2020_2021学年新教材高中数学第七章复数7

2020_2021学年新教材高中数学第七章复数7

7 . 1 . 2 　 复数的几何意义 课标阐释 思维脉络 1 . 了解复平面的概念 . ( 数学抽象 ) 2 . 理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系 . ( 逻辑推理 ) 3 . 掌握复数模的概念 , 会求复数的模 . ( 数学运算 ) 激趣诱思 知识点拨 我们知道 , 实数与数轴上的点一一对应 , 也就是说 , 数轴可以看成实数的一个几何模型 . 那么 , 能否为复数找一个几何模型呢 ? 怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、复数的几何意义 1 . 复平面 (1) 复平面 : 建立了直角坐标系来表示 复数 的平面叫做复平面 ; (2) 实轴 : 坐标系中的 x 轴叫做 实轴 , 实轴上的点都表示 实数 ; (3) 虚轴 : 坐标系中的 y 轴叫做 虚轴 , 除了原点外 , 虚轴上的点都 表示 纯虚数 . 2 . 复数的几何意义 (1) 复数集 C 中的数与复平面内的点一一对应 : 激趣诱思 知识点拨 名师点析 复数与平面向量建立一一对应关系的前提是向量的起点为原点 , 否则 , 不能建立一一对应关系 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 复数 z= 3 - 5i 在复平面内对应的点的坐标是 ( 　　 ) A.(3, - 5) 　　　　　　 B.(3,5) C.(3, - 5i) D .(3,5i) (2) 若 OZ= (0, - 3), 则 OZ 对应的复数 ( 　　 ) A. 等于 0 B. 等于 - 3 C. 在虚轴上 D. 既不在实轴上 , 也不在虚轴上 解析 : (1) 复数 z= 3 - 5i 在复平面内对应的点的坐标是 (3, - 5) . (2) 向量 OZ 对应的复数为 - 3i, 在虚轴上 . 答案 : (1)A 　 (2)C 激趣诱思 知识点拨 知识点二、复数的模 3 . 模的几何意义 : 复数 z 的模就是复数 z=a+b i( a , b ∈ R ) 所对应的点 Z ( a , b ) 到原点 (0,0) 的距离 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 复数 4 - 2i 的模等于 ( 　　 ) A.2 　 　 B.2 　 　 C.25 　 　 D.20 答案 : C (2) 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内打“ √ ” , 错误的打“ ×” . ① 复数的模一定是正实数 . ( 　　 ) ② 两个复数相等 , 它们的模一定相等 , 反之也成立 . ( 　　 ) 答案 : ①× 　 ② × 激趣诱思 知识点拨 知识点三、共轭复数 一般地 , 当两个复数的实部 相等 , 虚部 互为相反数 时 , 这两个复数叫做互为共轭复数 . 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做 共轭虚数 . 名师点析 设 z 1 =a+b i, 对应的点为 Z 1 ( a , b ), Z 2 =a-b i, 对应的点为 Z 2 ( a , -b ), 点 Z 1 与 Z 2 关于实轴对称 . 微练习 已知复数 z= 3 + 4i, 则 z 的共轭复数的模为 　　　　　 .   答案 : 5 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 复数与复平面内点的对应 例 1 当 复数 + ( a 2 - 2 a- 15)i( a ∈ R ) 在复平面内对应的点 Z 满足下列条件时 , 求 a 的取值范围 . (1) 点 Z 在复平面的第二象限内 ; (2) 点 Z 在复平面内的实轴上方 . 分析 确定 z 的实部、虚部 → 列方程 ( 不等式组 )→ 解参数值 ( 范围 ) 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用复数与复平面内点的对应的解题步骤 (1) 首先确定复数的实部与虚部 , 从而确定复数对应点的坐标 . (2) 根据已知条件 , 确定实部与虚部满足的关系 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例中题设条件不变 , 求当复数 z 表示的点在实轴上时 , 实数 a 的值 . 解 : 点 Z 在实轴上 , 所以 a 2 - 2 a- 15 = 0 且 a+ 3≠0, 所以 a= 5 . 