【数学】2019届一轮复习北师大版2-8 函数与方程学案
§2.8 函数与方程
最新考纲
考情考向分析
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
知识拓展
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( √ )
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)
0
且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数，
∴f(x)的零点在区间(2,3)内．
3．[P88例1]若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
答案 2
解析 由于ln 21，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.
4．[P92A组T4]函数f(x)＝－x的零点个数为________．
答案 1
解析 作函数y1＝和y2＝x的图象如图所示，
由图象知函数f(x)有1个零点．
题组三 易错自纠
5．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则( )
A．x11时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)只有1个零点．
7．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 ∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得
f(－1)f(1)<0，∴(－3a＋1)·(1－a)<0，
解得0，
∴f(1)·f(2)<0，
∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数，
∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．
2．若a0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．
因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.
3．设函数y1＝x3与y2＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是______．
答案 (1,2)
解析 令f(x)＝x3－x－2，则f(x0)＝0，易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0，
∴x0所在的区间是(1,2)．
思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理；
(2)数形结合法．
题型二 函数零点个数的判断
典例 (1)函数f(x)＝的零点个数是________．
答案 2
解析 当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即0是函数f(x)的一个零点，
当x>0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，
分别画出函数y1＝ex和y2＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数f(x)
有一个零点，
根据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.
思维升华 函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点；
(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数；
(3)利用函数图象的交点个数判断．
跟踪训练 (1)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2 C．7 D．0
答案 B
解析 方法一 由f(x)＝0得
或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
方法二 函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．
(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________．
答案 2
解析 由f(x)＝0，得|log0.5x|＝x，
作出函数y1＝|log0.5x|和y2＝x的图象，
由上图知两函数图象有2个交点，
故函数f(x)有2个零点．
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
典例 已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________________．
答案 (0,1)∪(9，＋∞)
解析 设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，
在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示．
由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，
所以有两组不同解，
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，
所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，
解得a<1或a>9.
又由图象得a>0，∴09.
引申探究
本例中，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________________．
答案
解析 作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如图所示．
当x＝－时，y1＝；当x＝0或x＝－3时，y1＝0，
由图象易知，当y1＝|x2＋3x|和y2＝a的图象有四个交点时，00，解得a<－1或a>.
(2)已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是( )
A．[0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)
答案 D
解析 函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝的大致图象(图略)．
观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．
命题点3 根据零点的范围求参数
典例 若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是__________．
答案
解析 依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足
即
解得0)，
则a＝－＝－
＝2－，其中t＋1>1，
由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，
当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.
答案 (1)(－1,0) (2)(－∞，2－2]
1．设函数f(x)＝ex＋x－4，则f(x)的零点位于区间( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
答案 C
解析 f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0.故f(x)的零点位于区间(1,2)．
2．已知a是函数f(x)＝2x－的零点，若00
C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定
答案 C
解析 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，若00时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.
5．(2017·山东)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞)
C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞)
答案 B
解析 在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m22与g(x)＝＋m的大致图象．
分两种情形：
(1)当0＜m≤1时，≥1，如图①，当x∈[0,1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．
(2)当m＞1时，0＜＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．
6．函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是________．
答案 2
解析 函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数，即为函数y1＝ln(x＋1)(x>－1)与y2＝x－1(x>
－1)图象的交点个数．
在同一坐标系内分别作出函数y1＝ln(x＋1)(x>－1)与y2＝x－1(x>－1)的图象，如图所示，
由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2.
7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________________．
答案
解析 ∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知∴
∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，
即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，
解集为.
8．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,1]
解析 当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以00时，f(x)＝2 015x＋log2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．
答案 3
解析 因为函数f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，
因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．
根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，
从而函数f(x)在R上的零点个数为3.
10．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
答案 －
解析 函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.
11．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解 显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，
00)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当01，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则＋的最小值为________．
答案 1
解析 设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，
则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m>0，n>0)．
因为F(x)与G(x)关于直线y＝x对称，
所以A，B两点关于直线y＝x对称．
又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，
所以m＋n＝4.又m>0，n>0，
所以＋＝·
＝≥＝1.
当且仅当＝，即m＝n＝2时等号成立．
所以＋的最小值为1.
16．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为________．
答案
解析 函数f(x)的图象如图所示．
而F(x)的零点即函数f(x)的图象与直线y＝交点的横坐标x1，x2，x3，x4，x5，又x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，故函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和就是x3，又x3＝，故F(x)的所有零点之和为.
