重庆高考数学试卷解析理科

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重庆高考数学试卷解析理科

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)‎ 数学试题卷(理工农医类)‎ ‎ 注:本卷由北京宏优教育考试院重庆分院高考专家独家解析 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎(1)已知集合,集合,,则=( D )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】 本题考查集合的简单运算,属于容易题。由于,从而,故答案选D。‎ ‎(2)命题“对任意,都有”的否定为( D )‎ ‎(A)对任意,使得 (B)不存在,使得 ‎(C)存在,都有 (D)存在,都有 ‎【解析】 本题考查含有全称量词的命题的否定,比较简单。将全称量词改为存在量词,同时否定结论,故选择D选项。‎ ‎(3)()的最大值为( B )‎ ‎(A)9 (B) (C)3 (D)‎ ‎【解析】 本题考查二次函数求最值。根据题干的结构,可以用均值不等式,也可以用配方法。方法一:,当且仅当时等号成立;‎ 方法二:。故答案选B。‎ ‎(4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).‎ 甲组 乙组 ‎9‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ 已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则、的值分别为( C )‎ ‎(A)2、5 (B)5、5 (C)5、8 (D)8、8‎ ‎【解析】本题考查茎叶图及基本统计量的简单计算。由茎叶图可知,甲组的中位数为10+x=15,则x=5;由乙组的平均数为16.8有:9+15+(10+y)+18+24=16.8×5=84,解出y=8。故答案选D。‎ ‎(5)某几何体的三视图如题(5)图所示,则该几何体的体积为( C )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)200‎ ‎(D)240‎ ‎【解析】本题考查三视图及基本几何体的体积计算。由三视图可知该几何体是以侧视图为底面的四棱柱,从而,故选择C选项。‎ ‎(6)若,则函数两个零点分别位于区间( A )‎ ‎(A)和内 (B)和内 ‎(C)和内 (D)和内 ‎【解析】本题考查函数零点定理的应用。因为,由已知函数解析式有,,;从而有,根据零点定理,函数在和内有零点。故答案选A。‎ ‎(7)已知圆:,圆:,、分别是圆、上的动点,为轴上的动点,则的最小值为( A )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】 本题考查圆的方程及及数形结合法,属于中等题。采用数形结合法作轴对称,使得M、P、N三点共线,则取得最小值。如图所示,圆关于x轴对称的圆的方程为:,点M关于x轴的对称点为,则 ‎。故答案选A。‎ ‎ ‎ ‎(8)执行如题(8)图所示的程序框图,如果输出,那么判断框内应填入的条件是( B )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】本题考查程序框图和对数的基本计算。由得:‎ ‎,即,‎ 从而有,解出。因此判断框中时输出S,故。答案选B。‎ ‎(9)( C )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】 本题考查三角函数的诱导公式及恒等变换公式,属于中等难度题。处理这类题目的指导思想是切割化弦,然后反复使用恒等变换公式及诱导公式,最后得出答案。‎ ‎ 方法一:‎ 方法二(和差化积):‎ ‎。故答案选C。‎ ‎(10)在平面上,,,.若,则的取值范围是( D )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】本题考查向量加减的三角形法则,综合性比较强。因为,从而有,即,化简为: 又,并且,则有,‎ 即,平方:‚ 将带入‚得:。因为,则,从而有,‎ 即。故答案选D。‎ 二.填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎(11)已知复数(是虚数单位),则 .‎ ‎【解析】本题考查复数的基本计算,属于容易题。计算时可以先根据复数的除法化简:‎ ‎,也可以直接计算。‎ (12) 已知是等差数列,,公差,为其前项和,若、、成等比数列,则 64 .‎ ‎【解析】本题考查等差、等比的概念及基本公式的应用,比较简单。由、、成等比数列有:,即,化简得:;因为公差,从而,‎ 则。‎ (13) 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 590 (用数字作答).‎ ‎ ‎ ‎【解析】 本题考查排列组合的基本计算,属于中档题。处理“至少”,“至多”等问题,一般采用“正难则反”的方法。从12人中选5人有种选法,其中没有骨科医生的选法有种;没有脑外科医生的选法有种;没有内科医生的选法有种;既没有骨科医生,也没有脑外科医生的选法有种。从而骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590。‎ 考生注意:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.‎ ‎(14)如题(14)图,在△中,,,,过作△的外接圆的切线,⊥,与外接圆交于点,则的长为 5 .‎ ‎【解析】 因为,CD是圆的切线,所以;由⊥可知,又,则,;由有。          ‎ (15) 在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线(为参数)相交于、两点,则 16 .‎ ‎【解析】 本题考查极坐标方程与参数方程的简单计算。将极坐标方程为化为平面直角坐标方程分别为,它与曲线(为参数)的交点坐标为A(4,8),B(4,-8),则。‎ (16) 若关于实数的不等式无解,则实数的取值范围是 .‎ ‎【解析】 本题考查绝对值不等式及数形结合法的应用。的几何意义是表示数轴上的点到-3和5的距离之和,从而,即不等式无解,故实数的取值范围是。本题也可以去绝对值符号,用分类讨论的方法来解。‎ 三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分)‎ 设,其中,曲线在点(1,)处的切线与轴相较于点(0,6).‎ ‎(Ⅰ)确定的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间与极值.‎ ‎(18)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分)‎ 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个篮球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与篮球的个数,设一、二、三等奖如下:‎ 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 ‎31蓝 ‎200元 二等奖 ‎3红0蓝 ‎50元 三等奖 ‎2红1蓝 ‎10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.‎ ‎(Ⅰ)求一次摸球恰好摸到1个红球的概率;‎ ‎(Ⅱ)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望.‎ ‎(19)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分)‎ 如题(19)图,四棱锥中,⊥底面,,,,为的中点,⊥.‎ ‎(Ⅰ)求的长;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值.‎ ‎(20)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)‎ 在△中,内角、、的对边分别是、、,且.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)设,,求的值.‎ ‎(21)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)‎ 如题(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点,.‎ ‎(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)取垂直于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、,过、作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若⊥,求圆的标准方程.‎ ‎(22)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)‎ 对正整数,记…,,,.‎ ‎(Ⅰ)求集合中元素的个数;‎ ‎(Ⅱ)若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方,则称为“稀疏集”.求的最大值,使能分成两个不相交的稀疏集的并.‎
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