人教A版数学必修二2-3-4平面与平面垂直的性质

人教A版数学必修二2-3-4平面与平面垂直的性质

§2.3.4 平面与平面垂直的性质 一、教材分析 空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空 间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最 “高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题. 因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理； （2）能运用性质定理解决一些简单问题； （3）了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 2．过程与方法 （1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识； 3．情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力. 三、教学重点与难点 教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 四、课时安排 1课时 五、教学设计 （一）复习 （1）面面垂直的定义. 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. （2）面面垂直的判定定理. 两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：         AB AB α⊥β. 两个平面垂直的判定定理图形表述为： 图 1 （二）导入新课 思路 1.(情境导入) 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 思路 2.(事例导入) 如图 2，长方体 ABCD—A′B′C′D′中，平面 A′ADD′与平面 ABCD 垂直,直线 A′A 垂直于其交线 AD.平 面 A′ADD′内的直线 A′A与平面 ABCD垂直吗？ 图 2 （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①如图 3,若α⊥β,α∩β=CD,AB α,AB⊥CD,AB∩CD=B. 请同学们讨论直线 AB与平面β的位置关系. 图 3 ②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明. ③设平面α⊥平面β,点 P∈α,P∈a,a⊥β,请同学们讨论直线 a与平面α的关系. ④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点. ⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀. 活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线 AB与平面β的关系. 问题②引导学生进行语言转换. 问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线 a与平面α的关系. 问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点. 问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀. 讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线 AB与平面β垂直,如图 3. ②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一平面. 两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图 4. 图 4 两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：               BCDAB CDAB CD AB    AB⊥β. 两个平面垂直的性质定理证明过程如下： 图 5 如图 5，已知α⊥β,α∩β=a,AB α，AB⊥a于 B. 求证：AB⊥β. 证明：在平面β内作 BE⊥CD垂足为 B,则∠ABE就是二面角αCDβ的平面角. 由α⊥β,可知 AB⊥BE.又 AB⊥CD，BE与 CD是β内两条相交直线,∴AB⊥β. ③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为： 求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平 面内.下面给出证明. 如图 6,已知α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：a α. 图 6 证明：设α∩β=c，过点 P在平面α内作直线 b⊥c， ∵α⊥β,∴b⊥β.而 a⊥β，P∈a, ∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线 a应与直线 b重合.那么 a α. 利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要 求做到两点.一是作出符合题意的直线 b，不易想到，二是证明直线 b和直线 a重合，相对容易些.点 P的位 置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上. ④我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例 如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面 角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最 重要的定理. ⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”. （四）应用示例 思路 1 例 1 如图 7，已知α⊥β，a⊥β,a α,试判断直线 a与平面α的位置关系. 