高考全国一卷理科数学答案解析与解析

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高考全国一卷理科数学答案解析与解析

‎ ‎ ‎2018年普通高等学招生全国统一考试(全国一卷)理科数学 参考答案与解析 一、选择题:本题有12小题,每小题5分,共60分。‎ ‎1、设z=,则|z|=‎ A、0‎ B、‎ C、1‎ D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可得,所以|z|=1‎ ‎【考点定位】复数 ‎2、已知集合A={x|x2-x-2>0},则A=‎ A、{x|-12}‎ D、{x|x-1}∪{x|x2}‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可得CRA={x|x2-x-2≤0},所以{x|-1x2}‎ ‎【考点定位】集合 ‎3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:‎ 则下面结论中不正确的是:‎ A、新农村建设后,种植收入减少。‎ B、新农村建设后,其他收入增加了一倍以上。‎ C、新农村建设后,养殖收入增加了一倍。‎ D、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】由题可得新农村建设后,种植收入37%*200%=74%>60%,‎ ‎【考点定位】简单统计 ‎4、记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=‎ A、-12‎ B、-10‎ C、10‎ D、12‎ ‎【答案】B ‎【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d)(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d),整理得:‎ ‎2d+3a1=0 ; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10‎ ‎【考点定位】等差数列求和 ‎5、设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:‎ A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x ‎【答案】D ‎【解析】f(x)为奇函数,有f(x)+f(-x)=0整理得:‎ f(x)+f(-x)=2*(a-1)x2=0 ∴a=1‎ f(x)=x3+x 求导f‘(x)=3x2+1‎ f‘(0)=1 所以选D ‎【考点定位】函数性质:奇偶性;函数的导数 ‎6、在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=‎ A、--‎ B、--‎ C、-+‎ D、-‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】AD为BC边∴上的中线 AD=‎ E为AD的中点∴AE=‎ EB=AB-AE=‎ ‎【考点定位】向量的加减法、线段的中点 ‎7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为11A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为 A、‎ B、‎ C、3‎ D、2‎ ‎【答案】B A A ‎【解析】将圆柱体的侧面从A点展开:注意到B点在圆周处。‎ B ‎∴最短路径的长度为AB=‎‎2‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎ ‎【考点定位】立体几何:圆柱体的展开图形,最短路径 ‎8.设抛物线C:y²=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=‎ ‎ A.5‎ ‎ B.6‎ ‎ C.7‎ ‎ D.8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 抛物线C:y²=4x的焦点为F(1,0)‎ 直线MN的方程:‎ 消去x整理得:y2-6y+8=0 ∴y=2 或y=4‎ M、N的坐标(1,2),(4,4)‎ 则·=(0,2)·(3,4)=0*3+2*4=8‎ ‎【考点定位】抛物线焦点向量的数量积 如果消去X,计算量会比较大一些,您不妨试试。‎ ‎9.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 ‎ A. [-1,0)‎ ‎ B. [0,+∞)‎ ‎ C. [-1,+∞)‎ ‎ D. [1,+∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据题意:f(x)+x+a=0 有两个解。令M(x)=-a,‎ N(x)=f(x)+x =‎ex‎+x x≤0‎lnx+x x>0‎ 分段求导:N‘(x)=f(x)+x =ex‎+1>0 x≤0‎‎1‎x‎+1>0 x>0‎说明分段是增函数。考虑极限位置,图形如下:‎ M(x)=-a在区间(-∞,+1]上有2个交点。‎ ‎∴a的取值范围是C. [-1,+∞)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法 ‎10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为。直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则 A. p1=p2‎ B. p1=p3‎ C. p2=p3‎ D. p1=p2+p3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 整个区域的面积: S1+S半圆BC=S半圆AB+S半圆AC+S△ABC 根据勾股定理,容易推出S半圆BC=S半圆AB+S半圆AC ‎∴S1=S△ABC故选A ‎【考点定位】古典概率、不规则图形面积 ‎11.已知双曲线C: -y²=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则∣MN∣=‎ ‎ A.‎ ‎ B.3‎ ‎ C.