x3 C. 1 2 logyx D. 1yx x  解析：对于 A，y= x (x≥0)是非奇非偶的函数，不满足条件； 对于 B，y=-x3，是定义域 R 上的奇函数，且在区间(0，+∞)上是单调减函数，满足条件； 对于 C， ，定义域是(0，+∞)，是非奇非偶的函数，不满足条件； 对于 D， 1yx x  ，是定义域(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，但在区间(0，+∞)上不是 单调减函数，也不满足题意. 答案：B 3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是( ) A.3 B.11 C.38 D.123 解析：模拟程序的运行，可得 a=1， 满足条件 a＜10，执行循环体，a=3， 满足条件 a＜10，执行循环体，a=11， 不满足条件 a＜10，退出循环，输出 a 的值为 11. 答案：B 4.设 x，y 满足约束条件 2 2 3 9 0 xy xy x      ， ， ， 则下列不等式恒成立的是( ) A.x≥1 B.y≤1 C.x-y+2≥0 D.x-3y-6≤0 解析：作出 x，y 满足约束条件 对应的平面区域如图： 则 A(0，2)， 易知 x≥1，y≤1 不成立， 直线 z=x-y+2 经过 A 时取得最小值为 0，直线 z=x-3y-6 经过 A 时取得最小值为：-12， 由图象可知 x-3y-6≤0 不成立，恒成立的是 x-y+2≥0. 答案：C 5.已知平面向量 ab， 满足 32ab， ， a 与 b 的夹角为 120°，若 a mb a，则实数 m 的值为( ) A.1 B. 3 2 C.2 D.3 解析：∵ ， 与 的夹角为 120°， ∴ 1cos120 3 2 3 2 a b a b           ． ∵    2 23 3 0a mb a a mb a a m a b m          ， ，解得 m=3. 答案：D 6.“a＞b＞1”是“loga3＜logb3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由 loga3＜logb3 得 33 11 log logab ＜ ， 若 a＞b＞1，则 log3a＞log3b＞0，则 33 11 log logab ＜ 成立，即充分性成立， 若 log3a＜0，log3b＞0 时，满足条件，但此时 0＜a＜1，b＞1，则 a＞b＞1 不成立， 即“a＞b＞1”是“loga3＜logb3”的充分不必要条件. 答案：A 7.若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是( ) A. 7 8 cm3 B. 2 3 cm3 C. 5 6 cm3 D. 1 2 cm3 解析：由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱， 正方体的棱长是 1，∴正方体的体积是 1×1×1=1， 三棱柱的底面是腰长是 1 2 的直角三角形，高是 1， ∴三棱柱的体积是 1 1 1 11 2 2 2 8     ， ∴几何体的体积是 171. 88  答案：A 8.如图，已知线段 AB 上有一动点 D(D 异于 A、B)，线段 CD⊥AB，且满足 CD2=λ AD·BD(λ 是 大于 0 且不等于 1 的常数)，则点 C 的运动轨迹为( ) A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 解析：以 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系， 设 AB 中点为 O，设 C(x，y)，AB=2a，则 D(x，0)，A(-a，0)，B(a，0)， ∵线段 CD⊥AB，且满足 CD2=λ AD·BD(λ 是大于 0 且不等于 1 的常数)， ∴y2=λ (x+a)(x-a)=λ x2-λ a2，∴λ x2+y2=λ a2.∴点 C 的运动轨迹为椭圆的一部分. 答案：B 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9.复数 3 1 i i   . 解析：       3 1 1 1 1 . 1 1 1 1 2 2 2 iii i i i i i i i             答案： 11 22 i 10.双曲线 2 2 1 2 x y的焦距是 ，渐近线方程是 . 解析：双曲线 2 2 1 2 x y中， 2 1 3a b c  ， ， ，∴焦距是 2 2 3c  ，渐近线方程是 2 2 yx ． 答案： 23； 11.