湖北省龙泉中学、荆州中学、宜昌一中2021届高三9月联考 数学（PDF版）

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数学试题 第 1 页 共 2 页 龙泉中学、荆州中学、宜昌一中 2020 年秋季学期 高三九月联考 数 学 试 题 本试卷共 2 页，共 22 题。满分 150 分，考试用时 120 分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1.设全集   1 2 | 0 | log 0U x x M x x     ， ，则 U M C A. ( ,1] B. (1, ) C. (0,1] D. [1, ) 2．己知 a b c   ，则下列各式成立的是 A．ln lnab B． ccab C. abcc D． 11cc ba  3．已知函数   24xx xfx  ，则函数  1 1 fx x   的定义域为 A. ,1 B． ,1  C.   , 1 1,0    D.   , 1 1,1    4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流 传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙 魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六 共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五 与十相守居中，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数，若从阳数和阴数 中各取一数，则其差的绝对值为 3 的概率为 A. 1 5 B. 7 25 C. 8 25 D. 2 5 5．设 p：实数 x 满足    2 1 0 0 5x a x a a     其中 ，q：实数 x 满足ln 2x  ，则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 已知函数 2( ) ln( 1)f x x x   ，若正实数 ab, 满足 (4 ) ( 1) 0f a f b   ，则 11 ab 的最小值为 A. 4 B. 8 C. 9 D. 13 7.若函数  fx对 ,Rab，同时满足：（1）当 0ab时有     0f a f b；（2）当 0ab时有     0f a f b，则称  fx为  函数．下列函数中是  函数的为 ①   sinf x x x ，②   0, 0 1 ,0 x fx xx   ， ③   e +exxfx  ， ④ ()f x x x A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 8．定义:若函数 ()y f x 在区间[ , ]ab上存在  1 2 1 2,x x a x x b   ,满足  1 ( ) ( )' f b f afx ba   ,  2 ( ) ( )' f b f afx ba   ,则称函数 ()y f x 是在区间[ , ]ab上的一个双中值函数.已知函数 326() 5f x x x 是区间[0, ]t 上的双中值函数,则实数 t 的取值范围是 A. 36,55   B. 26,55   C. 23,55   D. 61, 5   二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9. 某地某所高中 2020 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生 的升学情况，统计了该校 2016 年和 2020 年的高考升学情况，得到如下柱图,则下列结论正确的是 2016 年高考数据统计 2020 年高考数据统计 A. 与 2016 年相比，2020 年一本达线人数有所增加 B. 与 2016 年相比，2020 年二本达线人数增加了 0.5 倍 C. 与 2016 年相比，2020 年艺体达线人数相同 D. 与 2016 年相比，2020 年不上线的人数有所增加 10.若   2021 2 3 2021 0 1 2 3 202112x a a x a x a x a x x R       ，则 A. 0 1a  B. 2021 1 3 5 2021 31 2a a a a     C. 2021 0 2 4 2020 31 2a a a a     D. 3 202112 2 3 2021 12 2 2 2 aaaa     11．已知定义 ( , ) ( ) (2 ),f x f x   的奇函数，满足 若 (1) 1,f  则 A． (3) 1f  B. 4 ( )fx是 的一个周期 C. (2018) (2019) (2020) 1f f f    D. 的图像关于 1x  对称 12． 3 2 12 ,yzx已知正数x,y,z满足 下列结论正确的有 A. 6 2 3z y x B. 1 2 1 x y z C. (3 2 2)x y z   D. 28xy z 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 数学试题 第 2 页 共 2 页 13. 若“  1,2 0x x a   ， ”是假命题，则实数 a 的取值范围是__________． 14.已知 ()fx为偶函数,当 0x  时, ln( )() xfx x  ,则曲线 ()y f x= 在点(1,0)处的切线方程是 . 15.5 人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________.(用数字作答) 16.已知函数           012 01 2 xxx xe x xf x ，则方程 2021( )= 2020fx 的实根的个数为 ； 若函数 1))((  axffy 有三个零点，则 a 的取值范围是 ． 四、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分）设数列{}na 的前 n 项和为 nS ，在① 234, , 4a a a  成等差数列. ② 1 2 3+,,2SSS成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答. 