‎ ‎ D.4‎ M F N o ‎【答案】B ‎【解析】‎ 右焦点,OF=‎3+1‎==2,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 渐近线方程y=‎±‎‎3‎‎3‎x∴∠NOF=∠MOF =30°‎ 在Rt△OMF中,OM=OF*cos∠MOF=2*cos=30°‎‎3‎ 在Rt△OMN中,MN=OM‎*‎tan∠‎NOM=‎3‎*tan‎(30°+30°)‎=3‎ ‎【考点定位】双曲线渐近线、焦点 概念清晰了,秒杀!有时简单的“解三角”也行,甚至双曲线都不用画出来。如果用解方程,计算量很大。‎ ‎12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ‎ A. ‎ ‎ B.‎ ‎ C.‎ ‎ D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图平面α截正方体所得截面为正六边形,此时,截面面积最大,其中边长GH=‎‎2‎‎2‎ 截面面积S=6×‎3‎‎4‎×(‎2‎‎2‎)2=‎ ‎【考点定位】立体几何 截面 ‎【盘外招】交并集理论:ABD交集为‎3‎,AC交集为‎3‎‎4‎,选A 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13.若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.‎ ‎【答案】6 ‎ ‎【解析】‎ 当直线z=3x+2y经过点(2,0)时,Zmax=3*2+0=6‎ ‎【考点定位】线性规划(顶点代入法)‎ ‎14.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.‎ ‎【答案】-63‎ ‎【解析】‎ S1=2a1+1=a1 ∴a1=-1‎ n>1时,Sn=2an+1,Sn-1=2an-1+1 两式相减:Sn-Sn-1=an=2an-2an-1∴an=2an-1‎ an=a1×2n-1= (-1)×2n-1‎ ‎∴S6=(-1)×(26-1)=-63‎ ‎ 【考点定位】等比数列的求和 ‎15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ C‎2‎‎1‎C‎4‎‎2‎‎+‎C‎2‎‎2‎C‎4‎‎1‎‎=2‎×‎6+1‎×4‎=16‎ ‎【考点定位】排列组合 ‎16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是.‎ ‎【答案】‎‎-3‎‎3‎‎2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】‎ f(x)=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx)‎ 考虑到f(x)为奇函数,可以求f(x)最大值.将f(x)平方:‎ f2(x)=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3≧(4/3)‎×((‎3-3cosx)‎+‎3(1+cosx))/4)4=‎×‎()4=‎ 当3-3cosx=1+cosx 即cosx‎=‎‎1‎‎2‎时,f2(x)取最大值 f(x)min=‎‎-3‎‎3‎‎2‎ ‎【考点定位】三角函数的极值,基本不等式的应用 ‎【其他解法】:1.求导数解答 ‎ ‎       2.f(x)=2sinx(1+cosx)看成单位圆中一个三角形面积求解。‎ 三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)‎ 在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.‎ ‎(1)求cos∠ADB;‎ ‎(2)若DC=,求BC.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得BDsin∠A‎=‎ABsin∠ADB ‎∴sin∠ADB =ABsin∠ADB/BD=‎‎2‎‎5‎ 由题设可知,∠ADB<90°∴cos∠ADB=‎1-‎‎2‎‎25‎=‎‎23‎‎5‎ ‎(2)由题设及(1)可知cos∠BDC= sin∠ADB=‎‎2‎‎5‎ 在△BCD中,由余弦定理得 ‎ ‎ ‎ ‎ BC2=BD2+DC2-2BD‎×‎DC‎×‎cos∠BDC ‎=25+8-2‎×‎5‎××‎‎2‎‎5‎=25‎ ‎∴BC=5‎ ‎【考点定位】正弦定理余弦定理 ‎18.(12分)‎ 如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把∆DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.‎ ‎(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;‎ ‎(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】(1)由已知可得PF⊥BF ,BF⊥EF∴BF⊥平面PEF 又BF在平面ABFD上∴平面PEF⊥平面ABFD ‎(2)PH⊥EF,垂足为H,由(1)可得,PH⊥平面ABFD∴DP与平面ABFD所成角就是∠PDH.‎ CD2=PD2=DH2+PH2=DE2+EH2+PH2=DE2+(EF-HF)2+PH2‎ CF2=PF2=HF2+PH2‎ 设正方形ABCD的边长为2.上面两个等式即是:‎ ‎22=12+(2-HF)2+PH2‎ ‎12=HF2+PH2‎ ‎∴解方程得HF=‎1‎‎2‎ PH=‎‎3‎‎2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在Rt△PHD中,sin∠PDH=PH/PD=‎3‎‎2‎/2=‎3‎‎4‎.‎ ‎【考点定位】立体几何点、直线、面的关系 ‎19.(12分)‎ 设椭圆C: +y²=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).‎ ‎(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)由已知可得F(1,0),直线l的方程为x=1‎ 由已知可得,点A的坐标为(1,‎2‎‎2‎)或(1,—‎2‎‎2‎)‎ ‎∴直线AM的方程为y=—‎2‎‎2‎x+‎2‎或y=‎2‎‎2‎x—‎‎2‎ ‎(2)当l与x轴重合,.