高考北京卷数学文试题与解答

高考北京卷数学文试题与解答

‎2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ ‎ 数 学（文史类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到11页。共150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题共50分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。‎ ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。‎ ‎3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。‎ 参考公式：‎ 三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长 球体的体积公式 其中R表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）设集合，，则A∩B等于 ‎（A）{x|x>1} （B）{x|x>0} ‎ ‎（C）{x|x<－1} （D）{x|x<－1或x>1}‎ ‎（2）设，，，则 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）“”是“，k∈Z”的 ‎（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 ‎（4）已知α，β是平面，m，n是直线。下列命题中不正确的是 ‎（A）若m//α，α∩β=n，则m//n （B）若m//n，m⊥α，则n⊥α ‎（C）若m⊥α，m⊥β，则α//β （D）若m⊥α，，则α⊥β ‎（5）如图，直线l：x－2y+2=0过椭圆的左焦点和一个顶点B。该椭圆的离心率为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）若z∈C且|z+2－2i|=1，则|z－2－2i|的最小值是 ‎（A）2 （B）3 ‎ ‎（C）4 （D）5‎ ‎（7）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 ‎（A）2π （B） ‎ ‎（C） （D）π ‎（8）若数列的通项公式是，n=1，2，…，则 等于 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（9）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植。不同的种植方法共有 ‎（A）24种 （B）18种 ‎ ‎（C）12种 （D）6种 ‎（10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k。规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”。令 其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ ‎ 数 学（文史类）‎ 第Ⅱ卷（非选择题共100分）‎ 注意事项：‎ ‎1．第Ⅱ卷共9页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。‎ ‎2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。‎ ‎（11）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为________。‎ ‎（12）函数，g(x)=2－|x|，h(x)=tg2x中，________是偶函数。‎ ‎（13）以双曲线的右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是________。‎ ‎（14）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形。要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为________。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求f(x)的最大值、最小值。‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ 已知数列是等差数列，且，。‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列前n项和的公式。‎ ‎（17）（本小题满分15分）‎ 如图，正三棱柱中，D是BC的中点，AB=a。‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求点D到平面的距离；‎ ‎（Ⅲ）判断与平面的位置关系，并证明你的结论。‎ ‎（18）（本小题满分15分）‎ 如图，，A为椭圆的两个顶点，，为椭圆的两个焦点。‎ ‎（Ⅰ）写出椭圆的方程及其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，两点，直线与 交于点M。‎ 求证：点M在双曲线上 。‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km。今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的街垂直平分线上的P点处。（建立坐标系如图）‎ ‎（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？‎ ‎（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？‎ ‎（20）（本小题满分14分）‎ 设y=f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：‎ ‎（i）f(－1)=f(1)=0；‎ ‎（ii）对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|。