河南省2020届高三适应性测试数学(文)试题 Word版含解析

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河南省2020届高三适应性测试数学(文)试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年河南省普通高中毕业班高考适应性测试 文科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,,则=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合,,由此能求出.‎ ‎【详解】解:集合,‎ 或,‎ ‎.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎2. 已知复数(为复数单位),则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.‎ ‎【详解】解:复数,则.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎3. 2019年,河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题.总体来说,二手房房价有所下降,相比二手房而言,新房市场依然强劲,价格持续升高.已知销售人员主要靠售房提成领取工资.现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示,若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定,则下列说法正确的是( )‎ A. 月工资增长率最高的为8月份 B. 该销售人员一年有6个月的工资超过4000元 C. 由此图可以估计,该销售人员2020年6,7,8月的平均工资将会超过5000元 D. 该销售人员这一年中的最低月工资为1900元 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据月工资变化图,6月份月工资增长率最高,所以选项错误,有7个月工资超过4000元,所以选项错误,近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定,则可以估计该销售人员2020年6,7,8月的平均工资将会超过5000元,最低月工资为1300元,所以选项错误.‎ ‎【详解】解:对于选项:根据月工资变化图可知,6月份月工资增长率最高,所以选项错误;‎ 对于选项 - 24 -‎ ‎:该销售人员一年中工资超过4000元的月份有:1,6,7,8,9,11,12,有7个月工资超过4000元,所以选项错误;‎ 对于选项:由此图可知,销售人员2019年6,7,8月的平均工资都超过了8000元,而近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定,则可以估计该销售人员2020年6,7,8月的平均工资将会超过5000元是正确的;‎ 对于选项:由此图可知,该销售人员这一年中的最低月工资为1300元,所以选项错误,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单的合情推理,属于基础题.‎ ‎4. 已知,,则( )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含有量词的命题的否定即可得到结论.‎ ‎【详解】解:因为,是全称命题,‎ 故为:,;‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查含量词命题的否定,属于基础题.‎ ‎5. 已知向量,,若,则实数的值为( )‎ A. 3 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,由向量平行的坐标表示方法可得,解可得的值,即可得答案.‎ ‎【详解】解:根据题意,向量,,若则有,解可得;‎ - 24 -‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标表示,注意向量坐标的定义,属于基础题.‎ ‎6. 已知双曲线的一条渐近线方程为,且经过点,则该双曲线的标准方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐一分析排除,由此得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项,双曲线的渐近线为,不符合题意.对于B选项,双曲线的渐近线为,且过点,符合题意.对于C选项,双曲线的渐近线为,但不过点,不符合题意.对于D选项,双曲线的渐近线为,不符合题意.综上所述,本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程,考查双曲线标准方程的求法,属于基础题.‎ ‎7. 某种商品的广告费支出x与销售额y(单位:万元)之间有如下对应数据,根据表中提供的数据,得出y与x的线性回归方程为,则表中的m的值为( )‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ m ‎50‎ ‎70‎ A. 45 B. 50 C. 55 D. 60‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由表中数据,计算. 平均值为=1 5 ×(2+4+5+6+8)=5,‎ - 24 -‎ ‎=1 5×(30+40+50+m+70)=38+,‎ ‎∵回归直线方程y =6.5x+17.5过样本中心,‎ ‎∴38+m 5 =6.5×5+17.5,‎ 解得m=60.‎ 故选D.‎ ‎8. 