备战高考函数导数与定积分专题

备战高考函数导数与定积分专题

备战2012年高考：函数、导数与定积分专题 大同一中 董凯 一、2011年全国各省高考函数题横向分析 ‎(一) 命题特点 ‎1.题量分布大 在调查的35份试题来看，几乎每一套题的每一种题型中，都包含有函数题目.平均而言，每套试卷中，选择、填空共有2~3道函数题目，解答约1道函数题目.‎ ‎2. 文理科差异明显 尽管从题量上看，文理大致相同，但从内容看，文理相同题相对很少(仅有江苏完全相同)，甚至相似题也不多，而大多数题目都是相异题.而相同相似题较多的考卷中，也是大纲考区居多，可见，新课标地区，文理题目差异的增大已经成为一种趋势.‎ ‎3. 题型的分值分布差异小 在选择填空题目中，函数题目的分数由5~28分不等，平均约12.8分左右，在解答题中，函数题目的分值0~30分不等，平均在14.6分上下.‎ 从文理差异来看，选择、填空、解答三种题型在分值上差异不大，理科比文科略大，除广东卷文理有一道大题的差异外，其他试卷差异都没有超过试卷总分的6%，而文理科总体差异也仅有0.15%而已.‎ ‎4. 考查知识点的分值分布差异大 ‎ 函数专题包含着丰富的内容，在这里，从考查知识点的差异，分19个方面进行整理，分别是(1)求函数的解析、计算函数值；(2)求函数定义域；(3)求函数的值域、极值或最值；(4)函数单调性；(5)函数奇偶性；(6)函数周期性；(7)零点所在区间；(8)函数的图像与图像变换；(9)定积分；(10)分段函数；(11)复合函数；(12)对数的运算性质；(13)导数、变化率与切线；(14)解不等式问题；(15)求参变量的取值范围；(16)反函数；(17)函数极限；(18)新题型；(19)函数与非函数知识的综合题.‎ 考查知识点 全国课标 全国大纲 安徽 北京 重庆 福建 广东 湖北 湖南 江苏 江西 辽宁 山 东 陕西 上海 四川 天津 浙江 总计 比例 求解析式、函数值 ‎10‎ ‎15‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎4‎ ‎78‎ ‎7.91%‎ 计算定义域 ‎5‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎21‎ ‎2.13%‎ 值域、极值、最值 ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎17‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎32‎ ‎28‎ ‎15‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎9.5‎ ‎205.5‎ ‎20.84%‎ 函数单调性 ‎5‎ ‎6‎ ‎17‎ ‎7.5‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎21‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎18‎ ‎4‎ ‎14‎ ‎3‎ ‎134.5‎ ‎13.64%‎ 函数奇偶性 ‎7.5‎ ‎5‎ ‎7.5‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎2.5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎66.5‎ ‎6.74%‎ 函数周期性 ‎2.5‎ ‎5‎ ‎2.5‎ ‎2.5‎ ‎4‎ ‎16.5‎ ‎1.67%‎ 零点存在问题 ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎10.5‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎40.5‎ ‎4.11%‎ 函数图象 ‎5‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎2.5‎ ‎2.5‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎2.5‎ ‎52.5‎ ‎5.32%‎ 定积分 ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎2.5‎ ‎17.5‎ ‎1.77%‎ 分段函数 ‎2.5‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎2.5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎40‎ ‎4.06%‎ 复合函数 ‎2.5‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎12‎ ‎1.22%‎ 对数的运算性质 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎1.01%‎ 