高考数学天津理科试题及答案解析版

高考数学天津理科试题及答案解析版

‎2016年天津市高考数学试卷（理科）‎ ‎ 一、选择题 ‎ 【2016天津（理）】已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（　　）‎ A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，‎ ‎∵A={1，2，3，4}，‎ ‎∴A∩B={1，4}，‎ ‎ 【2016天津（理）】设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（　　）‎ A．﹣4 B．6 C．10 D．17‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：作出不等式组表示的可行域，‎ 如右图中三角形的区域，‎ 作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，‎ 平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．‎ 故选：B．‎ ‎ 【2016天津（理）】在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，‎ AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，‎ 可得：13=9+AC2+3AC，‎ 解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．‎ ‎ 【2016天津（理）】阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4，‎ 第二次判断不满足条件n＞3：‎ 第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3，‎ 第四次判断n＞3不满足条件，‎ 第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4，‎ 第六次判断满足条件n＞3，‎ 故输出S=4，‎ ‎ 【2016天津（理）】设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】解：{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，‎ 若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，‎ 例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0，+（﹣）=＞0；‎ 而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，‎ 则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，‎ ‎ 【2016天津（理）】已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，‎ 设A（x，x），则∵四边形ABCD的面积为2b，‎ ‎∴2x•bx=2b，‎ ‎∴x=±1‎ 将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，∴b2=12，‎ ‎∴双曲线的方程为﹣=1，‎ ‎ 【2016天津（理）】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为（　　）‎ A．﹣ B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由DD、E分别是边AB、BC的中点，DE=2EF，可得 ‎=（+）•（﹣）‎ ‎=（+）•（﹣）‎ ‎=（+）•（﹣）‎ ‎=2﹣•﹣2=﹣•1•1•﹣‎ ‎=．‎ ‎ ‎ ‎ 【2016天津（理）】已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}‎ ‎【答案】 C ‎【解析】解：y=loga（x+1）+在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，‎ 函数f（x）在R上单调递减，则则：‎ ‎；‎ 解得，；‎ 由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，‎ 故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，‎ 当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）+3a|=2﹣x，‎ 则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，‎ 解得a=或1（舍去），‎ 当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，‎ 综上：a的取值范围为[，]∪{}，‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎ 【2016天津（理）】已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为　 　．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴=2，‎ ‎ 【2016天津（理）】（x2﹣）8的展开式中x7的系数为　 　（用数字作答）‎ ‎【答案】 -56‎ ‎【解析】解：Tr+1==x16﹣3r，‎ 令16﹣3r=7，解得r=3．‎ ‎∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为=﹣56．‎ ‎ 【2016天津（理）】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为　m3‎ ‎【答案】 2‎ ‎【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，‎ 棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m2，‎ 棱锥的高h=3m，‎ 故体积V==2m3，‎ ‎ 【2016天津（理）】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：如图，‎ 过D作DH⊥AB于H，‎ ‎∵BE=2AE=2，BD=ED，‎ ‎∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，‎ ‎∴DH2=AH•BH=2，则DH=，‎ 在Rt△DHE中，则，‎ 由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎ 【2016天津（理）】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是　　．‎ ‎【答案】（，）‎ ‎【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，‎ ‎∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，‎ 则f（2|a﹣1|）＞f（﹣），等价为f（2|a﹣1|）＞f（），‎ 即﹣＜2|a﹣1|＜，‎ 则|a﹣1|＜，即＜a＜，‎ ‎ 【2016天津（理）】设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为　　．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】解：抛物线（t为参数，p＞0）的普通方程为：y2=2px焦点为F（，0），如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．|CF|=2|AF|，‎ ‎|CF|=3p，|AB|=|AF|=p，A（p，），‎ ‎△ACE的面积为3，，‎ 可得=S△ACE．‎ 即：=3，‎ 解得p=．‎ ‎ ‎ ‎ 三、计算题 ‎ 【2016天津（理）】已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．‎ ‎（1）求f（x）的定义域与最小正周期；‎ ‎（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．‎ ‎ 【解析】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．‎ ‎∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，‎ 则f（x）=4tanxcosx•（cosx+sinx）﹣‎ ‎=2sinx（cosx+sinx）﹣‎ ‎=sinxcosx+sin2x﹣‎ ‎=sin2x+（1﹣cos2x）﹣‎ ‎=sin2x﹣cos2x﹣‎ ‎=sin（2x﹣）﹣‎ 则函数的周期T=；‎ ‎（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，‎ 得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，‎ 当k=0时，增区间为[﹣，]，k∈Z，‎ ‎∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，]，‎ 由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，‎ 得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，‎ 当k=﹣1时，减区间为[﹣，﹣]，k∈Z，‎ ‎∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣]，‎ 即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣]，增区间为[﹣，]．‎ ‎ 【2016天津（理）】某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ ‎（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；‎ ‎（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎ 【解析】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，‎ 事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；‎ 共有+=15种，‎ ‎∴事件A发生概率：P==．‎ ‎（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．‎ P（X=0）==‎ P（X=1）==，‎ P（X=2）==，‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴EX=0×+1×+2×=1．‎ ‎ 【2016天津（理）】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．