已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,可得出这个几何体中的最长棱长是( )‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体的三视图,得出该几何体是底面是等腰三角形,且侧面垂直于底面的三棱锥,画出图形,结合图形即可求出该三棱锥中最长棱是多少.‎ ‎【详解】解:根据几何体的三视图,可得,该几何体为底面是等腰三角形,且右侧侧面垂直于底面的三棱锥,‎ 如图所示:且三棱锥的高为,底面三角形边长,高;‎ 该三棱锥的最长棱是.‎ 故选:.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征,属于基础题.‎ ‎9. 记不等式组,表示的平面区域为,不等式表示的平面区域为,在区域内任取一点,则点在区域外的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出满足条件的平面区域,分别求出区域的面积和圆外的部分面积,从而求出满足条件的概率的值.‎ ‎【详解】解:画出区域和圆,如图示:;‎ ‎;;‎ ‎;‎ 区域的面积是:,圆的部分面积是:,‎ 点落在圆外的概率是:,‎ 故选:.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,考查了概率问题,属于中档题.‎ ‎10. 函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,若函数是偶函数,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图象平移得出函数的解析式,再根据三角函数的奇偶性求出的值,从而求得.‎ ‎【详解】解:函数的图象向左平移个单位,‎ 得的图象,‎ 所以函数;‎ 又函数是偶函数,‎ 所以,;‎ 所以,;‎ - 24 -‎ 则.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题,考查了推理与计算能力,属于基础题.‎ ‎11. 现有灰色与白色的卡片各八张,分别写有数字1到8.甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张,并按从小到大的顺序自左向右排列(当灰色卡片和白色卡片数字相同时,白色卡片摆在灰色卡片的右侧).如图,甲面前的四张卡片已经翻开,则写有数字4的灰色卡片是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先分析可得,,,则或为数字,即可分析可得;‎ ‎【详解】解:由图可知,灰色卡片代表的数字为1,灰色卡片代表的数字为2,‎ 则为1,显然、必须大于,则或为数字;‎ 若为数字,则存在,,,,,,,满足条件,‎ 若为数字,则,均小于,显然不符合题意;‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查简单的合情推理,属于基础题.‎ ‎12. 已知函数,若在上有解,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,分析可得为上的增函数,结合可得在上有解,即存在使得,有解,在同一坐标系里画出函数与函数的图象;分析可得的取值范围,即可得答案.‎ ‎【详解】解:根据题意,函数,‎ 函数,其导数,在上为增函数,‎ 函数,在上为增函数,‎ 则函数在上为增函数;‎ 又由,即在上有解,即存在使得,有解,‎ 进而可得存在使得,有解,‎ 在同一坐标系里画出函数与函数的图象;‎ 对于,其导数,当时,曲线的切线的斜率;‎ 要满足存在使得,有解,则直线的斜率;‎ 故实数的取值范围为;‎ 故选:A.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数与单调性的关系,涉及数形结合的解题思想方法,曲线导数的几何意义,属于中档题.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 已知函数.则函数在处的切线方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数,然后利用导数求出斜率,最后利用点斜式写出切线方程即可.‎ ‎【详解】解:‎ ‎,‎ ‎,‎ 故切线方程为:,即.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法.属于基础题.‎ ‎14. 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,则____________;‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 求出抛物线和椭圆的焦点,列方程求解即可 ‎【详解】解:抛物线的焦点是,‎ 椭圆的一个右焦点是,‎ 所以,解得:,‎ 故答案为12.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线和椭圆的焦点坐标,是基础题.‎ ‎15. 在中,点是边上的点.且,,,则___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中由余弦定理可求,然后结合同角平方关系可求,在中由正弦定理可求,即可得解的值.‎ ‎【详解】解:由题意可设,,‎ 中由余弦定理可得,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 中,由正弦定理可得,,所以,‎ ‎,则,‎ - 24 -‎ 故答案为:2.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理,正弦定理在解三角形中的应用,解题的关键是熟练应用基本公式,属于中档题.‎ ‎16. 已知A,B,C,D是球O的球面上四个不同的点,若,且平面平面ABC,则球O的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形,取中点,连接,,分别取与的外心,,分别过,作平面与平面的垂线,相交于,则为四面体的球心,再利用勾股定理求出多面体外接球的半径,代入表面积公式得答案.