【数学】2019届一轮复习北师大版导数的综合应用问题学案（理）学案

【数学】2019届一轮复习北师大版导数的综合应用问题学案（理）学案

第29题 导数的综合应用问题 I．题 探究·黄金母题 ‎【例1】设，记 试比较的大小关系为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】先证明不等式 (x>0)；设，∵∴当时，单调递增，；当时单调递减，；当x=1时，显然，因此；‎ 设， 当， ，即；‎ 综上 有，x>0成立；‎ ‎，， ，故选A．‎ 精彩解读 ‎【试题 】人教版A版选修2-2P32习题1．3B组T1改编．‎ ‎【母题评析】判断函数的单调性及求函数的单调区间是高中数中常见的一类典型问题，本考查了如何利用导数去判断函数的单调性及求函数的单调区间．‎ ‎【思路方法】判断函数的单调性基本方法有 定义法、图象法、复合函数法（同增异减），本题之后又添一法——导数法，求单调区间时，要注意函数的定义域．‎ ‎【例2】利用函数的单调性，证明下列不等式 ‎ ‎（1），；‎ ‎（2），；‎ ‎（3），；‎ ‎（4），．‎ ‎【解析】（1）证明 设，．∵，，∴在 精彩解读 ‎【试题 】人教版A版选修2-2P31习题1．3B组T1‎ ‎【母题评析】不等式证明是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单调性去证明不等式．‎ ‎【思路方法】不等式证明常用的基本方法有 ‎ 内单调递减，因此，，即，．‎ ‎（2）证明 设，．∵，‎ ‎∴当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；又．因此，，．‎ ‎（3）证明 设，．‎ ‎∵，，∴当时，，单调递增，；‎ 当时，，单调递减，；‎ 综上，，．‎ ‎（4）证明 设，．‎ ‎∵，，∴当时，，单调递增，；‎ 当时，，单调递减，；‎ 当时，显然．因此，．‎ 由（3）可知，，．‎ 综上，，．‎ 综合法、比较法（作差法、作商法）、分析法，本题之后又添一法——构造函数法，要注意所构造函数的定义域．‎ ‎【例3】利用信息技术工具，画出函数 的图象，并改变的值，观察图像的形状 ‎ （1） 你能归纳出图象的大致形状吗？它的图像有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？‎ ‎（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．‎ ‎【解析】（1）函数的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状．若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间．‎ ‎ （2）∵，∴．‎ 下面分类讨论 ‎ 当时，分和两种情形 ‎ ‎①当，且时，‎ 设方程的两根分别为，且，当，即或时，函数单调递增；‎ 当，即时，函数单调递减．‎ 当，且时，此时，‎ 函数单调递增．‎ ‎②当，且时，设方程的两根分别为，且，当，即时，函数单调递增；‎ 精彩解读 ‎【试题 】人教版A版选修2-2P31习题1．3B组T4．‎ ‎【母题评析】本题通过研究三次函数的图象及单调区间，意在培养 生的数形结合思想的应用能力，在解题过程中对的讨论，又培养了 生的分类讨论思想，同时通过本题的研究，加深了 生对三次函数图象与性质的了解．‎ ‎【思路方法】三次函数图象与性质是近几年高考中的高频考点，同时数形结合思想是高中数 中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．‎ 当，即或时，函数单调递减．‎ 当，且时，此时，‎ 函数单调递减．‎ II．考场精彩·真题回放 ‎【例1】【2017高考全国II理11】若是函数的极值点，则的极小值为（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题可得，‎ ‎∵，∴，，‎ 故，‎ 令，解得或，∴在上单调递增，在上单调递减，∴的极小值为，故选A．‎ ‎【例2】【2017高考全国III理11】已知函数有唯一零点，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析 函数的零点满足，‎ 设，则 ‎【命题意图】‎ 利用导数研究含参数函数的性质（单调性、极值、最值、零点等）．‎ ‎【考试方向】‎ 含有参数的函数导数试题，主要有两个方面 一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．‎ ‎【难点中心】‎ ‎1．含参数函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能 ①方程是否有根；②若有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．‎ ‎2．求函数极值的步骤 ①确定函数的定义域；②求导数；③‎ ‎，‎ 当时，，当时，，函数 单调递减；当时，，函数 单调递增；当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，若，函数与函数没有交点，‎ 当时，时，此时函数和有一个交点，即，解得，故选C．