2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2
2.3
二次函数与一元二次方程、不等式
第
1
课时 二次函数与一元二次方程、不等式
必备知识
·
自主学习
导思
1.
什么是一元二次不等式？
2.
如何求一元二次不等式的解集？
1.
一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的
____________
的不等式，称为一元二次不等
式
.
一元二次不等式的一般形式是：
ax
2
+bx+c>0(a≠0)
或
ax
2
+bx+c<0(a≠0).
最高次数是
2
【
思考
】
(1)
不等式
x
2
+ >0
是一元二次不等式吗？
(2)
一元二次不等式的一般形式中“
a≠0”
可以省略吗？
提示：
(1)
不是，一元二次不等式一定为整式不等式
.
(2)
不可以，若
a=0
，就不是二次不等式了
.
2.
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ=b
2
-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax
2
+bx+c(a>0)
的图象
ax
2
+bx+c=0(a>0)
的根
x
1
，
2
=
x
1
=x
2
=-
没有实数根
ax
2
+bx+c>0(a>0)
的解集
______________
__
ax
2
+bx+c<0(a>0)
的解集
____________
__
__
{x|x
x
2
}
R
x|x
1
0
或
y<0
时，就转化为一元二次不等式
.
应用：①解一元二次不等式；②已知一元二次不等式的解集求参数
.
【
思考
】
(1)
有人说：当
Δ>0
时，表中的
x
1
，
x
2
有三重身份，你能说出是哪三重身份吗？
(2)
若一元二次不等式
ax
2
+x-1>0
的解集为
R
，则实数
a
应满足什么条件？
提示：
(1)x
1
，
x
2
是二次函数图象与
x
轴交点的横坐标，又是一元二次方程的两个解，还是一元二次不等式解集的区间端点
.
(2)
结合二次函数图象可知，若一元二次不等式
ax
2
+x-1>0
的解集为
R
，
则 解得
a∈⌀
，所以不存在
a
使不等式
ax
2
+x-1>0
的解集为
R.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”，错的打“
×”)
(1)mx
2
-5x<0
是一元二次不等式
. (
)
(2)
若
a>0
，则一元二次不等式
ax
2
+1>0
无解
. (
)
(3)
若一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
的两根为
x
1
，
x
2
(x
1
0
的解集为
R. (
)
提示：
(1)×.
当
m=0
时，是一元一次不等式；当
m≠0
时，它是一元二次不等式
.
(2)×.
因为
a>0
，所以不等式
ax
2
+1>0
恒成立，即原不等式的解集为
R.
(3)×.
当
a>0
时，
ax
2
+bx+c<0
的解集为
{x|x
1
0
的解集为
R.
2.(
教材二次开发：例题改编
)
不等式
2x
2
-x-1>0
的解集是
(
)
A.
B.{x|x>1}
C.{x|x<1
或
x>2}
D.
【
解析
】
选
D.
因为
2x
2
-x-1=(2x+1)(x-1)
，
所以由
2x
2
-x-1>0
，得
(2x+1)(x-1)>0
，
解得
x>1
或
x<-
，
所以不等式的解集为
.
3.
不等式
-3x
2
+5x-4>0
的解集为
_______.
【
解析
】
原不等式变形为
3x
2
-5x+4<0.
因为
Δ=(-5)
2
-4×3×4=-23<0
，
所以由函数
y=3x
2
-5x+4
的图象可知，
3x
2
-5x+4<0
的解集为⌀
.
答案：
⌀
关键能力
·
合作学习
类型一 解一元二次不等式
(
逻辑推理、直观想象
)
【
题组训练
】
1.(2019·
全国卷
Ⅰ)
已知集合
M={x|-43} B.{x|-40 B.x
2
-4x+4>0
C.-x
2
+4x-5<0 D.-3x
2
+5x-2>0
【
解析
】
选
C.
不等式
2x
2
-3x-2>0
的解集为 ，不等式
x
2
-4x+4>0
的解集为
{x|x≠2}
，不等式
-x
2
+4x-5<0
的解集为
R
，不等式
-3x
2
+5x-2>0
的解集为
.
4.(2019·
全国卷
Ⅱ)
设集合
A={x|x
2
-5x+6>0}
，
B={x|x-1<0}
，则
A∩B= (
)
A.(-∞
，
1) B.(-2
，
1)
C.(-3
，
-1) D.(3
，
+∞)
【
解析
】
选
A.
解得集合
A={x|x<2
或
x>3}
，集合
B={x|x<1}.
结合数轴可得
A∩B=(-∞
，
1).
【
解题策略
】
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)
化标准
.
通过对不等式的变形，使不等式右侧为
0
，使二次项系数为正
.
(2)
判别式
.
对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式
.
(3)
求实根
.
求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根
.
(4)
画草图
.
根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图
.
(5)
写解集
.
根据图象写出不等式的解集
.
类型二 一元二次不等式给解求参数问题
(
数学运算
)
【
典例
】
已知一元二次不等式
x
2
+px+q<0
的解集为 ，求
p
，
q
的值并求不等式
qx
2
+px+1>0
的解集
.
四步
内容
理解
题意
条件：不等式
x
2
+px+q<0
的解集为
①
结论：
(1)
求
p
，
q
的值；
(2)
求不等式
qx
2
+px+1>0
的解集
.
思路
探求
由一元二次不等式的解集，可得相应二次函数与
x
轴的交点，再利用根与系数的关系求待定系数
.
【
解题策略
】
解决一元二次不等式给值求参数问题的关注点
(1)
由一元二次不等式中不等号的方向及其解集可以逆推二次函数的开口方向
.