导数、切线问题 ‎12‎ ‎11‎ ‎17‎ ‎7‎ ‎11‎ ‎5‎ ‎7.5‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎104.5‎ ‎10.60%‎ 解不等式 ‎2.5‎ ‎2.5‎ ‎7.5‎ ‎13‎ ‎25.5‎ ‎2.59%‎ 参量取值范围 ‎6‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎16‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎16‎ ‎77‎ ‎7.81%‎ 反函数 ‎10‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎23‎ ‎2.33%‎ 函数极限 ‎5‎ ‎5‎ ‎0.51%‎ 新题型 ‎10‎ ‎2.5‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎32.5‎ ‎3.30%‎ 综合题 ‎6‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎24‎ ‎2.43%‎ 合计 ‎54‎ ‎49‎ ‎50‎ ‎51‎ ‎50‎ ‎57‎ ‎39‎ ‎71‎ ‎64‎ ‎80‎ ‎45‎ ‎49‎ ‎71‎ ‎63‎ ‎52‎ ‎51‎ ‎38‎ ‎52‎ ‎986‎ ‎100%‎ ‎(注：表格中数据单位大都为：分，仅有“比例”一栏中，单位为：1)‎ ‎(注：为保证各套试题权重相当，江苏卷等重复题目每一道计两次分)‎ ‎(注：有些题目涉及到两个或多个知识点，此时将此题目的分值等分给这两个知识点，或多个知识点中最重点考查的两个知识点)‎ 从以上表格和条形图中不难看出，函数专题包含知识点很多，分布也比较分散，但其中有几个项目相对比较突出，它们分别是：值域、极值与最值(20.84%),函数单调性(13.64%)，导数、切线问题(10.60%)，求解析式、函数值(7.91%),求参量取值范围(7.81%).其中“求函数的值域、极值与最值”是唯一一个在所有地区中均出现的知识点.‎ ‎5.以中难题目为主 难度的计算本应该由考生的得分率制定，但由于地域限制，难以实现，故只得简单化，这里列出的难易度都是笔者自己的观点，仅供参考.‎ 难易度合计(文+理)‎ 压轴题合计(文+理)‎ 简单 中档 较难 选择 填空 解答 ‎176‎ ‎521‎ ‎289‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎13‎ ‎17.85%‎ ‎52.84%‎ ‎29.31%‎ ‎33.33%‎ ‎16.67%‎ ‎36.11%‎ ‎(注：江苏卷按两套相同卷处理，即“江苏卷文=江苏卷理”)‎ 由表格可知，函数题目覆盖易中难各个难度层次，而且中难题目偏多，易中难比例约为2:5:3.从分值上看文理科大致相同，考查知识点也比较相近，但从内容上看，理科比文科要难一些，从相似题的差异可以看得十分明显，例如全国课标卷，同样要证明函数大于某某，理科中待证明的“某某”就比文科要略大一些，并带有参变量.相对于其他专题，函数题中难题的比例较大，这其中很重要的一个原因就是函数题在选择、填空、解答题中压轴题的比例都比较大，在11年的高考选择、解答压轴中，函数题约占三分之一.‎ ‎(二) 新题扫描 ‎1.新型运算或定义，考查学生获得新知运用新知的能力 此类题目给人的第一印象是情境新颖，但考察的依然学生对基本知识、技能的掌握程度，这新与旧之间的桥梁就是化归思想.学生通过转化将新颖的问题转化为熟悉的问题，达到解决问题的目的.因此这类题型不但考查了学生阅读获取信息的能力，运用新知识解决问题的能力，更考察了学生化归求解的思想方法.‎ 例1： (广东文数10)设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数和；对任意x ∈，（f g）（x）=；（f·g）（x）=.则下列恒等式成立的是 A．（（f g）·h）（x）=（（f·h）（g·h））（x）‎ B．（（f·g）h）（x）=（（f h）·（gh））（x）‎ C．（（f g）h）（x）=（（f h）（gh））（x）‎ D．（（f·g）·h）（x）=（（f·h）·（g·h））（x）‎ 答案:B 解法一：选项A中，左边等于，而右边等于，两者不恒相等；选项B中，左边等于，右边等于，两者恒相等；选项C中，左边等于，右边等于，两者不恒相等；选项D中，左边等于，而右边等于，两者不恒相等.‎ 解法二(特值法)：令，，，将四个选项依次检验，分别有如下结论：A.，B.，C.，D.，显然仅有B选项正确.‎ 点评：本题通过“定义新运算”(实质上就是普通乘法和函数间的复合运算)考查了学生的运算能力和阅读理解能力，文理兼备，较为新颖，不过运算量偏大，学生理解起来需要费些功夫，难度偏难.