‎ ‎【例3】【2017高考山东理20】已知函数，，其中是自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）综上所述 当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；‎ 当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是 解方程，求出函数定义域内的所有根；④检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．‎ 若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．‎ ‎3．涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．‎ ‎4．已知函数有几个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出的范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值．注意点是若有两个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证有最小值两边存在大于0的点；注意数形结合思想的应用．‎ ‎5．利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面 ‎ ‎；极小值是．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（Ⅰ）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程．‎ ‎（Ⅱ）写出函数，‎ 求导数得到，由于的正负与的取值有关，故可令，通过应用导数研究在上的单调性，明确其正负．然后分以下情况讨论 极值情况 （1）当时；（2）当时．‎ 试题解析 （Ⅰ）由题意．又，∴，因此曲线在点处的切线方程为，即．，即．‎ ‎（Ⅱ）由题意得，‎ ‎∵‎ ‎，令，则，∴在上单调递增．‎ ‎∴当时，单调递减，当时，．‎ ‎（1）当时，，当时，单调递减；当时，单调递增，∴当时取得极小值，极小值是．‎ ‎（2）当时，．由 得 ‎ ‎（1）已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围 一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；‎ ‎（2）如果无法分离参数可以考虑对参数或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解．‎ ‎（3）已知函数的单调性求参数的取值范围 转化为(或恒成立的问题．‎ ‎6．构造函数证明不等式的方法 ‎ ‎（1）对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式，构造函数，使原不等式成为形如的形式；‎ ‎（2）对形如的不等式，构造函数；‎ ‎（3）对于(或可化为)的不等式，可选(或)为主元，构造函数(或)．‎ ‎，．‎ ‎①当时，，当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ ‎∴当时取得极大值，极大值为，‎ 当时取到极小值，极小值是 ；‎ ‎②当时，，∴当时，，函数在上单调递增，无极值；‎ ‎③当时，，∴当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ ‎∴当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值，极小值是． ]‎ 综上所述 当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；‎ 当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是 ‎；‎ 当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是．‎ ‎【例4】【2017全国I理21】已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围．‎ ‎【解析】‎ 试题分析 （1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若，至多有一个零点．若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当有2个零点，设正整数满足，则．由于，因此在有一个零点．∴的取值范围为．‎ 试题解析 （1）的定义域为，，‎ ‎（ⅰ）若，则，∴在单调递减．‎ ‎（ⅱ）若，则由得．‎ 当时，；当时，，∴在单调递减，在单调递增．‎ ‎（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点．‎ ‎（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为．‎ ‎①当时，由于，故只有一个零点；‎ ‎②当时，由于，即，故没有零点；‎ ‎③当时，，即．‎ 又，故在有一个零点．‎ 设正整数满足，则．‎ 由于，因此在有一个零点．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎【例5】【2017高考全国II理】已知函数，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明 存在唯一的极大值点，且．‎ ‎【解析】（1）的定义域为．设，则，等价于．‎ ‎∵，因，而 ‎，得．若，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴是的极小值点，故综上，．