在公比为 2 的等比数列{}na 中， (1)求数列 的通项公式; (2)若 2( 1)log ,nnb n a 求数列 2 2 22 n nn b   的前 n 项和 .nT （注：如选择两个条件分别解答，按第一个解答计分） 18．（本小题满分 12 分）已知定义域为 R 的函数 ( ) ( 1)xxf x a k a   (0a  且 1)a  是奇函数． （1）求实数 k 的值； （2）若 (1) 0f  ，求不等式 2( ) (4 ) 0f x tx f x    对 xR 恒成立时t 的取值范围. 19．（本小题满分 12 分）为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科 生人数之比为 1：4，且成绩分布在 的范围内，规定分数在 50 以上含 的作文获奖，按文理科用 分层抽样的方法抽取 400 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中 a，b，c 构成 以 2 为公比的等比数列． 求 a，b，c 的值； 填写下面 列联表，能否在犯错误的概率不超过 的情况下认为“获奖”与“学生的文理科”有关？ 文科生 理科生 合计 获奖 6 不获奖 合计 400 从获奖的学生中任选 2 人,求至少有一个文科生的概率. 附： 2 2 () ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． k 20．（本小题满分 12 分）一动圆与圆 1)1(: 22 1  yxO 外切，与圆 9)1(: 22 2  yxO 内切； (1)求动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程． (2)设过圆心 1O 的直线 1:  myxl 与轨迹 L 相交于 A、B 两点，请问 2ABO （ 2O 为圆 的圆心）的 内切圆 N 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程，若 不存在，请说明理由． 21．（本小题满分 12 分）某科技公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G 有 3 个电子元件组成， 各个电子元件能否正常工作的概率均为 1 2 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统 中有超 过一半的电子元件正常工作，则 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需要的费用为 500 元. （1）求系统 不需要维修的概率； （2）该电子产品共由 3 个完全相同的系统 组成，设 Y 为电子产品需要维修的系统所需的费用，求Y 的分布列与数学期望； （3）为提高系统 正常工作概率，在系统 内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个 新元件正常工作的概率均为 p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则 可以正常工 作，问： 满足什么条件时，可以提高整个系统 的正常工作概率？ 22．（本小题满分 12 分）已知函数 axxexf x )( ， Ra ． (1)设 )(xf 的导函数为 )(' xf ，求 )(' xf 的最小值； (2)设 xaxaxaxxg a )1(lnln)(  ，当 ),1( x 时，若 )()( xgxf  恒成立，求a 的取值范围． 数学试题 第 3 页 共 2 页 龙泉中学、荆州中学、宜昌一中 2020 年秋季学期 高三九月联考数学参考答案 一、单项选择题：1-4 DCDB 5-8 ACDA 二、多项选择题：9.AD 10. ACD 11. BCD 12. BCD 三、填空题: 13． -1 +， 14． -1 0xy+= 15． 3 10 16．3， 11(1,1 ) (2,3] 3ee  UU (第一空 2 分，第二空 3 分) 四．解答题 17．解：（1）选①：因为 ， ， 成等差数列，所以 ， 所以 ，解得 ，所以 ． ……………………………………………5 分 选②：因为 1 2 3+,,2SSS成等差数列，所以  2 1 3 322 +2 + 4== +SS a aS ，即 ， 所以 1 1+42 =4aa，解得 ，所以 ． …………………………………………………5 分 （2）因为 ，所以 ， 所以， 2 2 2 2 2 1 12( )( 1) 1n nn b n n n n     ………………………………………………………8 分 所以 1 1 1 1 12 1 + - +......+2 2 3 n 1nT n                   121 1n  2 1 n n  ……………………10 分 18．解：(1)∵ ()fx是定义域为 R 的奇函数， ∴ 00(0) ( 1) 1 ( 1) 0f a k a k       ∴ 2k  . ………………………………………… 4 分 经检验： 时， () xxf x a a (0a  且 1)a  是奇函数．故 ……………………5 分 （2） ( ) ( >0 1)xxf x a a a a  且 10,1,0,01,0)1(  aaaaaf 且又 ， ………………………………… 7 分 而 xya 在 R 上单调递减， xya 在 R 上单调递增， 故判断 () xxf x a a 在 R 上单调递减，………………………………………………………8 分 不等式化为 2( ) ( 4)f x tx f x   ， 2 4x tx x    ， 2 ( 1) 4 0x t x     恒成立，…………………………………………………………………10 分 2( 1) 16 0t     ，解得 35t   . ………………………………………………12 分 19．解： 由频率分布直方图可知， ， 因为 a，b，c 构成以 2 为公比的等比数列，所以 ，解得 ， 所以 ， ．故 ， ， ． ………………3 分 获奖的人数为 人，因为参考的文科生与理科生人数之比为 1：4， 所以 400 人中文科生的数量为 ，理科生的数量为 ． ……………5 分 由表可知，获奖的文科生有 6 人，所以获奖的理科生有 人，不获奖的文科生有 人．