【数学】2019届一轮复习北师大版第4章三角函数解三角形专题探究课2学案

【数学】2019届一轮复习北师大版第4章三角函数解三角形专题探究课2学案

高考导航　1.三角函数与解三角形是高考的热点题型，从近五年的高考试题来看，呈现较强的规律性，每年的题量和分值要么三个小题15分，要么一个小题一个大题17分，间隔出现；2.该部分常考查的内容有 (1)三角函数的图像与性质；‎ ‎(2)三角恒等变换与诱导公式；(3)利用正弦定理和余弦定理解三角形；3.在解题过程中，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.‎ 热点一　解三角形(教材VS高考)‎ 高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合应用为主.其命题规律可以从以下两方面看 (1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.‎ ‎【例1】 (满分12分)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C；‎ ‎(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长.‎ 教材探源　本题第(1)问源于教材必修5P20B组1且相似度极高，本题第(2)问在第(1)问的基础上进行拓展，考查正弦定理、余弦定理的应用.‎ 满分解答　(1)因为△ABC面积S＝，‎ 且S＝bcsin A，1分　(得分点1)‎ 所以＝bcsin A，‎ 所以a2＝bcsin2A.2分　(得分点2)‎ 由正弦定理得sin2A＝sin Bsin Csin2A，‎ ‎4分　(得分点3)‎ 因为sin A≠0，所以sin Bsin C＝.‎ ‎5分　(得分点4)‎ ‎(2)由(1)得sin Bsin C＝，cos Bcos C＝.‎ 因为A＋B＋C＝π，‎ 所以cos A＝cos(π－B－C)＝－cos(B＋C)‎ ‎＝sin Bsin C－cos Bcos C＝，7分　(得分点5)‎ 又A∈(0，π)，所以A＝，sin A＝，cos A＝，‎ ‎8分　(得分点6)‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝9，　①9分　(得分点7)‎ 由正弦定理得b＝·sin B，c＝·sin C，‎ 所以bc＝·sin Bsin C＝8，　②‎ ‎10分　(得分点8)‎ 由①②得 b＋c＝，11分　(得分点9)‎ 所以a＋b＋c＝3＋，即△ABC周长为3＋.‎ ‎12分　(得分点10)‎ ‎　‎ ‎❶得步骤分 抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”.在第(1)问中，写出面积公式，用正弦定理求出结果.第(2)问中，诱导公式→恒等变换→余弦定理→正弦定理→得出结果.‎ ‎❷得关键分 (1)面积公式，(2)诱导公式，(3)恒等变换，(4)正弦定理，(5)余弦定理都是不可少的过程，有则给分，无则没分.‎ ‎❸得计算分 解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点5)，(得分点6)，(得分点9)，(得分点10).‎ ‎ 利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤 第一步 找条件 寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.‎ 第二步 定工具 根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化.‎ 第三步 求结果 根据前两步分析，代入求值得出结果.‎ 第四步 再反思 转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.‎ ‎【训练1】 (2018·西安测试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B－cos2C－sin2A＝sin Asin B.‎ ‎(1)求角C；‎ ‎(2)(一题多解)若c＝2，△ABC的中线CD＝2，求△ABC的面积S的值.‎ 解　(1)由已知得sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理可得cos C＝＝－.‎ ‎∵0b＝，∴a＋c∈(，2].‎ 即a＋c的取值范围是(，2].‎ 探究提高　向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.‎ ‎【训练3】 已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝(cos 2B，2cos2－1)，B为锐角且m∥n.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值.‎ 解　(1)∵m∥n，‎ ‎∴2sin B＝－cos 2B，‎ ‎∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.‎ 又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，‎ ‎∴2B＝，∴B＝.‎ ‎(2)∵B＝，b＝2，‎ 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，‎ 得a2＋c2－ac－4＝0.‎ 又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4，‎ 故S△ABC＝acsin B＝ac≤，‎ 当且仅当a＝c＝2时等号成立，‎ 即S△ABC的最大值为.‎ ‎1.(2017·昆明诊断) 函数f(x)＝3sin的部分 图像如图所示.‎ ‎(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间上最大值和最小值.‎ 解　(1)由题得，f(x)的最小正周期为π，y0＝3.‎ 当y0＝3时，sin＝1，‎ 由题干图像可得2x0＋＝2π＋，‎ 解得x0＝.‎ ‎(2)因为x∈，‎ 所以2x＋∈.‎ 于是 当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；‎ 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.‎ ‎2.(2017·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝(a2－b2－c2).‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)求sin(2B－A)的值.‎ 解　(1)由asin A＝4bsin B及＝，得a＝2b.‎ 由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，得cos A＝＝＝－.‎ ‎(2)由(1)，可得sin A＝，代入asin A＝4bsin B，得sin B＝＝.‎ 由(1)知，A为钝角，所以cos B＝＝.于是sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sin2B＝，故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A ‎＝×－×＝－.‎ ‎3.(2018·湖南湘中名校联考)已知函数f(x)＝cos (cos ＋sin ).‎ ‎(1)求f(x)的最小值；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(C)＝1，S△ABC＝，c＝，求△ABC的周长.‎ 解　(1)f(x)＝cos (cos ＋sin )＝cos2x＋sin cos ＝＋sin 2x＝＋sin.‎ 当sin＝－1时，f(x)取得最小值－.‎ ‎(2)f(C)＝＋sin＝1，∴sin＝，‎ ‎∵C∈(0，π)，2C＋∈，∴2C＋＝，∴C＝.‎ ‎∵S△ABC＝absin C＝，∴ab＝3.‎ 又(a＋b)2－2abcos ＝7＋2ab，‎ ‎∴(a＋b)2＝16，即a＋b＝4，∴a＋b＋c＝4＋，‎ 故△ABC的周长为4＋.‎ ‎4.(2017·合肥质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝，n＝(cos C，cos A)，且n·m＝bcos B.‎ ‎(1)求角B的值；‎ ‎(2)若cos＝sin A，且|m|＝，求△ABC的面积.‎ 解　(1)由m·n＝bcos B，得cos C＋cos A＝bcos B，‎ sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B，‎ 即sin(A＋C)＝2sin Bcos B，sin B＝2sin Bcos B，‎ ‎∵0

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