‎ ‎（1）求证：EG∥平面ADF；‎ ‎（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；‎ ‎（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．‎ ‎ 【解析】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，‎ ‎∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，‎ ‎∵G，I是中点，‎ ‎∴GI∥BD，GI=BD．‎ ‎∵O是正方形ABCD的中心，‎ ‎∴OB=BD．‎ ‎∴EF∥GI，EF=GI，‎ ‎∴四边形EFIG是平行四边形，‎ ‎∴EG∥FI，‎ ‎∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，‎ ‎∴EG∥平面ADF；‎ ‎（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），‎ F（0，0，2），‎ 设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）‎ ‎∵OC⊥平面OEF，‎ ‎∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），‎ ‎∵|cos＜，＞|=‎ ‎∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；‎ ‎（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．‎ 设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．‎ ‎∴a=﹣，b=0，c=，‎ ‎∴=（﹣，，），‎ ‎∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．‎ ‎ 【2016天津（理）】已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中项．‎ ‎（1）设cn=b﹣b，n∈N+，求证：数列{cn}是等差数列；‎ ‎（2）设a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n∈N*，求证：．‎ ‎ 【解析】证明：（1）∵{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中项．‎ ‎∴cn=b﹣b=an+1an+2﹣anan+1=2dan+1，‎ ‎∴cn+1﹣cn=2d（an+2﹣an+1）=2d2为定值；‎ ‎∴数列{cn}是等差数列；‎ ‎（2）Tn=（﹣1）kbk2=c1+c3+…+c2n﹣1=nc1+•4d2=nc1+2n（n﹣1）d2，①n∈N*，‎ 由已知c1=b22﹣b12=a2a3﹣a1a2=2da2=2d（a1+d）=4d2，‎ 将c1=4d2，代入①得Tn=n（n+1）d2，‎ ‎∴==（1﹣…+﹣）=（1﹣）．‎ 即不等式成立．‎ ‎ 【2016天津（理）】设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．‎ ‎ 【解析】解：（1）由+=，得，‎ 即，‎ ‎∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．‎ ‎∴椭圆方程为；‎ ‎（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），‎ 设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），‎ ‎∵∠MOA≤∠MAO，‎ ‎∴x0≥1，‎ 再设H（0，yH），‎ 联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．‎ ‎△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．‎ 由根与系数的关系得，‎ ‎∴，，‎ MH所在直线方程为，‎ 令x=0，得，‎ ‎∵BF⊥HF，‎ ‎∴，‎ 即1﹣x1+y1yH=，‎ 整理得：，即8k2≥3．‎ ‎∴或．‎ ‎ 【2016天津（理）】设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；‎ ‎（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．‎ ‎ 【解析】解：（1）函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b的导数为 f′（x）=3（x﹣1）2﹣a，‎ 当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；‎ 当a＞0时，当x＞1+或x＜1﹣时，f′（x）＞0，‎ 当1﹣＜x＜1+，f′（x）＜0，‎ 可得f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+）；‎ ‎（2）证明：f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，‎ 由f（x0）=（x0﹣1）3﹣3x0（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，‎ f（3﹣2x0）=（2﹣2x0）3﹣3（3﹣2x0）（x0﹣1）2﹣b ‎=（x0﹣1）2（8﹣8x0﹣9+6x0）﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，‎ 即为f（3﹣2x0）=f（x0）=f（x1），‎ 即有3﹣2x0=x1，即为x1+2x0=3；‎ ‎（3）证明：要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，‎ 即证在[0，2]上存在x1，x2，使得g（x1）﹣g（x2）≥．‎ 当a≥3时，f（x）在[0，2]递减，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，‎ f（0）﹣f（2）=2a﹣2≥4＞，递减，成立；‎ 当0＜a＜3时，f（1﹣）=（﹣）3﹣a（1﹣）﹣b=﹣﹣a+a﹣b ‎=﹣a﹣b，‎ f（1+）=（）3﹣a（1+）﹣b=﹣a﹣a﹣b ‎=﹣﹣a﹣b，‎ f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，‎ f（2）﹣f（0）=2﹣2a，‎ 若0＜a≤时，f（2）﹣f（0）=2﹣2a≥成立；‎ 若a＞时，f（1﹣）﹣f（1+）=＞成立．‎ 综上可得，g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．‎ ‎ ‎ ‎2016年天津市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．【2016天津（理）】已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（　　）‎ A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}‎ ‎2．【2016天津（理）】设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（　　）‎ A．﹣4 B．6 C．10 D．17‎ ‎3．【2016天津（理）】在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4．【2016天津（理）】阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎5．【2016天津（理）】设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．【2016天津（理）】已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎7．【2016天津（理）】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为（　　）‎ A．﹣ B． C． D．‎ ‎8．【2016天津（理）】已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎9．【2016天津（理）】已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为　　　　　　．‎ ‎10．【2016天津（理）】（x2﹣）8的展开式中x7的系数为　　　　　　（用数字作答）‎ ‎11．【2016天津（理）】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为 ‎　　　　　　m3‎ ‎12．【2016天津（理）】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为　　　　　　．‎ ‎13．【2016天津（理）】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是　　　　　　．‎ ‎14．【2016天津（理）】设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、计算题 ‎15．【2016天津（理）】已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．‎ ‎（1）求f（x）的定义域与最小正周期；‎ ‎（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．‎ ‎16．【2016天津（理）】某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ ‎（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；‎ ‎（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎17．【2016天津（理）】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．‎ ‎（1）求证：EG∥平面ADF；‎ ‎（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；‎ ‎（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．‎ ‎18．【2016天津（理）】已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中项．‎ ‎（1）设cn=b﹣b，n∈N+，求证：数列{cn}是等差数列；‎ ‎（2）设a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n∈N*，求证：．‎ ‎19．【2016天津（理）】设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．‎ ‎20．【2016天津（理）】设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；‎ ‎（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．‎