‎ ‎（2）由（1）知 ，．设，则．‎ 当 时，；当 时，，∴ 在 单调递减，在 单调递增．又，，，∴ 在 有唯一零点，在 有唯一零点1，且当 时，；当 时，，‎ 当 时，．∵，∴是的唯一极大值点．由得，故．由 得 ．∵是在（0，1）的最大值点，由， 得．∴．‎ ‎【例6】【2017高考全国III理21】已知函数．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设为整数，且对于任意正整数，‎ ‎，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析 （1）由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得；‎ ‎（2）利用题意结合（1）的结论对不等式进行放缩，求得，结合可知实数 的最小值为 ‎ 试题解析 解 （1）的定义域为．‎ ①若，∵，∴不满足题意；‎ ②若，由知，当时，；当时，，∴在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点．‎ 由于，∴当且仅当a=1时，．故a=1．‎ ‎（2）由（1）知当 时，．令 得．从而 ‎，故，而，∴的最小值为．‎ III．理论基础·解题原理 考点一 利用导数研究函数的性质 以含参数的函数为载体，结合具体函数与导数的几何意义，研究函数的性质，是高考的热点重点．本热点主要有三种考查方式 （1）讨论函数的单调性或求单调区间；（2）求函数的极值或最值；（3）利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．‎ 考点二 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题 导数与函数方程交汇是近年命题的热点，常转化为研究函数图象的交点问题，研究函数的极（最）值的正负，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有 （1）确定函数的零点、图象交点的个数；（2）由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．‎ 考点三 利用导数研究不等式问题 导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起 常见的命题角度有 （1）证明不等式；（2）由不等式恒成立求参数范围问题；（3）不等式恒成立、能成立问题．‎ IV．题型攻略·深度挖掘 ‎【考试方向】‎ 导数的综合应用问题是高考考查的热点，在考查题型上，可能是选择题、填空题或解答题，且多为压轴题，难度大，考查的数 思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想以及数形结合思想等，综合考查 生的分析问题、解决问题的能力．‎ ‎【技能方法】‎ ‎1．分类讨论思想常用于含有参数的导数的综合应用问题，如含参数函数的性质（单调性、极值、最值、零点等）以及不等式能成立、恒成立问题等，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏．‎ ‎2．讨论可导函数单调性时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定义区间不连续的情况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先研究定义区间上导函数无零点或零点落在定义区间端点上的情况，此时导函数符号不变，单调性唯一；对于导函数的零点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间．‎ ‎3．讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．‎ ‎【易错指导】‎ ‎（1）利用导数研究含参数函数的性质（单调性、极值、最值、零点等）以及不等式能成立、恒成立问题等，一定要注意先求函数的定义域；‎ ‎（2）对于不等式能成立、恒成立问题 ‎，要注意验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加；‎ ‎（3）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某个区间的区别，函数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增（减）区间的子集．‎ V．举一反三·触类旁通 考向1 利用导数研究函数的性质 ‎【例1】【2018江西上饶高三下 期二模理数】设函数（为常数，为自然对数的底数）．‎ ‎（I）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（II）若函数在内存在三个极值点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I） 的单调递减区间为，单调递增区间为（II）．‎ 试题解析 ‎ ‎（I） 函数的定义域为．．‎ 由可得，∴当时，；当时，．‎ 故的单调递减区间为，单调递增区间为 ‎ ‎（II）由（I）知，当时，函数在内单调递减，在内单调递增，故在内仅存在一个极值点；‎ 当时，令，，依题函数与函数，的图象有两个横坐标不等于2的交点．‎ ‎，当时，，则在上单调递减， ‎ 当时，，则在上单调递增；而 ‎∴当即时，存在使得，‎ 且当时，当 ，当时，当时，此时存在极小值点和极大值点；‎ 同理，当即时，存在使得，此时存在极小值点和极大值点．