高考数学江苏专用应用题中的瓶颈题

高考数学江苏专用应用题中的瓶颈题

第3讲　应用问题中的“瓶颈题”‎ 数学应用问题是高考中常见题型之一,是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有:(1) 函数与不等式模型;(2) 函数与导数模型;(3) 三角函数模型;(4) 数列模型.解决实际问题的一般步骤:(1) 阅读题目,理解题意;(2) 设置变量,建立函数关系;(3) 应用函数知识或数学方法解决问题;(4) 检验,作答.解应用题的一般思路可表示如下:‎ 分类解密———专题突破 函数与不等式模型的应用题 例1　某工厂有工人214名,现要生产1500件产品,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组,分别加工一种零件,同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人,在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需时间为g(x),加工完B型零件所需时间为h(x).‎ ‎(1) 比较g(x)与h(x)的大小,并写出完成总任务的时间f(x)的解析式;‎ ‎(2) 应怎样分组,才能使完成任务用时最少?‎ 练习　如图,已知矩形油画的长为a,宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画左右两边金箔的宽为x,上下两边金箔的宽为y,壁画的总面积为S.‎ ‎(1) 用x,y,a,b表示S;‎ ‎(2) 若S为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大,‎ 求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x,y的值.‎ ‎(练习)‎ 函数与导数模型的应用题 例1　某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设,阴影部分为一公共设施,不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax2(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M,N,交曲线于点P,设P(t,f(t)).‎ ‎(1) 将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t);‎ ‎(2) 若在t=处,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.‎ ‎(例1)‎ 练习　在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30m的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv2(c为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.‎ ‎(1) 求出y关于v的函数解析式;‎ ‎(2) 设00)km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北45°且不改变航线,假设台风中心不移动.‎ ‎(1) r在什么范围内,轮船在航行途中不会受到台风的影响?‎ ‎(2) 当r=60时,轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米?‎ 练习　(2014·江苏卷)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=.‎ ‎(1) 求新桥BC的长;‎ ‎(2) 当OM多长时,圆形保护区的面积最大?‎ ‎(练习)‎ 数列模型 例1　商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1000人的学生公寓,工程于2012年年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%,按复利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.‎ ‎(1) 若公寓收费标准定为每名学生每年800元,问:‎ 到哪一年可还清建行全部贷款?‎ ‎(2) 若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清,则每名学生每年的最低收费标准是多少元?(精确到元,参考数据:lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774)‎ 练习　某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润函数f(x)=(单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的利润率为g(x)=,例如,g(3)=.‎ ‎(1) 求g(10);‎ ‎(2) 求第x个月的当月利润率;‎ ‎(3) 该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大?并求出该月的当月利润率.‎ 立体几何体模型 例1　某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:m),其中容器的中间为圆柱形,高为l,左右两端均为半球形,半径为r,按照设计要求容器的体积为 m3,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.‎ ‎(1) 求y关于r的函数解析式,并求该函数的定义域;‎ ‎(2) 求该容器的建造费用最小时半径r的值.‎ ‎　(例1)‎ ‎【归纳提升】‎ 常见应用问题与数学模型及其处理:‎ ‎1. 优化问题:实际问题中的“优选”、“控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.‎ ‎2. 预测问题:经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.‎ ‎3. 最(极)值问题:工农业生产、建设及实际生活中的极限问题,常设计成“函数模型”,转化为求函数的最值.‎ ‎4. 等量关系问题:建立“方程模型”解决.‎ ‎5. 测量问题:可设计成“图形模型”利用几何知识解决.‎ 总之,解应用题关键是将文字语言翻译成数学语言,常借助画图法抽象成数学问题,并注意解模后的验证.‎ ‎【评价反馈】‎ ‎1. 某医药研究所开发了一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线.‎ ‎(1) 写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);‎ ‎(2) 据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25μg时,治疗有效,则服药一次后治疗有效的时间是多长?‎ ‎(第1题)‎ ‎2. (2014·苏州暑假调查)如图,某自来水公司要在公路两侧放置排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线l1排,在路南侧沿直线l2排,现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通.