故 a= 5 时 , 点 Z 在实轴上 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 复数与复平面内向量的对应 例 2 在复平面上 , 点 A , B , C 对应的复数分别为 1 + 4i, - 3i,2, O 为复平面的坐标原点 . 求平行四边形 ABCD 的顶点 D 对应的复数 . 分析 根据复数与点、复数与向量的对应关系求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 复数与复平面内向量的对应和转化 (1) 对应 : 复数 z 与 向量 是 一一对应关系 . (2) 转化 : 复数的有关问题转化为向量问题求解 . 2 . 解决复数问题的主要思想方法 (1) 转化思想 : 复数问题实数化 ; (2) 数形结合思想 : 利用复数的几何意义数形结合解决 ; (3) 整体化思想 : 利用复数的特征整体处理 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 复数的模及其应用 例 3 若复数 z= ( a+ 2) - 2 a i 的模 等于 , 求实数 a 的值 . 分析 根据复数模的计算公式求解 . 反思感悟 1 . 计算复数的模时 , 应先确定其实部与虚部 , 再套用公式计算 . 2 . 两个复数相等 , 其模必相等 , 反之 , 两个复数的模相等 , 这两个复数不一定相等 . 3 . 两个复数不一定能够比较大小 , 但两个复数的模一定可以比较大小 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 若复数 z 对应的点在直线 y= 2 x 上 , 且 |z |= , 则复数 z= 　　　　　　　　　 .  解析 : 依题意可设复数 z=a+ 2 a i( a ∈ R ), 解 得 a=± 1, 故 z= 1 + 2i 或 z=- 1 - 2i . 答案 : 1 + 2i 或 - 1 - 2i 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 共轭复数及其应用 例 4 (2019 全国 Ⅱ 高考 ) 设 z=- 3 + 2i, 则在复平面 内 对应 的点位于 ( 　　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 分析 先由定义 写出 , 再由复数的几何意义求解 . 答案 : C 反思感悟 共轭复数的关注点 本节内容对共轭复数的要求有两点 : 一是会利用定义写出已知复数的共轭复数 ; 二是明确互为共轭的两个复数表示的点的对称关系 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3 已知 i 是虚数单位 , 复数 z= 1 + i, 则 的 实部与虚部之差为 ( 　　 ) A.1 B.0 C. - 2 D.2 解析 : = 1 - i, 实部为 1, 虚部为 - 1, 所以实部与虚部之差为 1 - ( - 1) = 2 . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 复数模的意义 典例 已知 |x|= 3, 对于下列条件 , 这个方程对应的图形各是什么 ? (1) 在数轴上 ; (2) 在复平面内 , x ∈ C . 分析 分别利用绝对值、复数的模的几何意义解答 . 解 : (1) 在数轴上 , |x|= 3 表示到原点的距离为 3 的两个点 3 和 - 3 . (2) 在复平面内 , |x|= 3 表示到原点的距离为 3 的复数的集合 , 即以原点为圆心 , 以 3 为半径的圆 . 方法点睛 复数的模的几何意义是复平面内表示复数对应的点到原点的距离 , 这可以类比实数的绝对值 , 也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1 . 若复数 z=- 2 + i, 则复数 z 的 共轭复数 在 复平面内对应的点位于 ( 　　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析 : 复数 z 的 共轭复数 =- 2 - i, 在复平面内对应的点为 ( - 2, - 1), 位于第三象限 . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3 . 已知复数 z= ( m- 3) + ( m- 1)i 的模等于 2, 则实数 m 的值为 ( 　　 ) A.1 或 3 B.1 C.3 D.2 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 5 . 已知复数 z= ( m 2 +m- 1) + (4 m 2 - 8 m+ 3)i( m ∈ R ) 对应的点在第一象限 , 求实数 m 的取值范围 .