(2)
一元二次不等式
ax
2
+bx+c>0(a≠0)
的解集的端点值是一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
的根，也是函数
y=ax
2
+bx+c
与
x
轴交点的横坐标
.
【
跟踪训练
】
不等式
ax
2
+5x+c>0
的解集为 ，则
a
，
c
的值为
(
)
A.a=6
，
c=1 B.a=-6
，
c=-1
C.a=1
，
c=6 D.a=-1
，
c=-6
【
解析
】
选
B.
因为不等式
ax
2
+5x+c>0
的解集为 ，则 分别是方程
ax
2
+5x+c=0
的两个根，故
解得
a=-6
，
c=-1.
【
补偿训练
】
已知关于
x
的不等式
ax
2
+bx+c>0
的解集为
{x|20
的解集为
{x|20
，即
x
2
- >0
，解得
x<
或
x>
，所以不等式
cx
2
+bx+a<0
的解集为
方法二：由不等式
ax
2
+bx+c>0
的解集为
{x|2-1
时，原不等式解集为
{x|-10
，试求其解集
.
【
解析
】
将
x
2
-3ax-18a
2
>0
变形得
(x-6a)(x+3a)>0
，
方程
(x-6a)(x+3a)=0
的两根为
6a
，
-3a.
所以
(1)
当
a>0
时，
6a>-3a
，
原不等式的解集为
{x|x<-3a
或
x>6a}.
(2)
当
a=0
时，
6a=-3a=0
，
原不等式的解集为
{x|x≠0}.
(3)
当
a<0
时，
6a<-3a
，
原不等式的解集为
{x|x<6a
或
x>-3a}.
角度
2
对“判别式
Δ”
的讨论
【
典例
】
解关于
x
的不等式：
x
2
-2ax+2≤0.
【
思路导引
】
由于不等式对应的二次方程的判别式含有参数且无法判断正负，因此要对判别式进行讨论
.
【
解析
】
因为
Δ=4a
2
-8
，所以
Δ<0
，即
- 0
，即
a>
或
a<-
时，原不等式对应的方程有两个不等实数，分别为
x
1
=a-
，
x
2
=a+
，且
x
1
或
a<-
时，
原不等式的解集为
{x|a- ≤x≤a+ }.
角度
3
对“二次项系数”的讨论
【
典例
】
解关于
x
的不等式
ax
2
-(2+2a)x+4>0.
【
思路导引
】
由于不等式的二次项系数含有参数，需考虑结合
0
，
1
进行分类讨论
.
【
解析
】
(1)
当
a=0
时，原不等式可化为：
x-2<0.
即
x<2.
(2)
当
a<0
时，
<0<2
，所以
0
，
x≠2.
(4)
当
0
或
x<2.
(5)a>1
时，
2>
，所以
x>2
或
x< .
综上可知，不等式的解集为：
a=0
时，
{x|x<2}
a<0
时， ，
a=1
时，
{x|x≠2}
，
01
时，
【
解题策略
】
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)
关于不等式类型的讨论：二次项系数
a>0
，
a<0
，
a=0.
(2)
关于不等式对应的方程根的讨论：两根
(Δ>0)
，一根
(Δ=0)
，无根
(Δ<0).
(3)
关于不等式对应的方程根的大小的讨论：
x
1
>x
2
，
x
1
=x
2
，
x
1
0.
【
解析
】
当
a=0
时，原不等式等价于
3>0
恒成立，
所以
x∈R.
当
a>0
时，
Δ=(-2a)
2
-4a(a+3)=-12a<0
，不等式解集为
R.
当
a<0
时，
Δ=-12a>0
，
方程的根为
x=
，
即
且
x
1
0.
【
解析
】
当
a=0
时，不等式为
-x>0
，所以
x<0
，
当
a≠0
时，方程
ax
2
-x=0
的两根为
0
与 ；
当
a>0
时，
>0
，所以
x>
或
x<0
；
当
a<0
时，
<0
，所以
0
，不等式的解集为 ；
当
a=0
时，不等式的解集为
{x|x<0}
；
当
a<0
时，不等式的解集为
.
课堂检测
·
素养达标
1.
不等式
>0
的解集是
(
)
【
解析
】
选
D.
方程
=0
的两根为 ， ，
所以原不等式的解集为
.
2.
已知全集
U=R
，集合
A={x|x
2
-2x>0}
，则
A
等于
(
)
A.{x|0≤x≤2} B.{x|02} D.{x|x≤0
或
x≥2}
【
解析
】
选
A.
因为
A={x|x<0
或
x>2}
，
所以
A={x|0≤x≤2}.
∁U
∁U
3.
一元二次不等式
ax
2
+bx+2>0
的解集是 ，则
a+b
的值是
(
)
A.10 B.-10 C.14 D.-14
【
解析
】
选
D.
方程
ax
2
+bx+2=0
的两个根为
-
和 ，
- + =-
，
- × =
，
所以
a=-12
，
b=-2
，
a+b=-14.
4.(
教材二次开发：练习改编
)
不等式
x
2
+x-6>0
的解集是
_______.
【
解析
】
x
2
+x-6>0
，
(x+3)(x-2)>0
，
所以不等式的解集为
(-∞
，
-3)∪(2
，
+∞).
答案：
(-∞
，
-3)∪(2
，
+∞)
5.(
教材二次开发：练习改编
)
二次函数
y=x
2
-4x+3
，在
y<0
时
x
的取值范围是
_______.
【
解析
】
由于方程
x
2
-4x+3=0
的两个根为
1
，
3.
故不等式
x
2
-4x+3<0
的解集为
{x|1
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