‎ 综上，函数在内存在三个极值点时，实数的取值范围为．‎ ‎【名师点睛】本题的难点在第（II）问，主要是对函数的分析，把它的图像和性质分析清楚了，原命题自然分析清楚了．解答数 问题，要善于抓住主要问题，再突破．‎ ‎【例2】【2018百校联盟TOP20高三三月联考】已知函数，为函数的极值点．‎ ‎（I）证明 当时，；‎ ‎（II）对于任意，都存在，使得，求的最小值．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）1 ‎ 试题解析 （I），∴，‎ 又∵为极值点，，∴，经检验符合题意，∴，‎ 当时，，可转化为当时，恒成立，‎ 设，∴，‎ 当时，，∴在上为减函数，∴，‎ 故当时，成立．‎ ‎（II）令，则，解得，‎ 同理，由，可得，∵，又，∴，‎ 令，则，易知，‎ 当时，，当时，，即当时，是减函数，当时，是增函数，∴的最小值为，即的最小值为． ~ ‎ ‎【例3】【2018江苏南师大附中、天一、海门、淮阴四校高三联考】已知函数（是自然对数的底数）‎ ‎（I）若直线为曲线的一条切线，求实数的值；‎ ‎（II）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（III）设，若在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）或．‎ 导数得到函数的单调性，进而得到函数有极值时实数的取值范围．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）设切点，则（*）‎ 又，代入（*）得．‎ ‎（II）设，当单调递增时，‎ 则在上恒成立，∴ 在上恒成立，‎ 又解得．当单调递减时，则在上恒成立，∴在上恒成立，‎ 综上单调时的取值范围为．‎ ‎（III），令则，‎ 当时，，单调递增，∴，即．‎ ‎1）当，即时，∴，‎ 则单调递增，在上无极值点．‎ ‎2）当即时，，‎ ‎∴．‎ I）当，即时，在递增，‎ ‎，在上递增，在上无极值点．‎ II）当时，由在递减，递增，‎ 又，使得 在上单调递减，在上单调递增，在上有一个极小值点．‎ ‎ 3）当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，在上恒成立，无极值点．‎ ‎4）当时，在递增，使得，‎ 当时，当时，，‎ ‎，，‎ 令，下面证明，即证，‎ 又，，即证，∴结论成立，即，‎ 在递减，递增，为的极小值．‎ 综上当或时，在上有极值点．‎ ‎【名师点睛】（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 (或 (在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；‎ ‎（2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．‎ ‎【例4】【2018湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】已知．‎ ‎（I）若有两个零点，求的范围；‎ ‎（II）若有两个极值点，求的范围；‎ ‎（III）在（II）的条件下，若的两个极值点为，，求证 ．‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）见解析．‎ 试题解析 （I），两图像有两交点，令，．‎ 当，，；当，，，，结合图像，．‎ ‎（II）有两个改变符号的零点，等价于对应的两函数的图像有两交点．‎ 令，，当，，；‎ 当，，，，结合图像，．‎ ‎（III）由（II），结合，知，‎ ‎，设， ∴在上，∴，∴‎ ‎【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎（1）直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎（3）数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎【例5】【2018河南商丘第一 期期末考试】已知函数．‎ ‎（I）若函数恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（II）函数，若存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（III）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．‎ ‎【答案】（I） ；（II） ；（III） ．‎ ‎【解析】试题分析 （I）函数恒成立，转求函数的最小值即可；（II）由存在单调递减区间可得在上有解，即从而得到实数的取值范围；（III）由是函数的两个极值点可得，，令，由于，∴．令，求其最小值即可．‎ 试题解析 （Ⅰ）∵，，，∴．‎ ‎（Ⅱ）∴，又∵在上有解， ‎ 令，则，只需，解得，即 ‎．‎ ‎（III）∵，令，即，‎ 两根分别为，则 ‎ 又∵‎ ‎，‎ ‎． ‎ 令，由于，∴． ‎ 又∵，，即即，‎ ‎∴，解得或，即．‎ 令，，‎ ‎∴在上单调递减，．‎ ‎∴的最小值为． ‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018山西吕梁高三上 期第一次模】已知函数．‎ ‎（I）当时，试求的单调区间；‎ ‎（II）若在内有极值，试求的取值范围．‎ ‎【答案】（I） 单调增区间为，单调减区间为；（II） ‎ 试题解析 （Ⅰ） ． ‎ 当时，对于，恒成立，∴ Þ ； Þ ．