【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量的数量积与平面向量应用举例学案

【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量的数量积与平面向量应用举例学案

第25讲　平面向量的数量积与平面向量应用举例 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．‎ ‎2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．‎ ‎3．掌握数量积的坐标表达式，进行平面向量数量积的运算．‎ ‎4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．‎ ‎6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.‎ ‎2017·全国卷Ⅰ，13‎ ‎2017·全国卷Ⅲ，13‎ ‎2017·天津卷，14‎ ‎2017·北京卷，12‎ ‎2016·山东卷，13‎ ‎2016·江苏卷，13‎ ‎1.平面向量的数量积是高考的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂直问题．‎ ‎2．数量积的综合应用是高考的重点，常与函数、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查.‎ 分值：5分 ‎1．平面向量的数量积 若两个__非零__向量a与b，它们的夹角为θ，则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作__a·b＝|a||b|cos θ__.‎ 规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.‎ 两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__，两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±|a||b|__.‎ ‎2．平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘积．‎ ‎3．平面向量数量积的重要性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．‎ ‎(1)e·a＝a·e＝__|a|cos θ__.‎ ‎(2)非零向量a，b，a⊥b⇔__a·b＝0__.‎ ‎(3)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝__－|a||b|__，a·a＝__a2__，|a|＝____.‎ ‎(4)cos θ＝____.‎ ‎(5)|a·b|__≤__|a||b|.‎ ‎4．平面向量数量积满足的运算律 ‎(1)a·b＝__b·a__(交换律)．‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝__a·(λb)__(λ为实数)．‎ ‎(3)(a＋b)·c＝__a·c＋b·c__.‎ ‎5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2__.‎ 由此得到：‎ ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝__x2＋y2__或|a|＝____；‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝____；‎ ‎(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__.‎ ‎6．平面向量数量积运算的常用公式 ‎(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.‎ ‎(2)(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2.‎ ‎(3)(a－b)2＝__a2－‎2a·b＋b2__.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，且有正有负，也可为零．(　√　)‎ ‎(2)若a∥b，则必有a·b≠0.(　×　)‎ ‎(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)‎ ‎(4)若a·b<0，则向量a，b的夹角为钝角．(　×　)‎ 解析　(1)正确．由向量投影的定义可知，当两向量夹角为锐角时结果为正，为钝角时结果为负，为直角时结果为零．‎ ‎(2)错误．当a与b有一个为0时得不到a·b≠0.‎ ‎(3)正确．由数量积与向量线性运算的意义可知正确．‎ ‎(4)错误．当a·b＝－|a||b|时，a与b的夹角为π.‎ ‎2．下列四个命题中真命题的个数为(　D　)‎ ‎①若a·b＝0，则a⊥b；②若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④(a·b)2＝a2·b2.‎ A．4　　 B．‎3　‎　‎ C．2　　 D．0‎ 解析　a·b＝0时，a⊥b或a＝0或b＝0，故①命题错误．‎ ‎∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0.‎ 又∵b≠0，∴a＝c或b⊥(a－c)，故②命题错误．‎ ‎∵a·b与b·c都是实数，故(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，‎ ‎∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等，故③命题错误．‎ ‎∵(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2|b|2cos2θ≤|a|2·|b|2＝a2·b2，故④命题错误．‎ ‎3．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·＝(　D　)‎ A．－　　 B．－　　‎ C．　　 D． 解析　在△ABC中，cos∠BAC＝，∴·＝||||cos∠BAC＝(AB2＋AC2－BC2)＝.‎ ‎4．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为(　C　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． 解析　|a|cos θ＝＝＝＝.‎ ‎5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝__7__.‎ 解析　因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.‎ 一　平面向量数量积的运算 求两个向量的数量积有三种方法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义求解；当已知向量的坐标时，可利用向量数量积的坐标运算求解；利用数量积的几何意义求解．‎ ‎【例1】 (1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(‎2a＋b)·a＝(　C　)‎ A．－1　　 B．‎0　‎　‎ C．1　　 D．2‎ ‎(2)(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若B＝2 D，A＝λ A－A(λ∈R)，且A·A＝－4，则λ的值为____.‎ 解析　(1)∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，‎ 从而(‎2a＋b)·a＝‎2a2＋a·b＝4－3＝1.‎ ‎(2)因为＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因为＝λ－，所以·＝·(λ－)＝－2＋λ2＋·，因为∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，所以·＝－×9＋λ×4＋×3×2×＝－3＋λ＋λ－2＝－4，解得λ＝.‎ 二　平面向量的夹角与垂直问题 ‎(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos θ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．‎ ‎(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．‎ ‎【例2】 (1)(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝__－__.‎ ‎(2)(2016·山东卷)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(t a＋b)，则实数t的值为__－5__.‎ ‎(3)(2016·北京卷)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为____.‎ 解析　(1)因为a⊥b，所以x＋2(x＋1)＝0，解得x＝－.‎ ‎(2)因为a⊥(ta＋b)，所以a·(ta＋b)＝0，即t a2＋a·b＝0，又因为a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，所以|a|＝，a·b＝1×6＋(－1)×(－4)＝10，因此可得2t＋10＝0，解得t＝－5.‎ ‎(3)∵cos〈a，b〉＝＝＝，‎ ‎∴a与b夹角的大小为.‎ 三　平面向量的综合应用 平面向量与三角函数综合问题的解题思路 ‎(1)‎ 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，求向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．‎ ‎【例3】 (1)已知O为坐标原点，向量O＝(3sin α，cos α)，O＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且O⊥O，则tan α的值为(　A　)‎ A．－　　 B．－　　‎ C．　　 D． ‎(2)已知向量a＝(sin α－cos α，－)，O＝a－b，O＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为__1__.‎ 解析　(1)由题意知6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈，则tan α<0，解得tan α＝－.故选A．‎ ‎(2)由题意得|a|＝＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，||＝||.由⊥，得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，由||＝||，得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0.所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以||＝||＝，‎ 故S△OAB＝××＝1.‎ ‎1．在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为(　C　)‎ A．4　　 B．‎5　‎　‎ C．2　　 D．3‎ 解析　∵＝(2,2)，∴||＝＝2.‎ ‎∵·＝||·||cos A＝2×2cos A＝－4，‎ ‎∴cos A＝－，又∵00，∴|a＋b|＝2cos x.‎ ‎(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1‎ ‎＝22－.‎ ‎∵x∈，∴≤cos x≤1，‎ ‎∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；‎ 当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.‎ 易错点　向量的夹角问题 错因分析：不注意两向量a，b夹角为锐角(钝角)⇔a·b>0(<0)且a，b不共线．‎ ‎【例1】 已知向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．‎ 解析　∵2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，∴2te＋(2t2＋7)(e1·e2)＋7te<0.∵|e1|＝2，|e2|＝1，e1·e2＝1，∴2t2＋15t＋7<0，解得－7I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，∴OBO·O，即I1>I3，∴I3

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