【数学】2019届一轮复习北师大版6-1数列的概念与简单表示法学案
§6.1 数列的概念与简单表示法
最新考纲
考情考向分析
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档.
1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an＋1 > an
其中n∈N*
递减数列
an＋1 < an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
知识拓展
1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则
若an最小，则
3．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × )
(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．( × )
(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )
(4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )
(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )
(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ )
题组二 教材改编
2．[P33A组T4]在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，
a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
3．[P33A组T5]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝ .
答案 5n－4
题组三 易错自纠
4．已知数列{an}是递减数列，且对任意的正整数n，an＝－n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为 ．
答案 (－∞，3)
解析 ∵{an}是递减数列，∴an＋1
0)，运用基本不等式得f(x)≥2，当且仅当x＝3时等号成立．
因为an＝，所以≤，由于n∈N*，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝最大．
思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．
③结合相应函数的图象直观判断．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．
跟踪训练 (1)数列{an}满足an＋1＝ a1＝，则数列的第2 018项为 ．
答案
解析 由已知可得，a2＝2×－1＝，
a3＝2×＝，
a4＝2×＝，
a5＝2×－1＝，
∴{an}为周期数列且T＝4，
∴a2 018＝a504×4＋2＝a2＝.
(2)(2017·安徽名校联考)已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项的和为Sn，则S2 016等于( )
A．504 B．588
C．－588 D．－504
答案 C
解析 ∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝，a3＝－，a4＝－3，a5＝2，…，∴数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，∵2 016÷4＝504，∴S2 016＝504×＝－588，故选C.
解决数列问题的函数思想
典例 (1)数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·n，则此数列的最大项是第 项．
(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是 ．
思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析．
解析 (1)∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n
＝n×，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1an知该数列是一个递增数列，
又∵通项公式an＝n2＋kn＋4，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，
即k>－1－2n，又n∈N*，∴k>－3.
答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)
1．(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( )
A．an＝(－1)n－1＋1
B．an＝
C．an＝2sin
D．an＝cos(n－1)π＋1
答案 C
解析 对n＝1,2,3,4进行验证，知an＝2sin 不合题意，故选C.
2．现有这么一列数：2，，，，( )，，，…，按照规律，( )中的数应为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 分母为2n，n∈N，分子为连续的质数，所以( )中的数应为，故选B.
3．(2017·黄冈质检)已知在正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n≥2)，则a6等于( )
A．16 B．4
C．2 D．45
答案 B
解析 由题意得a－a＝a－a＝…＝a－a＝3，故{a}是以3为公差的等差数列，即a＝3n－2.所以a＝3×6－2＝16.又an>0，所以a6＝4.故选B.
4．若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N*)，则a2 018等于( )
A．3 B．2
C. D.
答案 A
解析 由已知a3＝＝，a4＝＝，
a5＝＝，a6＝＝，
a7＝＝2，a8＝＝3，
∴数列{an}具有周期性，且T＝6，
∴a2 018＝a336×6＋2＝a2＝3.
5．(2017·辽宁沈阳东北育才学校模拟)已知数列{an}满足a1，，，…，是首项为1，公比为2的等比数列，则a101等于( )
A．2100 B．24 950
C．25 050 D．25 151
答案 C
解析 ∵数列{an}满足a1，，，…，是首项为1，公比为2的等比数列，
∴＝2n－1，
∴an＝a1×××…×＝1×21×22×…×2n－1＝，
∴a101＝25 050.故选C.
6．(2017·河北保定模拟)已知函数f(x)＝ 若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2]
C．(2,3) D.
答案 C
解析 因为{an}是递增数列，
所以解得
即23n＋1－，n∈N*，a2＝3，则a2 018等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由an＋1－an－1<3n＋，可得an＋2－an<3n＋1＋，又an＋2－an>3n＋1－，且{an}为整数列，
所以an＋2－an＝3n＋1，
a2 018＝(a2 018－a2 016)＋(a2 016－a2 014)＋…＋(a4－a2)＋a2
＝32 017＋32 015＋…＋33＋3
＝＝.
14．若数列中的最大项是第k项，则k＝ .
答案 4
解析 设数列为{an}，则
an＋1－an＝(n＋1)(n＋5)·n＋1－n(n＋4)·n
＝n＝(10－n2)．
所以当n≤3时，an＋1>an；
当n≥4时，an＋1a5>a6>…，
故a4最大，所以k＝4.
15．(2017·湖北武汉调研)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，若an(an－1＋2an＋1)＝3an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项an等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 anan－1＋2anan＋1＝3an－1an＋1，
＋＝，
－＝2，
则＝2，数列是首项为2，公比为2的等比数列，
－＝2×2n－1＝2n，
利用累加法，
＋＋＋…＋
＝1＋2＋22＋…＋2n－1，
＝＝2n－1，则an＝.故选B.
16．(2017·太原五中模拟)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝ .
答案 (n∈N*)
解析 因为数列{an}是首项为1的正项数列，
所以an·an＋1≠0，所以－＋1＝0.
令＝t(t>0)，则(n＋1)t2＋t－n＝0，
分解因式，得[(n＋1)t－n](t＋1)＝0，
所以t＝或t＝－1(舍去)，即＝.
方法一 (累乘法)
因为····…·
＝····…·，
所以an＝(n∈N*)．
方法二 (迭代法)
因为an＋1＝an，
所以an＝an－1＝··an－2
＝···an－3
＝…＝···…·a1，
所以an＝(n∈N*)．
方法三 (特殊数列法)
因为＝，所以＝1.
所以数列{nan}是以a1为首项，1为公比的等比数列．
所以nan＝1×1n－1＝1.
所以an＝(n∈N*)．