∴ 单调增区间为，单调减区间为．‎ ‎（Ⅱ）若在内有极值，则在内有解．‎ 令 Þ Þ ．‎ 设 ，∴ ， 当时，恒成立，∴单调递减．又∵，又当时，，即在上的值域为，‎ ‎∴ 当时， 有解．‎ 设，则 ，∴在单调递减．‎ ‎∵，，∴在有唯一解．∴有 ‎ ‎0‎ ‎[ ]‎ ‎0‎ 极小值 ‎∴ 当时，在内有极值且唯一．‎ 当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．‎ 综上，的取值范围为． ‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想．本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题．解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而导致错解．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等，从高考 看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行 （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．‎ ‎2．【2018河南八市 评高三下 期第一次测评】已知函数．‎ ‎（I）若，求的极值；‎ ‎（II）是否存在实数．使得函数在区间上是单调函数，若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）的极小值为；无极大值；（II）见解析．‎ ‎【解析】试题分析 （I）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值，（II）先求导函数零点，再讨论零点与1的关系以及两零点大小关系，即得结果．‎ 试题解析 （I）当时，，‎ ‎；‎ 令得，．列表 极小值 由上表可得 的极小值为；无极大值．‎ 若在区间上是单调函数，则有，故；‎ 当，即时，‎ 若在区间上是单调函数，则有，故；‎ 综上可得存在实数使得函数在区间上是单调函数．‎ ‎3．【2018辽宁丹东市五校协作体高三上 期联考】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若在处取极值，求在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，若有唯一的零点，求证 ‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．‎ 试题解析 （Ⅰ）∵， ，‎ ‎∵在处取极值，∴，解得．‎ ‎，，‎ 又．∴在点处的切线方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，令，则．‎ 由，可得，在上单调递减，在上单调递增．‎ 又，故当时，；‎ 又，故在上有唯一零点，设为，‎ 从而可知在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∵有唯一零点，故且．‎ ‎4．【2018山西晋城高三上 期第一次模】已知函数 ．‎ ‎（I）若是函数的极值点，求的值及函数的极值；‎ ‎（II）讨论函数的单调性．‎ ‎【答案】（I）极大值为，极小值为；（II）见解析 故函数的极大值为，极小值为．‎ ‎（II）由题意得 ‎ ，‎ ‎①当，即时，则当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ ‎②当，即时，则当和时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．‎ ‎③当，即时，则当和时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．‎ ‎④当，即时，，∴在定义域上单调递增．‎ 综上 ①当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；‎ ‎②当时，在定义域上单调递增；‎ ‎③当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；[ | | |X|X| ]‎ ‎④当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ ‎【名师点睛】‎ ‎（1）由于是为函数极值点的必要不充分条件，因此在由所给的极值点（或极值）求得参数的值后，需要进行验证．‎ ‎（2）利用导数讨论函数单调性的步骤 ‎ ‎①确定函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎②求导数，令，求出在定义域内的一切实根；‎ ‎③把上面的实数根按由小到大的顺序排列，用这些点把函数的定义域分成若干个区间；‎ ‎④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．‎ 要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论． ‎ ‎5．【2018贵州凯里一中高三下 期开 考（第一次模拟）】已知．‎ ‎（I）若方程在上有实数根，求实数的取值范围；‎ ‎（II）若在上的最小值为，求实数的值．