‎ ‎【详解】解:如图,‎ 取中点,连接,,则,,‎ 分别取与的外心,,分别过,作平面与平面的垂线,相交于,则为四面体的球心,‎ 由,‎ 所以正方形的边长为,则,‎ 四面体的外接球的半径,‎ - 24 -‎ 球的表面积为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法,考查空间想象能力与思维能力,属于中档题.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17. 已知数列为公差不为0的等差数列,,且,,成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)数列满足,,求证:.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,解方程可得首项和公差,进而得到所求通项公式;‎ ‎(2)由数列的恒等式,结合等差数列的求和公式,可得,,再由数列的裂项相消法求和和不等式的性质即可得证.‎ ‎【详解】解:(1)设数列的公差为,由,,成等比数列知,,‎ 所以 化简得,‎ 由,知.①‎ 又,,②‎ 由①②可得,,‎ 所以数列的通项公式为.‎ - 24 -‎ ‎(2)当时,‎ ‎,‎ 上式对也成立,所以,‎ 所以,‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质的运用,考查数列恒等式的运用和数列的裂项相消法求和,以及不等式的性质,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎18. 如图,在三棱柱中,为正三角形,,,,点在线段的中点,点为线段的中点.‎ ‎(1)在线段上是否存在点,使得平面?若存在,指出点的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎(2)求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)存在线段的中点满足题意,理由见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由点为线段的中点,点为线段的中点,可得,得到平面 - 24 -‎ ‎,取的中点,得,同理平面,再由面面平行的判定可得平面平面,进一步得到平面;‎ ‎(2)由已知求解三角形证明平面,得到,求出三角形的面积,再由棱锥体积公式求三棱锥的体积.‎ ‎【详解】(1)存在线段的中点满足题意 证明如下:‎ 因为点为线段的中点,为的中点,所以,‎ 又平面,平面,所以平面.‎ 取中点,连接,,则,‎ 同理平面.‎ 又,所以平面平面.‎ 又平面,所以平面.‎ ‎(2)由,为正三角形,及棱柱知为正三角形,,,,.‎ 因为,所以,‎ 所以,所以,‎ 又,所以平面.‎ 因为,所以平面.‎ 又,所以,‎ 因为,所以平面.‎ 又平面,所以,‎ 所以,‎ - 24 -‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了多面体体积的求法,属于中档题.‎ ‎19. 2019年12月1日起郑州市施行《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》,郑州将正式进入城市生活垃圾分类时代.为了增强社区居民对垃圾分类知识的了解,积极参与到垃圾分类的行动中,某社区采用线下和线上相结合的方式开展了一次200名辖区成员参加的“垃圾分类有关知识”专题培训.为了了解参训成员对于线上培训、线下培训的满意程度,社区居委会随机选取了40名辖区成员,将他们分成两组,每组20人,分别对线上、线下两种培训进行满意度测评,根据辖区成员的评分(满分100分)绘制了如图所示的茎叶图.‎ ‎(1)根据茎叶图判断辖区成员对于线上、线下哪种培训的满意度更高,并说明理由.‎ ‎(2)求这40名辖区成员满意度评分的中位数,并将评分不超过、超过分别视为“基本满意”“非常满意”两个等级.‎ ‎(ⅰ)利用样本估计总体的思想,估算本次培训共有多少辖区成员对线上培训非常满意;‎ ‎(ⅱ)根据茎叶图填写下面的列联表.‎ 基本满意 非常满意 总计 线上培训 线下培训 总计 - 24 -‎ 并根据列联表判断能否有99.5%的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异?‎ 附:‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎,其中.‎ ‎【答案】(1)辖区成员对线下培训的满意度更高;(2)(ⅰ)80,(ⅱ)列联表见解析,没有99.5%的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接由茎叶图分析线上培训与线下培训的数据得结论;‎ ‎(2)由茎叶图结合中位数公式求.‎ 求出线上培训非常满意的频率,乘以200得对线上培训非常满意的学员人数;‎ 结合茎叶图填写列联表,再求出的观测值,结合临界值表得结论.‎ ‎【详解】解:(1)山茎叶图可知,线上培训的满意度评分在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布,线下培训的满意度评分分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布,故可以认为线下培训满意度评分比线上培训满意度评分更高,因此辖区成员对线下培训的满意度更高.‎ ‎(2)由茎叶图知.‎ ‎(ⅰ)参加线上培训满意度调查的20名辖区成员中共有6名成员对线上培训非常满意,频率为,又本次培训共200名学员参加,所以对线上培训非常满意的成员约有(人).