已知AB=60m,BC=80m,公路两侧排管费用为每米1万元,穿过公路的部分的排管费用为每米2万元,设EF与AB所成的小于90°的角为α.‎ ‎(1) 求矩形区域ABCD内的排管费用W关于α的函数关系式;‎ ‎(2) 求排管的最小费用及相应的角α.‎ ‎(第2题)‎ ‎3. 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用为12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元.该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.‎ ‎(1) 写出y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2) 从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值)?‎ ‎(3) 使用若干年后,对机床的处理方案有两种:‎ ‎①当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;‎ ‎②当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床.问:用哪种方案处理较为合算?请说明你的理由.‎ ‎4. 假设某市2011年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.‎ ‎(1) 到哪一年底该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?‎ ‎(2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?‎ ‎5. 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(7≤x≤9)元时,一年的销售量为(10-x)2万件.‎ ‎(1) 求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x); ‎ ‎(2) 当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值.‎ ‎6. 某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80m,塔所在的山高OB=220m,OA=200m,图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上,与水平地面的夹角为α,tanα=.试问此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC最大?(不计此人的身高)‎ ‎(第6题)‎ 第3讲　应用问题中的“瓶颈题”‎ 考点1　函数与不等式模型的应用题 ‎【例1】　【分析】根据题设条件分别求出g(x)和h(x),然后通过作差找出分界点,得到一个分段函数.‎ ‎【解答】由题设,每个工人在单位时间内加工5k个A型零件,所以x个工人在单位时间内加工5k·x个A型零件.总共需要1500×3个A型零件,所以g(x)==.‎ 单位时间内加工B型零件的个数为3k,所以h(x)==.‎ ‎(1) g(x)-h(x)=-=,‎ 因为1≤x<214,x∈N,‎ 所以:①当1≤x≤137时,g(x)>h(x);‎ ‎②当138≤x≤213时,g(x)0).‎ ‎(2) 因为x,y>0,所以2bx+2ay≥2,当且仅当bx=ay时,等号成立.‎ 从而S≥4+4xy+ab,(*)‎ 令t=,则t>0,‎ 上述不等式(*)可化为4t2+4t+ab-S≤0,‎ 解得≤t≤,‎ 因为t>0,所以00)可得f'(x)=-2ax,P(t,f(t)).‎ 直线MN的斜率k=f'(t)=-2at,则直线MN的方程为y-1+at2=-2at(x-t),‎ 令y=0,可得xM=t+,可得M;‎ 令x=0,可得yM=1+at2,可得N(0,1+at2),‎ 所以S(t)=S△OMN=×(1+at2)×=.‎ ‎(2) 当t=时,S(t)取得最小值,‎ S'(t)==,‎ 由题意知S'=0,即12a2×-4a=0,解得a=,‎ 此时S(t)的最小值为S===.‎ ‎【练习】　【分析】构建函数模型,然后利用导数研究函数的单调性和最值.‎ ‎【解答】(1) 潜入水底用时单位时间,用氧量为×cv2=30cv;水底作业时用氧量为5×0.4=2;‎ 返回水面用时单位时间,用氧量为×0.2=.‎ 所以y=30cv+2+(v>0).‎ ‎(2) y=30cv+2+≥2+2=2+12.‎ 当且仅当30cv=,即v=时取等号.‎ 当≤5,即c≥时,v=时,y的最小值为2+12.‎ 当>5,即c<时,y'=30c-=<0,‎ 因此函数y=30cv+2+在(0,5]上为减函数,‎ 所以当v=5时,y的最小值为150c+.‎ 综上,当c≥时,下潜速度为时,用氧量最小为2+12;‎ 当040,所以轮船会受到台风影响.‎ 航程为2=40km,所以当r=60km时,轮船在航行途中受到影响的航程是40km.‎ ‎【点评】此类问题实际上就是判断直线与圆的位置关系,该类问题的解决有代数法和几何法两种方法.‎ ‎【练习】　【解答】方法一:‎ ‎(1) 如图(1)所示,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.‎ 由条件知A(0,60),C(170,0),‎ 直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-.‎ 又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB=.‎ 设点B的坐标为(a,b),‎ 则kBC==-,kAB==,‎ 解得a=80,b=120,‎ 所以BC==150(m).‎ 因此新桥BC的长是150m.‎ ‎(练习(1))‎ ‎(2) 设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm(0≤d≤60).‎ 由条件知,直线BC的方程为y=-(x-170),‎ 即4x+3y-680=0.‎ 由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,‎ 即r==.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以 即 解得10≤d≤35.‎ 故当d=10时,r=最大,即圆面积最大,‎ 所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.‎ 方法二:‎ ‎(练习(2))‎ ‎(1) 如图(2)所示,延长OA,CB交于点F.‎ 因为tan∠FCO=,‎ 所以sin∠FCO=,‎ cos∠FCO=.‎ 因为OA=60,OC=170,‎ 所以OF=OCtan∠FCO=,CF==,从而AF=OF-OA=.‎ 因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=.‎ 又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=,从而BC=CF-BF=150.‎ 因此新桥BC的长是150m.‎ ‎(2) 设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,OM=dm(0≤d≤60).