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【试题解析】‎ ‎（I）方程可化为，令，则，‎ 由可得，由可得，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为，‎ 而，，则，由条件可知点与连线的斜率为，‎ 可知点与连线的斜率为，而，‎ 结合图像可得时，函数与有交点．‎ ‎∴方程在上有实数根时，实数的取值范围是 ‎ ‎（II）由可得，‎ ‎①若，则在上恒成立，即在单调递减，‎ 则的最小值为，故，不满足，舍去；‎ ‎②若，则在上恒成立，即在单调递增，‎ 则的最小值为，故，不满足，舍去；‎ ‎③若，则时，；时，．‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴的最小值为，解得，满足．‎ 综上可知，实数的值为．‎ ‎【名师点睛】求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值，大前提是要考虑函数的定义域．函数的零点就是的根，∴可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标．确定零点的个数问题可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象．方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理．‎ 考向2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题 ‎【例6】【2018河南豫西名校高二下 期第一次联考】已知函数，，其中．‎ ‎（I）试讨论函数的单调性及最值；‎ ‎（II）若函数不存在零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ．‎ 试题解析 （Ⅰ）由 得 ‎ ‎⑴当时，在单调递增，没有最大值，也没有最小值 ‎⑵若，‎ 当时， ，在单调递增；‎ 当时， ，在单调递减，‎ ‎∴当时，取到最大值，没有最小值．‎ ‎（Ⅱ） ‎ 由 ‎ 当 时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ ‎∴当时，取到最大值，‎ 又时，有，∴要使没有零点，只需，‎ ‎∴实数的取值范围是 (备注 其他解法，酌情给分) ‎ ‎【名师点睛】一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下 ‎ ‎（I）求在内的极值；‎ ‎（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值 ‎【例7】【2018河南郑州高三一模】已知函数，且．‎ ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）当时，试判断函数的零点个数．‎ ‎【答案】（I）答案见解析；（II）答案见解析．‎ 试题解析 （I）函数的定义域为，∵，∴‎ ‎①当时，恒成立，∴函数在上单调递增；‎ ‎②当时，则当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增．‎ 综上所述，当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（II）由题意知，函数的零点个数即方程的根的个数．‎ 令，，则 ‎ 由（I）知当时，在递减，在上递增，∴．‎ ‎∴在上恒成立．∴，‎ ‎∴在上单调递增，∴，．∴当或时，函数没有零点；当时函数有一个零点．‎ ‎【名师点睛】研究方程根的个数（函数零点的个数、两函数图象公共点的个数）时，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并根据题目要求，画出函数图象的大致图象，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．‎ ‎【例8】【2018河南豫南九校高三下 期第一次联考】设函数．‎ ‎（I）当时，恒成立，求的范围；‎ ‎（II）若在处的切线为，且方程恰有两解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I） ；（II） ．‎ 解析 （I）由，当时，得．‎ 当时，，且当时，，此时．‎ ‎∴，即在上单调递増，∴，‎ 由恒成立，得，∴．‎ ‎（II）由得，且．‎ 由题意得，∴．又在切线上．‎ ‎∴．∴．∴．‎ 即方程有两解，可得，∴．‎ 令，则，‎ 当时，，∴在上是减函数；‎ 当时，，∴在上是减函数．‎ ‎∴．又当时，；且有．数形结合易知 ．‎ ‎【名师点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题．（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．‎ ‎【例9】【2018陕西榆林高三一模】已知函数，记．‎ ‎（I）求证 在区间内有且仅有一个实数；‎ ‎（II）用表示中的最小值，设函数，若方程在区间内有两个不相等的实根，记在内的实根为．求证 ．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析．‎ 解析 （I），定义域为，，当时，在上单调递增，又，而在上连续，根据零点存在定理可得 在区间有且仅有一个实根．‎ ‎（II）当时，，而，故此时有，由（I）知，在上单调递增，有为在内的实根，∴，故当 时，，即；‎ 当时，，即．因而，‎ 当时，，因而在上递增；‎ 当时，，因而在上递减；‎ 若方程在有两不等实根，则满足 要证 ，即证 ，即证 ，‎ 而在上递减，即证 ，又∵，即证 ，即证 ‎ 记，由得 ．