若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1，0)关于直线 y=x 对称，则圆 C 的标准方程为 . 解析：圆心与点(1，0)关于直线 y=x 对称，可得圆心为(0，1)，再根据半径等于 1， 可得所求的圆的方程为 x2+(y-1)2=1， 答案：x2+(y-1)2=1. 12.在△ABC 中，A=60°，AC=4，BC=2 3 ，则△ABC 的面积等于 . 解析：∵△ABC 中，A=60°，AC=4，BC=2 ， 由正弦定理得： 2 3 4 sin sin sin 60 sin BC AC A B B     ， ，解得 sinB=1，∴B=90°，C=30°， ∴△ABC 的面积= 1 2 3 4 sin 30 2 3 2      ． 答案：2 . 13.在等差数列{an}中 a3=0，如果 ak 是 a6 与 ak+6 的等比中项，那么 . 解析：在等差数列{an}中，由 a3=0， 得 ak=a3+(k-3)d=(k-3)d，a6=a3+3d=3d，ak+6=a3+(k+3)d=(k+3)d， ∵ak 是 a6 与 ak+6 的等比中项， ∴ak 2=a6·ak+6，即(k-3)2d2=3d·(k+3)d， ∵d≠0，∴k2=9k，得 k=9. 答案：9 14.已知函数 f(x)= 2 2 4 x x x m x x m      ， ， ， ＞ ． ①当 m=0 时，函数 f(x)的零点个数为 ； ②如果函数 f(x)恰有两个零点，那么实数 m 的取值范围为 . 解析：①令-x2-2x=0 可得 x=-2 或 x=0， 令 x-4=0 得 x=4.∴当 m=0 时，f(x)有 3 个零点. ②若 m＜-2，则 f(x)在(-∞，m]上无零点，在(m，+∞)上有 1 个零点 x=4，不符合题意； 若-2≤m＜0，则 f(x)在(-∞，m]上有 1 个零点 x=-2，在(m，+∞)上有 1 个零点 x=4，符合 题意； 若 0≤m＜4，则 f(x)在(-∞，m]上有 2 个零点 x=-2，x=0，在(m，+∞)上有 1 个零点 x=4， 不符合题意； 若 m≥4，则 f(x)在(-∞，m]上有 2 个零点 x=-2，x=0，在(m，+∞)上无零点，符合题意； ∴-2≤m＜0 或 m≥4. 答案：①3，②[-2，0)∪[4，+∞). 三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.已知函数   22 cos 2 3 sin cos 1f x x x x   ． (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期； (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[ 2  ，π ]上的最小值和最大值. 解析：(Ⅰ)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求函数 f(x) 的最小正周期； (Ⅱ)通过角的范围求解相位的范围，利用正弦函数的单调性求解函数的最值即可. 答案：(Ⅰ)   22 cos 2 3 sin cos 1f x x x x   13cos 2 3 sin 2 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 2 2 6 x x x x x          ， 所以周期为 T= 2 2  =π . (Ⅱ)因为 ≤x≤π ，所以 7 132 6 6 6 x     ． 所以当 132 66 x  时，即 x=π 时，f(x)max=1. 当 32 62 x  时，即 x= 2 3 π 时，f(x)min=-2. 16.等差数列{an}中，a2=4，其前 n 项和 Sn 满足 Sn=n2+λ n(λ ∈R). (Ⅰ)求实数λ 的值，并求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)若数列{ 1 nS +bn}是首项为λ 、公比为 2λ 的等比数列，求数列{bn}的前 n 项的和 Tn. 解析：(I)利用 a2=S2-S1=4+2λ -1-λ =4，求出λ =1，再利用数列中 an 与 Sn 关系 an=Sn，n=1， Sn-Sn-1，n≥2，求通项公式. (II)求出数列{1Sn+bn}的通项公式，再得出数列{bn}的通项公式，最后根据通项公式形式选 择相应方法求和. 