北京市石景山区2020届高三下学期统一测试数学试题

北京市石景山区2020届高三下学期统一测试数学试题

‎2020年石景山区高三统一测试 数 学 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1. ‎ 设集合，，则等于 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎2.‎ 在复平面内，复数, 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C 对应的复数是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎3.‎ 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎4.‎ 圆的圆心到直线的距离为1，则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎5.‎ 将位志愿者分配到博物馆的个不同场馆服务，每个场馆至少人，不同的分配 方案有（ ）种 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎6.‎ ‎ 如图，网格纸的小正方形的边长是1，‎ 粗线表示一正方体被某平面截得的几 何体的三视图，则该几何体的体积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎7.‎ 函数（）的最小正周期为，则满足 A. 在上单调递增 B. 图象关于直线对称 C. ‎ D. 当时有最小值 ‎8.‎ 设是等差数列，其前项和为. 则“”是“为递增数列”的 A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎9.‎ 设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得 ‎，则称函数具有性质，那么下列函数：‎ ‎① ；② ；③ ；‎ 具有性质的函数的个数为 A. B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎10.‎ 点分别是棱长为的正方体中棱的中点，动点 在正方形（包括边界）内运动.若面，则的长度范围是 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11.‎ 已知向量 ， ，则__________．‎ ‎12.‎ 已知各项为正数的等比数列中，，其前项和为，且 ‎，则_________．‎ ‎13.‎ 能够说明“设是任意非零实数，若“，则”是假命题的一组 整数的值依次为______________．‎ ‎14.‎ 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于 点．若为的中点，则__________．‎ ‎15.‎ 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师 组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．‎ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16.（本小题14分）‎ 如图，在正四棱锥中，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎17.（本小题14分）‎ ‎2020年，北京将实行新的高考方案.新方案 规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案． 某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：‎ 性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案确定的有16人 ‎16‎ ‎16‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ 选考方案待确定的有12人 ‎8‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 女生 选考方案确定的有20人 ‎6‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎2‎ ‎6‎ 选考方案待确定的有12人 ‎2‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎(Ⅰ)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ (Ⅱ)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”‎ 的概率；‎ ‎（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，‎ 设随机变量，求的分布列和期望.‎ ‎18.（本小题14分）‎ 已知锐角，同时满足下列四个条件中的三个：‎ ‎① ② ③ ④‎ ‎(Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由；‎ ‎(Ⅱ)求的面积.‎ ‎19.（本小题15分）‎ 已知椭圆的右焦点为，离心率为. 直线过点 且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（Ⅲ）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率．‎ ‎20. （本小题14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，过上一点作的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．‎ ‎21.（本小题14分）‎ 有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为,当时，称集合具有性质.‎ ‎(Ⅰ)，，判断集合是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）设集合，且，若集合具有性质，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）设集合，其中数列为等比数列，且公比为有理数，判断集合集合是否具有性质并说明理由.‎ ‎2020年石景山区高三统一测试 数学试卷答案及评分参考 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分． ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B C D A A B D C C B 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． ‎ ‎11．； 12．； 13． ；答案不唯一 ‎ ‎14．； 15. 小学中级 ．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：联结．‎ 在正四棱锥中，‎ 底面．‎ 因为平面，‎ 所以． …………3分 在正方形中，，‎ 又因为，‎ 所以面． …………6分 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，，两两垂直，‎ 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 . …………7分 在正方形中，因为，‎ 所以． ‎ 又因为，‎ 所以．‎ 所以点的坐标为，点的坐标为，‎ 点的坐标为． …………8分 则，． …………9分 由（Ⅰ）知，平面．‎ 所以平面的一个法向量为． …………10分 设平面的一个法向量．‎ 则即 令，则，．‎ 故平面的一个法向量． …………13分 所以二面角的余弦值为． …………14分 ‎17.（本小题14分）‎ 解：(Ⅰ)由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+20=28人 …1分 所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 ‎ 人 ………4分 ‎ (Ⅱ)选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8人。 ……5分 设“恰好有一人选物理、化学、生物”为事件A ……6分 ‎ ……8分 ‎（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物；有4人选择物理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治. ……9分 的可能取值为.‎ ‎ ……12分 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎ ……14分 18. ‎（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）同时满足①，②，③． ………… 3分 ‎ 理由如下：‎ 若同时满足①，④，则在锐角中，‎ ‎，所以 ‎ 又因为 ,所以 所以,这与是锐角三角形矛盾，‎ 所以不能同时满足①, ④， ………… 6分 所以同时满足②，③ . ………… 7分 因为 所以 若满足④‎ 则 , 则,这与是锐角三角形矛盾 故不满足④. ………… 9分 故满足①，②，③．‎ ‎（Ⅱ）因为 ， …………10分 ‎ 所以 ．‎ ‎ 解得 或． ………… 12分 ‎ ‎ 当时，‎ ‎ 所以为钝角，与题意不符合，所以． ………… 13分 ‎ 所以△的面积． …………14分 18. ‎（本小题15分）‎ 解：（Ⅰ）由已知，， …………2分 ‎ ‎ 又，解得 …………4分 ‎ ‎ 所以椭圆方程为. …………5分 ‎ （Ⅱ）设直线的方程为 ‎ 联立消去得 ‎ ‎ ，不妨设 ……7分 ‎ 则，因为为线段的中点 ‎ 所以， ………8分 ‎ 所以 …………9分 ‎ 所以为定值. …………10分 ‎ （Ⅲ）若四边形为平行四边形,则 …………12分 ‎ 所以 ‎ …………13分 ‎ 因为点在椭圆上，所以 ……14分 ‎ 解得 即 ‎ ‎ 所以当四边形为平行四边形时，直线的斜率为. ………15分 ‎20.（本小题14分）‎ ‎.解：（Ⅰ）令 …………1分 ‎ 所以 令，解得. …………3分 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 ‎ …………5分 ‎ ‎ 所以在的最小值为 ……6分 令 解得.‎ 所以当时，恒成立，即恒成立. ………7分 ‎（Ⅱ）可作出2条切线. …………8分 理由如下：当时，.‎ 设过点的直线与相切于点， …………9分 则 即 整理得 …………10分 令，则在上的零点个数与切点的个数一一对应.‎ ‎，令解得 . …………11分 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 所以 在上单调递减，在上单调递增. ‎ ‎ ‎ ‎ 且 ‎ ‎ ‎ …………13分 所以 在和上各有一个零点，即有两个不同的解.‎ 所以 过点可作出的2条切线. …………14分 ‎21.（本小题14分）‎ 解：(Ⅰ)集合不具有性质，集合具有性质.‎ ‎,不具有性质;‎ ‎,,具有性质. …………3分 ‎（Ⅱ）若三个数成等差数列，则不具有性质，理由是.‎ 因为且所以，‎ 要使取最大，则；‎ ‎，易知不具有性质，要使取最大，‎ 则；‎ ‎，要使取最大，检验可得；‎ ‎ …………8分（Ⅲ）集合具有性质.‎ 设等比数列的公比为为，所以且为有理数，‎ 假设当时有成立，则有 ‎ …………10分 因为为有理数，设且（互质），因此有 即（1），‎ （1） 式左边是的倍数，右边是的倍数，又互质， ‎ 显然不成立. ……12分 所以，所以集合具有性质. ……14分