于是可以得到 列联表如下： 文科生 理科生 合计 获奖 6 14 20 不获奖 74 306 380 合计 80 320 400 25= 1.316 6.63519 ………………………………………………8 分 所以在犯错误的概率不超过 的情况下，不能认为“获奖”与“学生的文理科”有关．…………9 分 获奖的学生一共 20 人,其中女生 6 人,男生 14 人,从中任选 2 人,至少 1 名女生的概率为 1 1 2 6 14 6 2 20 99 190 C C CP C ………………………………………………………………………………12 分 20. 解：(1)设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R． 由题意，得 RMORMO  3||,1|| 21 ， 4|||| 21  MOMO ………………………2 分 由椭圆定义知 M 在以 1O , 2O 为焦点的椭圆上，且 a=2，c=1， 314222  cab ． ∴动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程为 134 22  yx …………………4 分 (2)如图，设 2ABO 内切圆 N 的半径为 r，与直线 l 的切点为 C，则三角形 2ABO 的面积 rBOAOABS ABO |)||||(|2 1 222  rBOBOAOAO |)]||(||)||[(| 2 1 2121  rar 42  当 2ABOS 最大时，r 也最大， 2ABO 内切圆的面积也最大，……………………………………5 分 设 ),( 11 yxA 、 )0,0)(,( 2122  yyyxB ， 则 21221121 ||||2 1||||2 1 2 yyyOOyOOS ABO  ， ………………………………………6 分 由      134 1 22 yx myx ，得 096)43( 22  myym ， ,43 9,43 6- 221221   myym myy ………………………………8 分 43 112 2 2 2    m mS ABO ，令 12  mt ，则 t≥1，且 m2=t2-1， 有  4)1(3 12 22 t tS ABO ttt t 13 12 13 12 2   ，………………………10 分 令 tttf 13)(  ，则 2 13)(' ttf  ， 数学试题 第 4 页 共 2 页 当 t≥1 时， 0)(' tf ，f(t)在[1，+∞）上单调递增，有 4)1()(  ftf ， 34 12 2 ABOS ， 即当 t=1，m=0 时，4r 有最大值 3，得 4 3 max r ，这时所求内切圆的面积为 16 9 ∴存在直线 2,1: ABOxl  的内切圆 M 的面积最大值为 16 9 . ……………………………………12 分 21．解：（1）系统 G 不需要维修的概率为 2 2 3 3 33 1 1 1 1( ) ( )2 2 2 2CC     . …………………………2 分 （2）设 X 为维修的系统 G 的个数，则 1~ (3, )2XB ，且 500YX ， 所以 3 3 11( 500 ) ( ) ( ) ( ) , 0,1,2,322 k k kP Y k P X k C k       .………………………………4 分 所以Y 的分布列为 Y 0 500 1000 1500 P 1 8 3 8 所以Y 的期望为 1( ) 500 3 7502EY     元………………………………………………6 分 （3）当系统G 有 5 个电子元件时， 若前 3 个电子元件中有 1 个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作， 则概率为 1 2 2 2 3 1 1 3()2 2 8C p p    ；……………………………………………………………7 分 若前 3 个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有 1 个正常工作， 则概率为 2 2 1 2 2 2 2 3 2 3 1 1 1 1 3( ) (1 ) ( ) (2 )2 2 2 2 8C C p p C p p p            ； ……………8 分 若前 3 个电子元件中 3 个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作， 系统 均能正常工作，则概率为 33 3 11()28C .……………………………………………10 分 所以新增两个元件后系统 能正常工作的概率为 223 3 1 3 1(2 )8 8 8 4 8p p p p     ， 于是由 3 1 1 3(2 1)4 8 2 8pp    知，当 2 1 0p  时，即 1 12 p<<时， 可以提高整个系统 的正常工作概率. ……………………………………………………12 分 22. 解：(1) aexxf x  )1()(' '' ( ) ( 2) xf x x e 所以    '( ) - ,-2 , -2,+fx 在 上单调递减 在 上单调递增 所以 ' 2 1( ) '( 2)f x f a e  的最小值为 …………………………………………………………4 分 (Ⅱ)当 ),1( x 时，若 )()( xgxf  成立， 即 xaxaxxxe ax lnln  对 ),1( x 恒成立， 亦即 xaexaxxe xx ln)ln( ln   对 ),1( x 恒成立．………………………………………6 分 1 ( ) ( ln )a f x f a x即 时 2 11 '( ) 1- 0efx 由（ ）知a=1时 的最小值为 ,所以 ()fx在 R 上单调递增．…………………8 分 xax ln 在 ),1(  上恒成立． 令 xaxxm ln)(  ，则 x ax x axm 1)(' ． ① 1a 时， 0)(' xm 在 ),1(  上恒成立， 01)1()(  mxm ，此时满足已知条件，…9 分 ②当 1a 时，由 0)(' xm ，解得 ax  ． 当 ),1( ax 时， 0)(' xm ，此时 )(xm 在 ),1( a 上单调递减； 当 ),(  ax 时， 0)(' xm ，此时 )(xm 在 ),( a 上单调递增． )(xm 的最小值 0ln)(  aaaam ，解得 ea 1 ． ……………………………………11 分 综上， a 的取值范围是 ],( e …………………………………………………………………12 分