‎ 例2：(四川理数16)函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：‎ ‎①函数是单函数；‎ ‎②若为单函数，且，；‎ ‎③若为单函数，则对于任意，它至少有一个原象；‎ ‎④函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数.‎ 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）‎ 答案：②③‎ 解析：当时，不妨设，有，，此时，故①不正确；由总有知，当时，，故②正确；若，有两个原象时，不妨设为，可知但，与题中条件矛盾，故③正确；函数在某区间具有单调性时，在整个定义域不一定单调，因而 不一定是单函数，故④不正确.故正确答案为②③.‎ ‎ 点评：本题目实质上给出了单射映射的定义，考查了学生接受新定义的能力(这一能力的培养对学生即将开始的大学学习具有重要的意义)，一旦学生接受了“单函数”这一定义，本题目很快就迎刃而解了，①的反例很容易想到，④只要把握“某区间”与题干中的“定义域”二者的区别，也不难排除.‎ ‎2.注重细节，考查学生敏锐的观察能力、严谨的思维能力 解决数学问题时，元认知监控能力起着重要的作用.学生选择了一种求解方法，在求解过程中，如果能有意识的与题干、选项比对，观察分析，几时调整求解方向，那么就可以顺利地求解题目.‎ 例3：(福建理数09)对于函数(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是 A.4和6 B.3和‎1 C.2和4 D.1和2‎ 答案：D 解析：因为，，且是整数，所以是偶数，在选项中，只有D选项两个数的和为奇数，不可能是D 点评：本题新颖之处在于考查学生捕捉细节条件的能力和对数字的敏锐感觉，如果发现这个题目当中与众不同的细节(与的取值范围不同)，应不难解决.‎ 例4：（浙江理数10）设a，b，c为实数，，.记集合S=,.若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是 ‎ A．=1且=0 B． ‎ C．=2且=2 D． =2且=3‎ 答案：D 解析：取，，，则，，，。因此A可能成立。取，，，则，，，。因此B可能成立。取，，，则，，，。因此C可能成立。答案选D.‎ 点评：本题通过集合与函数的语言，重点考查了三次方程的根的情况，表达方式较新颖，学生在解答时，需要较强的“翻译”语言能力，及思维缜密的良好品质，否则很容易错选成其他选项.‎ ‎3.选用适当载体，考查应用能力和阅读能力 联系实际是新课程倡导的，与实际生活联系得比较紧密，在考查学生阅读、理解、运算能力的同时，也使学生增长了见闻，开拓了视野.‎ 例5：(湖北理数10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：，其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是‎-10In2（太贝克／年），则M（60）=‎ A.5太贝克 B‎.75In2太贝克 C‎.150In2太贝克 D.150太贝克 答案：D 解析：因为，所以，所以，所以，所以(太贝克)。‎ 点评：本体题选择的实际背景接近理科生知识背景，学生容易接受，虽然阅读量比较大，但是学生并不会因此产生畏惧感，并且在实际情境中巧妙地考查了变化率问题与待定系数法.‎ ‎4.构造新函数，考查学生思维的灵活性和综合应用能力 将基本知识综合，构造新的问题，可考查学生综合运用基本知识和技能的能力.‎ 例6：（天津理数08）对实数和，定义运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 ‎ A． 　　　 B． ‎ C． 　　　 D． 图1‎ 答案：B.‎ 解析：由已知得，如图1，要使与轴恰有两个公共点，则或，应选B 点评：本题目综合性较强，将定义新运算、分类讨论、分段函数、函数图像、解二次不等式等多方面内容融合在一起，考验学生综合运用知识的能力，同时出现了不连续函数，同时考验了学生的胆魄和自信，实在一举多得，能将此题顺利拿下的学生一定具有相当的数学功底.‎ ‎5.突出导函数与原函数图像关系，考查数形结合分析问题的能力 新课程中特别强调函数及其导函数图象之间的关系，利用两者的图象数形结合地解决问题是新课标教材中的一大亮点，高考试题中也体现了这一特点.‎ 例7：（全国课标卷理数21）已知函数，曲线在点处的切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ ‎（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。‎ 解法一：略。‎ 点评：本题第2问，将问题转化为当x>0，且x≠1时，>0，求k的取值范围。又可知当x∈(0，1)时，>0；当x∈(1，+∞)时，<0。令h(x)= ，欲使g(x)>0，需要当x∈(0，1)时，h(x)>0，当x∈(1，+∞)时，h(x)<0。又h(1)=0。