‎ ‎（Ⅰ）证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；‎ ‎（Ⅱ）判断函数是否满足题设条件；‎ ‎（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f(x)，且使得对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|=|u－v|。‎ 若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。‎ ‎（1）A （2）D （3）A （4）A （5）D ‎（6）B （7）C （8）B （9）B （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。‎ ‎（11）3 （12）f(x)，g(x)‎ ‎（13） （14）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（15）本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力。满分13分。‎ ‎（Ⅰ）解：因为 ‎ =cos2x－sin2x ‎ ，‎ 所以f(x)的最小正周期。‎ ‎（Ⅱ）解：因为，所以f(x)的最大值为，最小值为。‎ ‎（16）本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力。满分13分。‎ ‎（Ⅰ）解：设数列的公差为d，‎ 则，‎ 又，得d=2。‎ 所以。‎ ‎（Ⅱ）解：由，得 ‎，①‎ ‎②‎ 将①式减去②式，得 ‎ ，‎ 所以。‎ ‎（17）本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力。满分15分。‎ ‎（Ⅰ）证法一：‎ ‎∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC。‎ 又底面ABC，∴ 。‎ ‎∵，∴。‎ 证法二：‎ 连结，则。‎ ‎∵点D是等腰的底边BC的中点，‎ ‎∴。‎ ‎∵，∴。‎ ‎（Ⅱ）解法一：‎ 作DE⊥AC于E，‎ ‎∵平面⊥平面ABC。‎ ‎∴DE⊥平面于E，‎ 即DE的长为点D到平面的距离。‎ 在Rt△ADC中，AC=2CD=a，，‎ ‎∴所求距离。‎ 解法二：‎ 设点D到平面的距离为x。‎ ‎∵体积，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即点D到平面的距离为。‎ ‎（Ⅲ）答：直线//平面，证明如下：‎ 证法一：‎ 如图1，连结交于F，则F为的中点。‎ ‎∵D是BC的中点，∴。‎ 又平面，平面，‎ ‎∴//平面。‎ 证法二：‎ 如图2，取的中点，则，，‎ ‎∴AD//平面，且//平面，‎ ‎∴平面平面。‎ ‎∵平面。‎ ‎∴//平面。‎ ‎（18）本小题主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。‎ ‎（Ⅰ）解：由图可知，a=5，c=4，所以。‎ 该椭圆的方程为，准线方程为。‎ ‎（Ⅱ）证明：设K点坐标为。点P，的坐标分别记为，，其中，则 ‎。……①‎ 直线，的方程分别为：‎ ‎，……②‎ ‎。……③‎ ‎②式除以③式得。‎ 化简上式得，代入②式得。‎ 于是，直线与的交点M的坐标为。‎ 因为，‎ 所以，直线与的交点M在双曲线上。‎ ‎（19）本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分14分。‎ ‎（Ⅰ）解：设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为 ‎ ，‎ 所以，当y=4时，函数f(y)取得最小值。‎ 答：点P的坐标是（0，4）。‎ ‎（Ⅱ）解法一：‎ P至三镇的最远距离为 由解得，记，于是 因为在上是增函数，而|12－y|在上是减函数，‎ 所以，当时，函数g(y)取得最小值。‎ 答：点P的坐标为；‎ 解法二：‎ P至三镇的最远距离为 由解得，记，于是 函数z=g(y)的图象如图（a），因此，当时，函数g(y)取得最小值。‎ 答：点P的坐标为；‎ 解法三：‎ 因为△ABC中，AB=AC=13，且，‎ ‎，如图（b）。所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为，且AM=BM=CM。‎ 当P在射线MA上，记P为；‎ 当P在射线MA的反向延长线上，记 P为。‎ 这时P到A，B，C三点的最远距离为或，且，，所以，点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小。‎ 答：点P的坐标为。‎ ‎（20）本小题考查函数和不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分14分。‎ ‎（Ⅰ）证明：由题设条件可得，当x∈[－1，1]时，有 ‎|f(x)|=|f(x)－f(1)|≤|x－1|=1－x，‎ 即x－1≤f(x)≤1－x。‎ ‎（Ⅱ）答：函数g(x)满足题设条件。验证如下：‎ g(－1)=0=g(1)。‎ 对任意的u，v∈[－1，1]，‎ 当u，v∈[0，1]时，有|g(u)－g(v)|=|(1－u)－(1－v)|=|u－v|；‎ 当u，v∈[－1，0]时，同理有|g(u)－g(v)|=|u－v|；‎ 当u·v<0时，不妨设u∈[－1，0），v∈（0，1]，有 ‎|g(u)－g(v)|=|(1+u)－(1－v)|=|u+v|≤|v－u|。‎ 所以，函数g(x)满足题设条件。‎ ‎（Ⅲ）答：这样的函数不存在。理由如下：‎ 假设存在f(x)满足条件，则由f(－1)=f(1)=0，得 ‎|f(1)－f(－1)|=0 ①‎ 由于对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|=|u－v|，‎ 所以，|f(1)－f(－1)|=|1－(－1)|=2 ②‎ ‎①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在。‎