‎ ‎，，则，当时，；当时，．故，∴当时，，‎ ‎，‎ 因此，‎ 即在递增．从而当时，，即，故得证．‎ ‎【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略（1） 构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018四川成都龙泉驿区二中高三3月市“二诊”】设a >0，已知函数 (x>0)．‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性；‎ ‎(Ⅱ)试判断函数在上是否有两个零点，并说明理由．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 函数没有两个零点 试题解析 ‎ ‎（Ⅰ），‎ ‎，‎ ‎，‎ 设，则，‎ ‎①当时，，，即，‎ ‎∴在上单调递增；‎ ‎②当时，，‎ 由得，‎ ‎，‎ 可知，由的图象得 ‎ 在和上单调递增；‎ 在 上单调递减．‎ ‎（Ⅱ）解法 函数在上不存在两个零点 假设函数有两个零点，由（Ⅰ）知，，‎ ‎∵，则，即，‎ 由知，∴，‎ 设，则（＊），‎ 由，得，‎ 设，得，‎ ‎∴在递增，得，即，‎ 这与（＊）式矛盾，∴上假设不成立，即函数没有两个零点．‎ ‎2．【2018湖南郴州高三第二次教 质量检测】已知函数，‎ ‎（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求，的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求函数的零点的个数．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．‎ 试题解析 （Ⅰ） 的导数为，，‎ ‎，解得 ‎（Ⅱ），易得有一个零点为 令，‎ ‎（1）若，则，无零点，∴函数只有一个零点；‎ ‎（2）若，则 ‎①若，则∴单调递增，而，，‎ ‎∴有一个零点，∴有两个零点；‎ ‎②若，由，知，，∴在单调递减，‎ 在单调递增；∴函数的最小值为 ‎（ⅰ）当即时，，∴无零点，‎ ‎∴函数只有一个零点 ‎（ⅱ）当时，即，∴有一个零点，∴函数有两个零点 ‎（ⅲ）当时，即时，，∴有两个零点，∴函数有三个零点 综上，当或时，函数只有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点（利用函数图像的交点个数讨论酌情给分）‎ ‎3．【2018山东枣庄高三二模】已知曲线与轴有唯一公共点．‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）曲线在点处的切线斜率为．若两个不相等的正实数，满足，求证 ．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析．‎ 解析 （Ⅰ）解 函数的定义域为．．‎ 由题意，函数有唯一零点．．‎ ‎（1）若，则．显然恒成立，∴在上是增函数．‎ 又，∴符合题意．‎ ‎（2）若，．；．‎ ‎∴在上是减函数，在上是增函数．∴ ．‎ 由题意，必有（若，则恒成立，无零点，不符合题意）‎ ‎①若，则．‎ 令，则 ．‎ ‎；．‎ ‎∴函数在上是增函数，在上是减函数．‎ ‎∴．∴，当且仅当时取等号．∴，且．‎ 取正数，则 ；‎ 取正数，显然．而，‎ 令，则．当时，显然．‎ ‎∴在上是减函数．‎ ‎∴当时， ，∴．‎ ‎∵，∴ ．‎ 又在上是减函数，在上是增函数，‎ 则由零点存在性定理，在、上各有一个零点．‎ 可见，，或不符合题意．‎ 注 时，若利用，，，说明在、上各有一个零点．‎ ‎②若，显然，即．符合题意．‎ 综上，实数的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）由题意，．∴，即．由（Ⅰ）的结论，得．‎ ‎，在上是增函数．；．‎ 由，不妨设，则．‎ 从而有，即．‎ ‎∴ ．‎ 令，显然在上是增函数，且．∴．‎ 从而由，得．‎ ‎【名师点睛】本题考查了导数的零点问题和不等式问题，在求解零点问题时注意分类讨论，利用零点存在定理和极限 确定零点个数，在不确定的情况下需要再次利用导数 解答，证明不等式时需要构造新函数，本题难度较大．‎ 考向3 利用导数研究不等式问题 ‎【例10】【2018天津滨海新区七所重点 校高三联考】已知函数（其中，）．‎ ‎（I）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（II）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（III）求证 对于任意大于1的正整数，都有．‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）见解析 试题解析 （I）， ‎ ‎， ‎ ‎（II）， ‎ 函数在上为增函数，对任意恒成立．‎ 对任意恒成立，即对任意恒成立．‎ 时，， ，即所求正实数的取值范围是．‎ ‎（III）当时，，，当时，，‎ 故在上是增函数．‎ 当时，令，则当时，．‎ ‎∴，∴，，∴，‎ 即，∴，‎ 即对于任意大于1的正整数，都有．‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则≥0在区间(a，b)上恒成立；要检验=0．(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则≤0在区间(a，b)上恒成立；要检验=0．