于是可以画出函数h(x)的草图，即x∈(0，1)时，h(x)的图象位于x轴的上方，当x∈(1，+∞)时，h(x) 的图象位于x轴的下方，并与x轴交于点（1,0），所以猜想其单调性应该是单调递减，所以其导函数图象位于x轴下方，即h¢(x)<0。这 是求解的关键，而突破口就是函数与其导函数图象之间的关系，可见充分应用数形结合的好处。进一步，又可得h¢(x)=，所以原问题转化为当x>0，且x≠1时，<0。分类讨论可得：当k=时，不满足条件。当k≠时，只能是解得k≤0。‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）略 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ‎ 考虑函数，‎ 则(考察分子二次函数的开口方向分类)‎ ‎（ⅰ）设（开口向上）.此时,而，故当时，，可得,与题设矛盾。‎ ‎（ⅱ）设（开口向下）‎ ① 当（即）‎ 时，。而，故 当时，，可得；‎ 当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0‎ 从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.‎ ‎②当（即）‎ ， 又，所以 x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。‎ ‎【或所以 x（，1）时，（k-1）（x2 +1）+2x >0,故,而h（1）=0，故当x（，1）时，h（x）<0，可得h（x）<0,与题设矛盾】。‎ ‎【或又，所以 x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故,而h（1）=0，取，，可得,与题设矛盾】。‎ 综合得，k的取值范围为（-，0]‎ 解法三：(1)略 ‎(2) 即证对任意恒成立，‎ 整理，分离变量得对任意恒成立，‎ 令，则即求在的下确界，‎ 而 前面因子正负已确定，故令，求导可得：‎ ，‎ ，‎ ，‎ 时，显然有，‎ 即在递增，而，所以时，时，‎ 于是在递减，在递增，所以，‎ 所以在递增，又，所以时，时，‎ 因此对于，当时，时，‎ 即当时递减，时递增，‎ 因此的下确界在处取得 由罗必达法则可计算得， 因此.‎ ‎(三) 题型归类及标准解法 ‎1.求函数解析式、计算函数值 此题型主要考查学生运算能力，通常是给出解析式和自变量，求函数值，学生只需代入计算即可，对于分段函数，则需要判断一下自变量所属的范围，对于已知奇偶性的函数，则可借助自变量相反数的函数值；还有一类题目，解析式中带有待定系数，此时只要代入题目中事先给出的数据，则可通过解方程(组)解出待定系数.此类题目通常难度偏低.‎ 例8：(湖南文数12)已知为奇函数，，，则________．‎ 答案：6‎ 解析：依题意，得，解得.‎ ‎2.计算定义域 ‎ 此类题型也属于基础题型，解法相对固定，难度不会太大.对于给出具体解析式的函数，求定义域只需注意以下六点即可：①分式的分母非零；②偶次开方的被开方数非负；③对数式中的真数为正；④零次幂的底数非零；⑤指对数的底为正切非一；⑥正切函数对应的角终边不落在轴.在具体题目中，根据以上6点要求列出不等式(组)，解之即可.‎ 例9：（江西理数03）若，则的定义域为 ( )‎ ‎ A. (,0) B. (,0] C. (,) D. (0,)‎ 答案： A ‎ 解析：，所以，所以 ‎3.函数的值域、极值、最值 ‎ 此类题目是高考函数的热点问题，11年高考中每套试卷中都有这类题目的影子，而此类题目难度覆盖层面较大，有易有难，主要取决于解析式的复杂程度.求值域的先决条件是已知定义域与解析式，这两项准备工作通常不难完成，甚至多数题目中条件会直接给出，关键是求值域的方法灵活多变，常见的方法有：单调性法，数形结合法(适合选择、填空题)、导数法(求出最值，值域的端点通常就是最值)，变形过程中还可能利用到分离常数、配方、换元等变形技巧.其中借助导数方法的较多(因为导数也是高考数学的一大热点)，这就要求学生对导数的应用非常熟练：导数的正负可以判断单调性；单调区间的交界处即极值点；极值点与端点合作可以找到最值点.‎ 例10：(湖南理数08)设直线与函数的图像分别交于点 ，则当达到最小时的值为（ ）‎ 图2‎ A．1 B． C． D． 答案：D 解析：由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出.‎ .‎ 当时，，可知在此区间内单调递减；‎ 当时，，可知在此区间单调递增.‎ 故当时，有最小值.选D.‎ 例11：(福建理数18)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中30时，的情况如下 X ‎(,k)‎ k ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ 所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k<0时，的情况如下 X ‎()‎ ‎(,k)‎ k ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是 ‎（Ⅱ）当k>0时，因为，所以不会有 当k<0时，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是 所以等价于 解得.