2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案:第1章 1

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2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案:第1章 1

www.ks5u.com ‎1.3 空间向量及其运算的坐标表示 ‎1.3.1 ‎空间直角坐标系 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.了解空间直角坐标系的建立过程.‎ ‎2.掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定.(重点)‎ ‎3.掌握空间向量的坐标表示(重点、难点)‎ ‎1.通过建立空间直角坐标系,确定点的坐标,提升学生直观想象的核心素养.‎ ‎2.通过空间向量的坐标表示,培养学生直观想象和数学建模的核心素养.‎ ‎(1)数轴Ox上的点M,用代数的方法怎样表示呢?‎ 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示;‎ ‎(2)直角坐标平面上的点M,怎样表示呢?‎ 直角坐标平面上的点M,可用一对有序实数(x,y)表示.‎ ‎(3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系,又该怎样表示空间的点呢?‎ ‎1.空间直角坐标系 空间直角 坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,这样就建立了空间直角坐标系 坐标轴 x轴、y轴、z轴 坐标原点 点O 坐标向量 i,j,k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面 右手直角 坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴正方向,食指指向y轴正方向,如果中指指向z轴正方向,则称坐标系为右手直角坐标系 ‎2.空间向量的坐标表示 空间直角坐标系中A点坐标 在空间直角坐标系中,i,j,k为坐标向量,对空间任一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+yj+zk,则(x,y,z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标.记作A(x,y,z),其中x叫点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标 在空间直角坐标系中,给定向量a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk,则(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标,简记作a=(x,y,z)‎ ‎1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x=0,竖坐标z=0.(  )‎ ‎(2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z=0. (  )‎ ‎(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变,横坐标相反. (  )‎ ‎[提示] (1)× (2)× (3)√‎ ‎2.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量,并且=-i+j-k,则B点的坐标为(  )‎ A.(-1,1,-1)    B.(-i,j,-k)‎ C.(1,-1,-1) D.不确定 D [向量确定时,终点坐标随着起点坐标的变化而变化,本题中起点没固定,所以终点的坐标也不确定.]‎ ‎3.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,若以{,,}为基底,则=________,的坐标是________.‎ ++  (1,1,1) [若以{,,}为基底,∵=+=++=++ ‎∴的坐标为(1,1,1).]‎ 求空间点的坐标 ‎【例1】 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.‎ ‎(1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标;‎ ‎(2)求点N的坐标.‎ ‎[思路探究] 将各个点在坐标上的射影求出,即可写出空间各点的坐标.‎ ‎[解] (1)显然D(0,0,0),‎ 因为点A在x轴的正半轴上,且|AD|=3,‎ 所以A(3,0,0).同理,可得C(0,4,0),D1(0,0,5).‎ 因为点B在坐标平面xOy内,BC⊥CD,BA⊥AD,所以B(3,4,0).同理,可得A1(3,0,5),C1(0,4,5),与B的坐标相比,点B1的坐标中只有竖坐标不同,|BB1|=|AA1|=5,则B1(3,4,5).‎ ‎(2)由(1)知C(0,4,0),C1(0,4,5),‎ 则C1C的中点N为,‎ 即N.‎ 坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点 x轴上 ‎(x,0,0)‎ xOy平面上 ‎(x,y,0)‎ y轴上 ‎(0,y,0)‎ yOz平面上 ‎(0,y,z)‎ z轴上 ‎(0,0,z)‎ xOz平面上 ‎(x,0,z)‎ 坐标原点 ‎(0,0,0)‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,则E,F的坐标分别为________.‎ ‎[答案] E,F 求对称点的坐标 ‎【例2】 在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4).‎ ‎(1)求点P关于x轴的对称点的坐标;‎ ‎(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标;‎ ‎(3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标.