‎ 因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.‎ 故由(1)知sin∠CFO====,所以r=.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,‎ 所以 即 解得10≤d≤35.‎ 故当d=10时,r=最大,即圆面积最大,‎ 所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.‎ 考点5　数列模型 ‎【例1】　【分析】将该问题转化为等比数列求和问题.利率问题有两种:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型.若每期存入本金p元,每期利率为r,则n期后本利和为Sn=p(1+r)+p(1+2r)+…+p(1+nr)=p(等差数列问题).②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型.若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还清.如果每期利率为r(按复利),那么每期等额还款x元应满足:p(1+r)n=x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+…+x(1+r)+x(等比数列问题).‎ ‎【解答】依题意,公寓2012年底建成,2013年开始使用.‎ ‎(1) 设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款,则公寓每年收费总额为1000×800=800000=80(万元),扣除18万元,可偿还贷款62万元.‎ 依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)n-1]≥500(1+5%)n+1,‎ 化简得62(1.05n-1)≥25×1.05n+1.‎ 所以1.05n≥1.7343,‎ 两边取对数整理得n≥==11.28,所以取n=12.‎ 所以到2024年年底可还清全部贷款.‎ ‎(2) 设每名学生和每年的最低收费标准为x元,因为到2020年底公寓共使用了8年,‎ 依题意有[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)7]≥500(1+5%)9,‎ 化简得(0.1x-18)≥500×1.059,‎ 所以x≥10‎ ‎=10‎ ‎=10×(18+81.2)=992.‎ 故每名学生每年的最低收费标准为992元.‎ ‎【点评】在经济活动中,如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月)份有关的实际问题,大多可归结为数列问题,即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时,是否是数列问题,一是看自变量是否与正整数有关;二是看是否符合一定的规律,可先从特殊的情形入手,再寻找一般的规律.‎ ‎【练习】　【解答】(1) 依题意得f(1)=f(2)=f(3)=…=f(9)=1,‎ 所以g(10)==.‎ ‎(2) 当x=1时,g(1)=.‎ 当1,所以当x=40时,g(x)有最大值为,‎ 即该企业经销此产品期间,第40个月的当月利润率最大,其当月利润率为.‎ 考点6　立体几何体模型 ‎【例1】　【分析】根据球的体积和圆柱的体积公式求出y关于r的函数表达式,再利用导数研究其最值.‎ ‎【解答】(1) 因为容器的体积为πm3,所以πr3+πr2l=π,‎ 解得l=-r=,‎ 由于l≥2r,所以03,所以c-2>0,当r3=时,即y'=0,‎ 令=m,则m>0,‎ 所以y'=(r-m)(r2+mr+m2).‎ ‎①当0时,‎ 当r=m时,y'=0;‎ 当r∈(0,m)时,y'<0;‎ 当r∈(m,2)时,y'>0,‎ 所以r=m时函数y取得极小值点,也是最小值点.‎ ‎②当m≥2,即3时,建造费用最小时r=.‎ ‎【评价反馈】‎ ‎1. 【解答】(1) 设y=‎ 当t=1时,由y=4,得k=4,‎ 由=4,得a=3.‎ 所以y=‎ ‎(2) 由y≥0.25,得或 解得≤t≤5,‎ 因此服药一次后治疗有效的时间是5-= (h).‎ ‎2. 【解答】(1) 如图,过点E作EM⊥BC,垂足为M.由题意得∠MEF=α,故有MF=60tanα,EF=,AE+FC=80-60tanα.‎ ‎(第2题)‎ 所以W=(80-60tanα)×1+×2‎ ‎=80-+‎ ‎=80-.‎ ‎(2) 方法一:设f(α)=,令tanα=,其中0≤α≤α0<,‎ 则f'(α)==.‎ 令f'(α)=0,得1-2sinα=0,即sinα=,得α=.‎ α,f'(α),f(α)的变化情况如下表:‎ α ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ f'(α)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(α)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以当α=时,f(α)max=-,此时有Wmin=80+60.‎ 答:排管的最小费用为(80+60)万元,相应的角α=.‎ 方法二:f(α)=‎ ‎=‎ ‎≥=,‎ 当且仅当(1-sinα)=(1+sinα)时“=”成立,此时sinα=,α=.‎ 以下同方法一.‎ ‎3. (1) y=50x--98=-2x2+40x-98.‎ ‎(2) 解不等式-2x2+40x-98>0,‎ 得10-0.85bn,‎ 有250+(n-1)×50>400×(1.08)n-1×0.85,‎ 解得满足上述不等式的最小正整数n=6.‎ 所以到2016年年底,‎ 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.‎ ‎5. (1) 由题得该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)=(x-4-a)(10-x)2,x∈[7,9].　‎ ‎(2) L'(x)=(10-x)2-2(x-4-a)(10-x)‎ ‎=(10-x)(18+2a-3x),‎ 令L'(x)=0,得x=6+a或x=10.‎ 因为1≤a≤3,所以≤6+a≤8.‎ ‎①当6+a≤7,即1≤a≤时,‎ 因为x∈[7,9],所以L'(x)≤0,L(x)在[7,9]上单调递减,故L(x)max=L(7)=27-9a.‎ ‎②当6+a>7,即0;‎ x∈时,L'(x)<0,‎ 所以L(x)在x∈上单调递增;‎ 在x∈上单调递减,‎ 故L(x)max=L=4.‎ 答:当1≤a≤时,每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L最大,最大值为(27-9a)万元;‎ 当200).‎ 由经过两点的直线的斜率公式可知kPC==,kPB==.‎ 由直线PC到直线PB的角的公式,得 tan∠PBC=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=(x>200).‎ 要使tan∠BPC达到最大,只需x+-288达到最小,由均值不等式可知 x+-288≥2-288,‎ 当且仅当x=时上式取得等号,故当x=320时,tan∠BPC最大,这时,点P的纵坐标为y==60.‎ 由此实际问题知,0<∠BPC<,所以tan∠BPC最大时,∠BPC最大,故当此人距水平地面60m时,观看铁塔的视角∠BPC最大.‎