‎ 故当时，k的取值范围是 ‎16.反函数 ‎17.函数极限 ‎18.综合题 此处的综合题指函数与非函数知识的综合题，各题目考查的知识点与题目难度因题而异.‎ 例32：（重庆理数10）设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为 ‎（A）-8 （B）8 (C)12 (D) 13‎ 图10‎ 答案：D 解析：方程在区间上有两个不同的根可转化为二次函数在区间 上有两个不同的零点，因为，故需满足将看做函数值，看做自变量，画出可行域如图10阴影部分所示，因为均为整数，结合可行域可知，时最小，最小值为13.‎ 点评：这是一道二次方程根的分布与规划问题的综合题.二次方程的根的分布问题主要通过三个方面来确定根的所属区间，即对称轴位置、根的判别式以及端点函数值的正负.此类问题种类偏多，学生不易记忆，且运算量相对较大，常与解不等式结合，难度较大.而本题目又和非线性规划紧密联系，对于学生的作图精确度要求颇高，题目难度较大.‎ 例33：（全国大纲理数22）‎ ‎（Ⅰ）设函数，证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明： 解析： (I) 所以在上单增，当时，。‎ ‎（II） 由(I)，当x<0时，,即有 故 于是,即.‎ 利用推广的均值不等式： 另解：，‎ 所以是上凸函数，于是 因此 ，‎ 故 综上： 点评：题目第一问考查用导数求函数最值，题型较常规，属于中档难度题.在第二问中，与概率、不等式联系起来，构成一道难度较大的综合题目，一二问之间的联系很隐蔽，对学生观察能力要求很高，解法二虽然没有借助第一问，但用到了多元的平均值不等式与凸函数的定义，超出了绝大多数学生的认知领域.‎ 二、2007~2011新课标全国卷(宁夏海南卷)高考函数题纵向分析 ‎(一) 命题特点 理科 文科 选择 填空 解答 总分 选择 填空 解答 总分 ‎2007‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎22‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎22‎ ‎2008‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎17‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎17‎ ‎2009‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎17‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎22‎ ‎2010‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎27‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎27‎ ‎2011‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎27‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎27‎ 文科 理科 选择 填空 解答 选择 填空 解答 ‎2007‎ Y ‎2008‎ ‎　‎ ‎　‎ Y ‎　‎ ‎　‎ Y ‎2009‎ Y ‎　‎ Y Y ‎　‎ Y ‎2010‎ Y ‎　‎ Y ‎　‎ ‎　‎ Y ‎2011‎ Y ‎　‎ Y Y ‎　‎ Y 合计 ‎3‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎(二) 考点分布 理 科 文 科 合计 比例 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ 求解析式、计算函数值 ‎　‎ ‎4‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎4‎ ‎　‎ ‎4‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎4‎ ‎16‎ ‎7.11%‎ 计算定义域 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎0‎ ‎0.00%‎ 函数的极值、最值 ‎9‎ ‎　‎ ‎10.5‎ ‎2.5‎ ‎　‎ ‎6‎ ‎　‎ ‎6.5‎ ‎2.5‎ ‎　‎ ‎37‎ ‎16.44%‎ 函数单调性 ‎3‎ ‎　‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2.5‎ ‎6‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎4‎ ‎10.5‎ ‎34‎ ‎15.11%‎ 函数对称性(含奇偶性)‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎　‎ ‎2.5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2.5‎ ‎2.5‎ ‎26.5‎ ‎11.78%‎ 函数周期性 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2.5‎ ‎2.5‎ ‎1.11%‎ 零点存在问题 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎2.22%‎ 函数图象 ‎　‎ ‎　‎ ‎2.5‎ ‎　‎ ‎2.5‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2.5‎ ‎　‎ ‎2.5‎ ‎10‎ ‎4.44%‎ 定积分 ‎　‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎10‎ ‎4.44%‎ 分段函数 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎0‎ ‎0.00%‎ 复合函数 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎0‎ ‎0.00%‎ 指对数的运算性质 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2.5‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2.5‎ ‎　‎ ‎5‎ ‎2.22%‎ 导数、切线问题 ‎5‎ ‎4‎ ‎　‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎42‎ ‎18.67%‎ 解不等式 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2.5‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2.5‎ ‎　‎ ‎5‎ ‎2.22%‎ 参量取值范围 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎　‎ ‎32‎ ‎14.22%‎ 反函数 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎0‎ ‎0.00%‎ 函数极限 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎0‎ ‎0.00%‎ 综合题 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎0‎ ‎0.00%‎ 新题型 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎0‎ ‎0.00%‎ 合计 ‎22‎ ‎17‎ ‎17‎ ‎27‎ ‎27‎ ‎22‎ ‎17‎ ‎22‎ ‎27‎ ‎27‎ ‎225‎ ‎100.00%‎ ‎(三) 历年考题(理)‎ ‎0710．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ).‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ‎0714．设函数为奇函数，则　　　　．‎ ‎0721．设函数 ‎(1) 若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；‎ ‎(2) 若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．‎ ‎0810．由直线，，曲线及x轴所围图形的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎0821．设函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎(1) 求的解析式：‎ ‎(2) 证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；‎ ‎(3) 证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．‎ ‎0912.用表示三数中的最小值，设,则的最大值为 A.4 B‎.5 C.6 D.7‎ ‎0921.