答案：(I)因为 a2=S2-S1=4+2λ -1-λ =4，解得λ =1，∴Sn=n2+n， 当 n≥2 时，则 an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n， 当 n=1 时，也满足，所以 an=2n. (II)由已知数列{ +bn}是首项为 1、公比为 2 的等比数列， 其通项公式为 1 1 1 112 n n n bb SS       ，且首项 1 1 1 1b S ， 故   1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 1 1 n n n n nn n b b b b S S n n n n                   ， ， ， 11()1 1 1 1 11 2 2 1 2 1 2 2 3 1 1 nn n nT n n n                                    ． 17.抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动.小明收集班内 20 名 同学今年春节期间抢到红包金额 x(元)如下(四舍五入取整数)： 102 52 41 121 72 162 50 22 158 46 43 136 95 192 59 99 22 68 98 79 对这 20 个数据进行分组，各组的频数如下： (Ⅰ)写出 m，n 的值，并回答这 20 名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别； (Ⅱ)记 C 组红包金额的平均数与方差分别为 v1、s1 2，E 组红包金额的平均数与方差分别为 v2、 s2 2，试分别比较 v1 与 v2、s1 2 与 s2 2 的大小；(只需写出结论) (Ⅲ)从 A，E 两组所有数据中任取 2 个，求这 2 个数据差的绝对值大于 100 的概率. 解析：(Ⅰ)由题意求出 m=4，n=2，从而能求出这 20 名同学抢到的红包金额的中位数落在 B 组. (Ⅱ)记 C 组红包金额的平均数与方差分别为 v1、s1 2，E 组红包金额的平均数与方差分别为 v2、 s2 2，由此能比较 v1 与 v2、s1 2 与 s2 2 的大小. (Ⅲ)A 组两个数据为 22，22，E 组两个数据为 162，192，任取两个数据，利用列举法能求出 这 2 个数据差的绝对值大于 100 的概率. 答案：(Ⅰ)由题意求出 m=4，n=2，这 20 名同学抢到的红包金额的中位数落在 B 组. (Ⅱ)记 C 组红包金额的平均数与方差分别为 v1、s1 2，E 组红包金额的平均数与方差分别为 v2、 s2 2，则 v1＜v2，s1 2＜s2 2. (Ⅲ)A 组两个数据为 22，22，E 组两个数据为 162，192 任取两个数据，可能的组合有 6 种结果，分别为：(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22， 162)，(22，192)，(162，192)， 记数据差的绝对值大于 100 为事件 A，事件 A 包括 4 种结果， ∴这 2 个数据差的绝对值大于 100 的概率 P(A)= 42 63  ． 18.如图，在三棱锥 D-ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB⊥平面 BCD，AB=BC=a，E 为 BC 点， F 棱 AC 上，且 AF=3FC. (1)求三棱锥 D-ABC 的体积； (2)求证：AC⊥平面 DEF； (3)若 M 为 DB 中点，N 在棱 AC 上，且 CN= 3 8 CA，求证：MN∥平面 DEF. 解析：(1)直接利用体积公式，求三棱锥 D-ABC 的体积； (2)要证 AC⊥平面 DEF，先证 AC⊥DE，再证 AC⊥EF，即可. (3)M 为 BD 的中点，连 CM，设 CM∩DE=O，连 OF，只要 MN∥OF 即可. 答案：(1)∵△BCD 是正三角形，AB⊥平面 BCD，AB=BC=a， ∴三棱锥 D-ABC 的体积 231 3 3 3 4 12 V a a a    ． (2)取 AC 的中点 H，∵AB=BC，∴BH⊥AC. ∵AF=3FC，∴F 为 CH 的中点. ∵E 为 BC 的中点，∴EF∥BH.则 EF⊥AC. ∵△BCD 是正三角形，∴DE⊥BC. ∵AB⊥平面 BCD，∴AB⊥DE. ∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面 ABC.∴DE⊥AC. ∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面 DEF. (3)连 CM，设 CM∩DE=O，连 OF. 由条件知，O 为△BCD 的重心，CO= 2 3 CM. 当 CN= 3 8 CA 时，CF= 2 3 CN，∴MN∥OF. ∵MN 平面 DEF，OF  平面 DEF，∴MN∥平面 DEF. 19. 已知椭圆 E： 22 221xy ab (a＞b＞0)的离心率 e= 2 2 ，焦距为 22. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； (Ⅱ)若 C，D 分别是椭圆 E 的左、右顶点，动点 M 满足 MD⊥CD，连接 CM，交椭圆 E 于点 P. 证明：O M O P 为定值(O 为坐标原点). 解析：(Ⅰ)根据题意，分析可得椭圆中 c 的值，结合椭圆的离心率公式可得 a 的值，计算可 得 b 的值，将 a、b 的值代入椭圆的方程，即可得答案； (Ⅱ)根据题意，设 lCM：x=my-2，联立直线与椭圆的方程，用根与系数的关系分析，用 m 表 示 P 的坐标结合直线的方程分析可得 M 的坐标，进而可以用 m 表示O M O P ，分析可得答 案. 答案：(Ⅰ)根据题意，椭圆 E 的焦距为 ，则 2c= ，所以 c= 2 ， 因为 2 2 ce a  ，所以 a= c=2， 因为 a2=b2+c2，所以 b2=2，所以椭圆方程为 22 1 42 xy. (Ⅱ)因为直线 CM 不在 x 轴上，故可设 lCM：x=my-2. 由 22 1 42 2 xy x m y      ， ， 得(m2+2)y2-4my=0， ∴ 2 22 2 4 4 22PP mmyx mm   ， ，即 P( 2 22 2 4 4 22 mm mm   ， ). 在直线 x=my-2 中令 x=2，则 4 My m  ，即 M(2， 4 m ). ∴ 2 22 4 8 16 4 22 mOM OP mm      ．∴ 为定值 4. 20.设函数 f(x)=lnx+ m x ，m∈R. (Ⅰ)当 m=e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； (Ⅱ)讨论函数 g(x)=f′(x)- 3 x 零点的个数； (Ⅲ)若对任意 b＞a＞0，    f b f a ba   ＜1 恒成立，求 m 的取值范围. 解析：(Ⅰ)m=e 时，f(x)=lnx+ e x ，利用 f′(x)判定 f(x)的增减性并求出 f(x)的极小值； (Ⅱ)由函数 g(x)=f′(x)- 3 x ，令 g(x)=0，求出 m；设φ (x)=m，求出φ (x)的值域，讨论 m 的取值，对应 g(x)的零点情况； (Ⅲ)由 b＞a＞0，    f b f a ba   ＜1 恒成立，等价于 f(b)-b＜f(a)-a 恒成立； 即 h(x)=f(x)-x 在(0，+∞)上单调递减；h′(x)≤0，求出 m 的取值范围. 答案：(Ⅰ)当 m=e 时，f(x)=lnx+ ，∴f′(x)= 2 xe x  ； ∴当 x∈(0，e)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上是减函数； 当 x∈(e，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(e，+∞)上是增函数； ∴x=e 时，f(x)取得极小值为 f(e)=lne+ e e =2； (Ⅱ)∵函数 g(x)=f′(x)- 2 1 33 x m x xx    (x＞0)， 令 g(x)=0，得 m=- 1 3 x3+x(x＞0)； 设φ (x)=- x3+x(x＞0)， ∴φ ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)； 当 x∈(0，1)时，φ ′(x)＞0，φ (x)在(0，1)上是增函数， 当 x∈(1，+∞)时，φ ′(x)＜0，φ (x)在(1，+∞)上是减函数； ∴x=1 是φ (x)的极值点，且是极大值点， ∴x=1 是φ (x)的最大值点， ∴φ (x)的最大值为φ (1)= 2 3 ； 又φ (0)=0，结合 y=φ (x)的图象，如图； 可知：①当 m＞ 时，函数 g(x)无零点； ②当 m= 时，函数 g(x)有且只有一个零点； ③当 0＜m＜ 2 3 时，函数 g(x)有两个零点； ④当 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 综上，当 m＞ 时，函数 g(x)无零点； 当 m= 或 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 0＜m＜ 时，函数 g(x)有两个零点； (Ⅲ)对任意 b＞a＞0，    f b f a ba   ＜1 恒成立， 等价于 f(b)-b＜f(a)-a 恒成立； 设 h(x)=f(x)-x=lnx+ m x -x(x＞0)，则 h(b)＜h(a). ∴h(x)在(0，+∞)上单调递减； ∵h′(x)= 2 1 1m xx ≤0 在(0，+∞)上恒成立， ∴m≥-x2+x=-(x- 1 2 )2+ 1 4 (x＞0)，∴m≥ 1 4 ； 对于 m= ，h′(x)=0 仅在 x= 时成立；∴m 的取值范围是[ ，+∞).