‎ ‎(ⅱ)列联表如下:‎ 基本满意 非常满意 总计 线上培训 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ - 24 -‎ 线下培训 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 于是的观测值,‎ 由于,‎ 所以没有的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异.‎ 点睛】本题考查茎叶图,考查独立性检验,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎20. 已知椭圆,点、、均在椭圆上,,点与点关于原点对称,的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若,求外接圆的半径的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,由对称性求出的坐标,即可表示出,,根据向量的数量积的坐标表示求出,从而求得,,即可得到椭圆方程;‎ ‎(2)由对称性,不妨设点在直线的右上方,因为,所以.‎ 即可求出的方程,从而求出的坐标,即可得到,设圆心为,则,再由勾股定理计算可得;‎ ‎【详解】解:(1)设,则,,‎ 又,由对称性知,所以.①‎ - 24 -‎ ‎,,‎ 所以.‎ 注意到,所以时上式取最大值,即.②‎ 代入①得,,‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)由对称性,不妨设点在直线的右上方,因为,所以.‎ 因为,所以,即直线 将代入椭圆方程,得,解得或(舍去),所以,所以,.‎ 设圆心为,则 由勾股定理:,即.‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程,直线与椭圆综合应用,属于中档题.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎(1)当时,求的最小值;‎ ‎(2)若函数在上存在极值点,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导后可得,令,利用导数可知函数 - 24 -‎ 恒成立,由此可得函数在上单调递减,在上单调递增,进而得到最小值;‎ ‎(2)分及讨论,当时,无极值;当时,利用导数可知满足题意,进而得出结论.‎ 详解】解:(1)由已知得当时,‎ ‎.‎ 令,则.‎ 当时,;当时,.‎ 易知函数在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以,所以,‎ 则当时,;当时,,‎ 因此在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以.‎ ‎(2)‎ 令.‎ ‎①当时,.‎ 又因为,,所以,‎ 此时在单调递増,所以函数无极值. ‎ ‎②当时,,在上单调递增.‎ 又,,所以在上存在唯一零点,设为,‎ 所以当时,,,单调递减;‎ 当时,,,单调递增,‎ 所以当时,函数在上存在极值点.‎ - 24 -‎ 综上所述,的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值及最值,考查分类讨论思想及运算求解能力,属于中档题.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎ [选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22. 已知在平面直角坐标系内,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)把曲线和直线化为直角坐标方程;‎ ‎(2)过原点引一条射线分别交曲线和直线于,两点,射线上另有一点满足,求点的轨迹方程(写成直角坐标形式的普通方程).‎ ‎【答案】(1),;(2)(除去原点).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.‎ ‎(2)利用极径的应用建立等量关系,进一步求出直角坐标方程.‎ ‎【详解】解:(1)由曲线参数方程得:,‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ 又由,,‎ 将极坐标与直角坐标的转化公式,代入上式,得 - 24 -‎ 直线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)在极坐标系内,设,,,则 ‎,,‎ 由得,,即,‎ 所以,‎ 从而得,且,‎ 转化为直角坐标方程为,‎ 所以点的轨迹方程为(除去原点).‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,极径的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎(1)求函数的最大值;‎ ‎(2)已知,,,求的最大值.‎ ‎【答案】(1)6;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)化简函数的解析式,画出函数图象,然后求解函数的最大值即可.‎ ‎(2)化简表达式,通过转化,结合基本不等式求解最大值即可.‎ ‎【详解】解:(1)因为 - 24 -‎ 所以 函数图象如下所示:‎ 所以.‎ ‎(2),‎ 令,,由条件知,,,‎ 所以,‎ 等号成立条件为,即,.‎ 所以的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的最值的求法,基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力,属于中档题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎
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