图 7 解:在α内作垂直于α与β交线的垂线 b, ∵α⊥β, ∴b⊥β. ∵a⊥β, ∴a∥b. ∵a α, ∴a∥α. 变式训练 如图 8,已知平面α交平面β于直线 a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线 b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ. 图 8 图 9 证明：如图 9, (1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点 P并在γ内作直线 PM⊥AB，PN⊥AC. ∵γ⊥α，∴PM⊥α.而 a α，∴PM⊥a. 同理,PN⊥a.又 PM γ，PN γ，∴a⊥γ. (2)在 a上任取点 Q，过 b与 Q作一平面交α于直线 a1，交β于直线 a2.∵b∥α，∴b∥a1. 同理,b∥a2. ∵a1、a2同过 Q且平行于 b，∴a1、a2重合. 又 a1 α，a2 β，∴a1、a2都是α、β的交线，即都重合于 a. ∵b∥a1，∴b∥a.而 a⊥γ，∴b⊥γ. 点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理， 其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”. 例 2 如图 10，四棱锥 P—ABCD的底面是 AB=2，BC= 2 的矩形，侧面 PAB是等边三角形，且侧面 PAB⊥ 底面 ABCD. 图 10 图 11 （1）证明侧面 PAB⊥侧面 PBC； （2）求侧棱 PC与底面 ABCD所成的角； （3）求直线 AB与平面 PCD的距离. （1）证明：在矩形 ABCD中，BC⊥AB, 又∵面 PAB⊥底面 ABCD,侧面 PAB∩底面 ABCD=AB,∴BC⊥侧面 PAB. 又∵BC侧面 PBC,∴侧面 PAB⊥侧面 PBC. （2）解：如图 11,取 AB中点 E，连接 PE、CE,又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB. 又∵侧面 PAB⊥底面 ABCD，∴PE⊥面 ABCD. ∴∠PCE为侧棱 PC与底面 ABCD所成角. PE= 2 3 BA= 3 ,CE= 22 BCBE  = 3 , 在 Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求. （3）解：在矩形 ABCD中，AB∥CD, ∵CD侧面 PCD，AB侧面 PCD，∴AB∥侧面 PCD. 取 CD中点 F，连接 EF、PF，则 EF⊥AB. 又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面 PEF.又∵AB∥CD, ∴CD⊥平面 PEF.∴平面 PCD⊥平面 PEF. 作 EG⊥PF，垂足为 G，则 EG⊥平面 PCD. 在 Rt△PEF 中，EG= 5 30   PF ECPE 为所求. 变式训练 如图 12，斜三棱柱 ABC—A1B1C1的棱长都是 a，侧棱与底面成 60°角，侧面 BCC1B1⊥面 ABC.求平面 AB1C1与底面 ABC所成二面角的大小. 图 12 活动:请同学考虑面 BB1C1C⊥面 ABC 及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅 助线. 解：∵面 ABC∥面 A1B1C1，则面 BB1C1C∩面 ABC=BC, 面 BB1C1C∩面 A1B1C1=B1C1,∴BC∥B1C1，则 B1C1∥面 ABC. 设所求两面交线为 AE，即二面角的棱为 AE, 则 B1C1∥AE，即 BC∥AE. 过 C1作 C1D⊥BC于 D，∵面 BB1C1C⊥面 ABC, ∴C1D⊥面 ABC，C1D⊥BC. 又∠C1CD=60°,CC1=a,故 CD= 2 a ,即 D为 BC的中点. 又△ABC是等边三角形,∴BC⊥AD. 那么有 BC⊥面 DAC1,即 AE⊥面 DAC1. 故 AE⊥AD，AE⊥AC1, ∠C1AD就是所求二面角的平面角. ∵C1D= 2 3 a，AD= 2 3 a，C1D⊥AD,故∠C1AD=45°. 点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键. 思路 2 例 1 如图 13，把等腰直角三角形 ABC沿斜边 AB旋转至△ABD的位置，使 CD=AC, 图 13 （1）求证：平面 ABD⊥平面 ABC； （2）求二面角 CBDA的余弦值. （1）证明：(证法一):由题设,知 AD=CD=BD,作 DO⊥平面 ABC，O为垂足，则 OA=OB=OC. ∴O是△ABC的外心，即 AB的中点. ∴O∈AB，即 O∈平面 ABD. ∴OD平面 ABD.∴平面 ABD⊥平面 ABC. (证法二):取 AB中点 O，连接 OD、OC, 则有 OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角 CABD的平面角. 设 AC=a，则 OC=OD= a 2 2 , 又 CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD是直角三角形，即∠COD=90°. ∴二面角是直二面角，即平面 ABD⊥平面 ABC. （2）解:取 BD的中点 E，连接 CE、OE、OC,∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD. 又△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC为二面角 CBDA的平面角. 同（1）可证 OC⊥平面 ABD,∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形. 