‎ 离散型不等式证明关键要找到恒成立不等函数，再x用离散点列代换，利用不等式同向相加可证，恒成立不等函数一般需要在题中寻找．‎ ‎【例11】【2018河南中原名校高三上 期第五次联考】已知．‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）若存在及唯一正整数，使得，求的取值范围．‎ ‎【答案】（I）的单调递减区间是，单调递增区间是；(2) 的取值范围是．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ 试题解析 ‎ ‎（I）由题意知函数的定义域为．∵，∴，‎ 令，则，∴当时，是增函数，‎ 又，故当时，单调递减，‎ 当时，单调递增．∴上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（II）由（I）知当时，取得最小值，又，∴在上的值域为．‎ ‎∵存在及唯一正整数，使得，∴满足的正整数解只有1个．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，∴，即，解得．∴实数的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）．‎ ‎【例12】【2018甘肃兰炼一中下 期高三二模】已知函数，．‎ ‎（I）求函数的极值；‎ ‎（II）若不等式对恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）‎ 试题解析 （I）， ，‎ ‎∵的定义域为．[ | | |X|X| ]‎ ‎①即时，在上递减，在上递增，，无极大值．‎ ‎②即时，在和上递增，在上递减，‎ ‎ ，．‎ ‎③即时，在上递增，没有极值．‎ ‎④即时，在和上递增，在上递减，‎ ‎∴， ．‎ 综上可知 时，，无极大值；‎ 时， ，；‎ 时，没有极值；‎ 时，， ．‎ ‎（II）设 ，，‎ 设，则，， ，‎ ‎∴在上递增，∴的值域为，‎ ‎①当时，，为上的增函数，∴，适合条件．‎ ‎②当时，∵，∴不适合条件．‎ ‎③当时，对于，，令，，‎ 存在，使得时，，∴在上单调递减，∴，‎ 即在时，，∴不适合条件．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行 (1)考查导数的几何意义，求得曲线的切线方程及参数的值；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018广西桂林、贺州、崇左三市高三第二次联合调研】设函数（）．‎ ‎（I）当时，求函数的极值；‎ ‎（II）若对任意及任意，，恒有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ，无极大值．(2) ‎ ‎【试题解析】（I）函数的定义域为 当时，，．‎ 当时，，单调递减；当时，．单调递增．‎ ‎∴，无极大值．‎ ‎（II），‎ 当时，在上单减，是最大值，是最小值．‎ ‎∴，∴，‎ 而经整理得，由得，∴．‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用函数的导数及单调区间求函数极值，考查利用导数研究函数在给定区间上的最大值与最小值，考查利用导数求解恒成立问题．求函数的极值，是通过对函数求导，得到函数的单调区间 求得．求函数的最值，是通过求导，确定单调区间后比较极值点和区间端点的函数值所得．‎ ‎2．【2018河南豫北豫南名校高三上 期联考】已知函数（，）有两个不同的零点，．‎ ‎（I）求的最值；‎ ‎（II）证明 ．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析．‎ 试题解析 （I），有两个不同的零点，∴在内必不单调，故，‎ 此时，解得，∴在上单增，上单减，‎ ‎∴，无最小值．‎ ‎（II）由题知两式相减得，即，‎ 故要证，即证，即证，‎ 不妨设，令，则只需证，‎ 设，则，‎ 设，则，∴在上单减，∴，‎ ‎∴在上单增，∴，即在时恒成立，原不等式得证．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行 (1)考查导数的几何意义；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎3．【2018江西分宜中 、玉山一中、临川一中等九校高三联考】已知函数．‎ ‎（I）当时，求函数的极小值；‎ ‎（II）若上，使得成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1)2；(2) ．‎ 解析 （I）当时，，令0，得 且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴在时取得极小值为．‎ ‎（II）由已知 ，使得 ‎，即 ‎ 设，则只需要函数在上的最小值小于零．‎ 又，‎ 令，得（舍去）或．‎ ‎①当，即时，在上单调递减，故在上的最小值为，由，可得．∵，∴．‎ ‎②当，即时，在上单调递增，‎ 故在上的最小值为，由，可得（满足）．‎ ‎③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为．∵，∴，‎ ‎∴，即，不满足题意，舍去．‎ 综上可得或，∴实数的取值范围为．‎ ‎【名师点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题 ‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）．‎