已知函数 ‎(1) 如，求的单调区间；‎ ‎(2) 若在单调增加，在单调减少，证明＜6. ‎ ‎1003. 曲线在点（-1，-1）处的切线方程为 A. B. C. D. ‎1008. 设偶函数满足，则 A. B. C. D. ‎1011. 已知函数若互不相等，且则的取值范围是 A. B. C. D. ‎1021.设函数。‎ ‎(1) 若，求的单调区间；‎ ‎(2) 若当时，求的取值范围 ‎1102. 下列函数中，既是偶函数又在是单调递增的函数是( ).‎ A. B. C. D. ‎1109. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为( ).‎ A. B. C. D. ‎1112. 函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于( ).‎ A. B. C. D. ‎1121. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 如果当时，，求的取值范围.‎ 年份 答 案 ‎2007‎ ‎0710‎ D ‎0714‎ ‎-1‎ ‎0721‎ ‎(1)分别在单调增加，在单调减少．(2)存在极值时的取值范围为．‎ ‎2008‎ ‎0810‎ D ‎0821‎ ‎(1)．(2)点为对称中心．(3)三角形的面积为定值 ‎2009‎ ‎0912‎ C ‎0921‎ ‎(1) 在单调增加，在单调减少.‎ ‎2010‎ ‎1003‎ A ‎1008‎ B ‎1011‎ C ‎1021‎ ‎(1) 在单调减少，在单调增加；‎ ‎(2) 的取值范围为.‎ ‎2011‎ ‎1102‎ B ‎1109‎ C ‎1112‎ D ‎1121‎ ‎(1)；(2) 三、复习建议 ‎1．重视基础题型的训练 函数是高中数学的灵魂概念，几乎可以渗透到数学的各个分支.这也使得高考试题对于函数考察要求较高.为此，我们在函数这一块应打好坚实的基础.‎ 首先，要重视教材.教材上例题和配套的练习题、作业题和复习参考题题量虽不算大，但基本上涵盖了所有的基础知识，是高考试题的重要知识载体．纵观11年高考试题中的题目，不少都源于教材，或者是教材上的题目经组合、加工和拓展而成．因此，在复习阶段建议按《教学标准》和《考试说明》对本部分内容的要求，以课本的例、习题为素材，深入浅出、举一反三地加以类比、延伸和拓展．‎ 其次，注重对历年高考真题的整理和归纳.教材上的题目虽然经典，但是由于函数知识学习得较早，因此教材中不会出现函数与其他知识的综合题.但在历年的高考真题中，我们不难找到这些综合题的身影.将11年高考数学试题与10年高考试题相对比，甚至与更早的试题作对比，不难发现，就函数这一模块，并没有多少新鲜的题型，函数专题考查的知识点虽多，但基本都是“老面孔”，因此，在复习的时候，建议多参照历年高考真题中的函数题目，可以有效地提高学生对这部分内容的熟识程度.‎ ‎2. 平时解题时注意函数方程思想的渗透 函数与方程的思想几乎在高中数学的每一册每一章都有不同程度的渗透.因此，在高考试题中，几乎任意一个知识专题都可以与函数知识相综合.因此在平时的学习过程中，应有意识地挖掘埋藏在题目中的函数思想，加以适当的概括总结，这样，学生遇到有关函数综合题时才不会感到陌生，觉得难于下手.‎ ‎3．梳理解法，提高解题能力 在复习过程中应将知识归类整理，把知识对应的问题及解法梳理归纳，使得解法模式化，便于遇到问题时能在短时间内检索、转化，获得解题的思路.例如遇到求函数定义域时，要依次检验6条标准到三次函数或带有对数函数的函数求最值或单调性时，首选导数工具，遇到零点存在问题时，先考察函数单调性，再考虑利用根的存在定理，在求参数取值范围时，可首先考虑分离变量法，等等.因此，我们对所学知识和解题常用方法进行系统全面的总结，在脑海中形成 “解法方法大全”，从而提高解决问题的效率．‎ ‎4．鼓励一题多解，使学生的解题思路具有开放性 数学题目的答案是唯一的，但解法往往不唯一，很多题目都可以采用多种方法求解.例如有些函数题目，既可以采用偏代数的运算方法计算，有可以采用偏几何的数形结合方法求解，还有一些选择题目，利用特值法要比循规蹈矩地运算快得多，有时候就算无法排除掉全部三个错误选项，也很可能能排除一两个，这样也可以提高答对概率.因此，我们在平时训练的时候，不要因为得到一种解法就满足，而是应该尝试一下多角度地思考问题，并对比不同情境中它们的优劣.这样，对于一些题目，我们在审题之后可以立刻得到多种条解决方案，这样，我们可以从中选择一条自己擅长的思路或者经实践检验过的有效思路优先尝试，即使思路受阻也可以迅速切换到其他思路，这样可以提高解决问题的效率.‎ ‎5．总结常考点、易错点，提高正确率 本专题内容的高考试题所覆盖的知识面很宽，但其中的规律也很明显，即其中某些内容(如求值域、最值、判断函数单调性等)出现频率明显高出其他，因此在复习的时候可以鼓励学生有意识地强化这些内容的学习.对于自己曾经犯过的错误，和别人常常犯的错误，更应该主动进行整理，分析清楚出错误的原因，以避免出现类似的失误.尤其是在高考中，容易题和中档题占很大的比例，答错十分可惜.‎