设 BC=a，则 CE= 2 3 a，OE= 2 1 a,∴cos∠OEC= 3 3  CE OE 即为所求. 变式训练 如图 14，在矩形 ABCD 中，AB=33,BC=3，沿对角线 BD把△BCD 折起，使 C移到 C′，且 C′在面 ABC 内的射影 O恰好落在 AB上. 图 14 （1）求证：AC′⊥BC′； （2）求 AB与平面 BC′D所成的角的正弦值； （3）求二面角 C′BDA的正切值. （1）证明：由题意,知 C′O⊥面 ABD,∵C′OABC′, ∴面 ABC′⊥面 ABD. 又∵AD⊥AB,面 ABC′∩面 ABD=AB,∴AD⊥面 ABC′.∴AD⊥BC′. ∵BC′⊥C′D,∴BC′⊥面 AC′D.∴BC′⊥AC′. (2)解:∵BC′⊥面 AC′D,BC′面 BC′D,∴面 AC′D⊥面 BC′D. 作 AH⊥C′D于 H,则 AH⊥面 BC′D,连接 BH,则 BH为 AB在面 BC′D上的射影, ∴∠ABH为 AB与面 BC′D所成的角. 又在 Rt△AC′D中,C′D=33,AD=3,∴AC′=3 2 .∴AH= 6 . ∴sin∠ABH= 3 2  AB AH ,即 AB与平面 BC′D所成角的正弦值为 3 2 . (3)解:过 O作 OG⊥BD于 G,连接 C′G,则 C′G⊥BD,则∠C′GO为二面角 C′BDA的平面角. 在 Rt△AC′B中,C′O= 6''   AB BCAC , 在 Rt△BC′D中,C′G= 2 33''   BD DCBC . ∴OG= 22 CGC  = 2 3 .∴tan∠C′GO= 22'  OG OC , 即二面角 C′BDA的正切值为 22 . 点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂 直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了. 例 2 如图 15,三棱柱 ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线 B1C与平面 ABC成 30°角，求二 面角 BB1CA的正弦值. 图 15 活动:可以知道，平面 ABC与平面 BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一 个半平面的垂线. 解：由直三棱柱性质得平面 ABC⊥平面 BCC1B1，过 A作 AN⊥平面 BCC1B1，垂足为 N，则 AN⊥平 面 BCC1B1（AN即为我们要找的垂线）,在平面 BCB1内过 N作 NQ⊥棱 B1C，垂足为 Q，连接 QA，则∠NQA 即为二面角的平面角. ∵AB1在平面 ABC内的射影为 AB，CA⊥AB， ∴CA⊥B1A.AB=BB1=1，得 AB1= 2 . ∵直线 B1C与平面 ABC成 30°角，∴∠B1CB=30°，B1C=2. 在 Rt△B1AC中，由勾股定理,得 AC= 2 .∴AQ=1. 在 Rt△BAC中，AB=1，AC= 2 ，得 AN= 3 6 . sin∠AQN= AQ AN = 3 6 , 即二面角 BB1CA的正弦值为 3 6 . 变式训练 如图 16，边长为 2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形 ABCD所在的平面，BC=2 2 ，M为 BC的 中点. (1)证明：AM⊥PM； (2)求二面角 PAMD的大小. 图 16 图 17 (1)证明：如图 17,取 CD的中点 E，连接 PE、EM、EA, ∵△PCD为正三角形, ∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°= 3 . ∵平面 PCD⊥平面 ABCD,∴PE⊥平面 ABCD. ∵四边形 ABCD是矩形, ∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形. 由勾股定理可求得 EM= 3，AM= 6 ，AE=3, ∴EM2+AM2=AE2.∴AM⊥EM. 又 EM是 PM在平面 ABCD上的射影,∴∠AME=90°.∴AM⊥PM. (2)解:由(1)可知 EM⊥AM，PM⊥AM, ∴∠PME是二面角 PAMD的平面角. ∴tan∠PME= 3 3  EM PE =1.∴∠PME=45°. ∴二面角 PAMD为 45°. （五）知能训练 课本本节练习. （六）拓展提升 (2007 全国高考,理 18)如图 18,在三棱锥 S—ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,∠BAC=90°,O 为 BC中点. (1)证明 SO⊥平面 ABC; (2)求二面角 ASCB的余弦值. 图 18 图 19 (1)证明：如图 19,由题设 ,知 AB=AC=SB=SC=SA.连接 OA,△ABC 为等腰直角三角形 ,所以 OA=OB=OC= 2 2 SA,且 AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形,故 SO⊥BC,且 SO= 2 2 SA. 从而 OA2+SO2=SA2.所以△SOA为直角三角形,SO⊥AO. 又 AO∩BC=O,所以 SO⊥平面 ABC. (2)解:如图 19,取 SC中点M,连接 AM、OM, 由(1),知 SO=OC,SA=AC,得 OM⊥SC,AM⊥SC. 所以∠OMA为二面角 ASCB的平面角. 由 AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O,得 AO⊥平面 SBC. 所以 AO⊥OM.又 AM= 2 3 SA,故 sin∠AMO= 3 6 3 2  AM AO . 所以二面角 ASCB的余弦值为 3 3 . （七）课堂小结 知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、 求距离问题等. 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. （八）作业 课本习题 2.3 B组 3、4.