∠OMA=∠OMB=00‎ 当l与x轴垂直,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB 当l与x轴不重合且不垂直,设直线l的方程为y=k(x-1) (k≠0)‎ 点A(x1,y1),B(x2,y2) ,x1<2,X2<2,则直线MA、MB的斜率之和 KMA+KMB=y1‎x1-2‎+y2‎x2-2‎=k(x1-1)‎x1-2‎+k(x2-1)‎x2-2‎=‎‎2kx1x2-3kx1+x2‎+4k‎(x1-2)(x2-2)‎ 将y=k(x-1)代入椭圆C的方程得:(2k2+1)x2-4k2x+(2k2-2)=0‎ x1∴+x2=‎4‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎,x1x2=‎‎2k‎2‎-2‎‎2k‎2‎+1‎ ‎2kx1x2-3kx1+x2‎+4k‎=‎‎4k‎3‎-4k-12k‎3‎+8k‎3‎+4k‎2k‎2‎+1‎‎=0‎ 从而KMA+KMB=0 MA、MB的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB 综上所述,∠OMA=∠OMB ‎【考点定位】圆锥曲线 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20、(12分)‎ 某工厂的某、种、产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件产品作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验,设每件产品为不合格品的k概率都为P(0400,∴应该对这箱余下的所有产品作检验。‎ ‎【考点定位】随机变量及分布:二项分布最值(基本不等式)、数学期望 ‎21、(12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)若存在两个极值点, ,证明: .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)‎ f’(x)=-‎1‎x‎2‎‎-1+‎ax=-‎x‎2‎‎-ax+1‎x‎2‎ ‎△=a2-4‎ ‎(i)若a≤2,则f’(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f’(x)=0,∴f(x)在(0,+∞)单调递减。‎ ‎(i)若a>2,令f’(x)=0得到,‎x=‎a±‎a‎2‎‎-4‎‎2‎ 当x∈(0,a-‎a‎2‎‎-4‎‎2‎)∪(a+‎a‎2‎‎-4‎‎2‎,+∞)时,f’(x)<0‎ 当x∈(a-‎a‎2‎‎-4‎‎2‎,a+‎a‎2‎‎-4‎‎2‎)时,f’(x)>0‎ ‎∴f(x)在x∈(0,a-‎a‎2‎‎-4‎‎2‎),(a+‎a‎2‎‎-4‎‎2‎,+∞)单调递减,在(a-‎a‎2‎‎-4‎‎2‎,a+‎a‎2‎‎-4‎‎2‎)单调递增。‎ ‎(2)由(1)可得f(x)存在2个极值点当且仅当a>2‎ 由于f(x)的极值点x1,x2满足x2-ax+1=0 所以x1x2=1 不妨设x11 由于 fx1‎-f(x2)‎x1-x2‎‎=‎1‎x1x2‎-1+alnx1-Lnx2‎x1-x2‎=-2+alnx1-Lnx2‎x1-x2‎=-2+a‎-2Lnx2‎‎1/x2-x2‎ 等价于‎1‎x2‎‎-x2+2lnx2<0‎ 设g(x)=‎1‎x‎-x+2lnx由(1)可知g(x)在(0,+∞)单调递减,又g(1)=0,从而当x∈(1,+∞)时g(x)<0‎ ‎∴‎1‎x2‎‎-x2+2lnx2<0‎即 ‎【考点定位】函数导数的应用 ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22. [选修4-4:坐标系与参数方程]、(10分)‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C₁的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C₂的极坐标方程为p²+2p-3=0.‎ (1) 求C₂的直角坐标方程:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (1) 若C₁与C₂有且仅有三个公共点,求C₁的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)由x=cosθ,y=sinθ得到C₂的直角坐标方程:‎ x2+y2+2x-3=0 即(x+1)2+y2=4‎ ‎(2)由(1)可知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆。‎ 由题设可知,C1是过点B(0,2)且关于Y轴对称的两条射线,且 C1:=‎kx+2 x>0‎‎-kx+2 x≤0‎ 显然,K=0时,C1与C2相切,只有一个交点。‎ K>0时,C1与C2没有交点。‎ ‎∴C1与C2有且仅有三个交点,则必须满足K<0且y=kx+2(x>0)与C2相切,圆心到射线的距离d=‎|-k+2|‎k‎2‎‎+1‎‎=2‎故K=-4/3或K=0.‎ 经检验,因为K<0,所以K=-4/3。‎ 综上所述,所求 C₁的方程y=-‎4‎‎3‎∣x∣+2.‎ ‎【考点定位】极坐标与参数方程直线与圆的关系 ‎23. [选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知f(x)=∣x+1∣-∣ax-1∣.‎ (1) 当a=1时, 求不等式f(x)﹥1的解集;‎ (2) 当x∈(0,1)时不等式f(x)﹥x成立,求a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)当a=1时, f(x)=∣x+1∣-∣x-1∣=‎‎-2 x≤-1‎‎2x -11‎ ‎∴不等式f(x)﹥1的解集为{x|x>‎1‎‎2‎}‎ ‎(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)=∣x+1∣-∣ax-1∣﹥x成立,等价于∣ax-1∣<1成立 若a≤0,当x∈(0,1)时∣ax-1∣≧1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 若a>0,当x∈(0,1)时∣ax-1∣<1的解集为0=1 故0
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