‎ ‎[思路探究] 求对称点的坐标,可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长,使得垂足为所作线段的中点,再根据有关性质即可写出对称点坐标.‎ ‎[解] (1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P1(-2,-1,-4).‎ ‎(2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z 轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P2(-2,1,-4).‎ ‎(3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点.由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).‎ ‎1.求对称点的坐标可按以下规律写出:“关于谁对称谁不变,其余的符号均相反.”‎ 在空间直角坐标系中,任一点P(a,b,c)的几种特殊的对称点的坐标如下:‎ 对称轴或对称中心 对称点坐标 P(a,b,c)‎ x轴 ‎(a,-b,-c)‎ y轴 ‎(-a,b,-c)‎ z轴 ‎(-a,-b,c)‎ xOy平面 ‎(a,b,-c)‎ yOz平面 ‎(-a,b,c)‎ xOz平面 ‎(a,-b,c)‎ 坐标原点 ‎(-a,-b,-c)‎ ‎2.在空间直角坐标系中,若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则线段AB的中点坐标为.‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2.点P(-3,2,-1)关于平面xOz的对称点是________,关于z轴的对称点是________,关于M(1,2,1)的对称点是________.‎ ‎(-3,-2,-1) (3,-2,-1) (5,2,3) [点P(-3,2,-1)关于平面xOz的对称点是(-3,-2,-1),关于z轴的对称点是(3,-2,-1).设点P(-3,2,-1)关于M(1,2,1)的对称点为(x,y,z).‎ 则解得 故点P(-3,2,-1)关于点M(1,2,1)的对称点为(5,2,3).]‎ 空间向量的坐标表示 ‎[探究问题]‎ ‎1.在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,如何建立适当的空间直角坐标系?‎ ‎[提示] 分别取BC,B1C1的中点D,D1,以D为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示.‎ ‎2.若=(a,b,c),则的坐标是多少?‎ ‎[提示] =(-a,-b,-c).【例3】 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点,试建立恰当的坐标系求向量,,的坐标.‎ ‎[思路探究] 以点C为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,然后,把BN,,分别用,,表示出来,再写出它们的坐标.‎ ‎[解] 法一:由题意知CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥BC,以点C为原点,分别以CA,CB,CC1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示.‎ ‎∴=-=+-=-+,∴的坐标为(1,-1,1),‎ 而=-=-+,‎ ‎∴的坐标为(1,-1,2).‎ 又∵=-,∴的坐标为(-1,1,-2).‎ 法二:建系同法一,则B(0,1,0),A(1,0,0),A1(1,0,2),N(1,0,1),‎ ‎∴=(1,-1,1),=(1,-1,2),=(-1,1,-2).‎ ‎[变条件]本例中,若把条件“AA1=2”改为“AA1=1”,结果怎样?‎ ‎[解] 建系方式与例题相同,建系,=-+,因为{,,}为单位正交基底,‎ ‎∴=.‎ 又=-+,∴=(1,-1,1).‎ 所以=-=(-1,1,-1).‎ 用坐标表示空间向量的步骤 ‎[跟进训练]‎ ‎3.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,如图所示建立空间直角坐标系.‎ ‎(1)写出各顶点的坐标; ‎ ‎(2)写出向量,,的坐标.‎ ‎[解] (1)由题图知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),‎ ‎(2)因为E,F分别为棱BB1,DC的中点,‎ 由中点坐标公式,得E(2,2,1),F(0,1,0).‎ 所以=(-2,-1,-1),=(-2,-1,-2),=(0,2,-1).‎ ‎1.在空间直角坐标系中,确定点的坐标或求对称点坐标时,要记住规律:“在谁的轴上,谁属于R,其它为零;在谁的平面上,谁属于R,其它为零.”“关于谁对称谁不变,其余变成相反数.”‎ ‎2.空间几何体中,要得到有关点的坐标时,先建立适当的坐标系,一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴,然后选择基向量,根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示,即得所求向量的坐标.‎ ‎1.设点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P1,则点P1关于z轴的对称点P2的坐标是(  )‎ A.(1,1,-1) B.(-1,-1,-1)‎ C.(-1,-1,1) D.(1,-1,1)‎ B [由条件知,P1(1,1,-1),P1关于z轴的对称点为(-1,-1,-1).]‎ ‎2.在长方体ABCDA1B1C1D1中,若=3i,=2j,=5k,则向量在基底{i,j,k}下的坐标是(  )‎ A.(1,1,1) B. C.(3,2,5) D.(3,2,-5)‎ C [=++=++=3i+2j+5k,∴向量在基底{i,j,k}下的坐标是(3,2,5).]‎ ‎3.已知点A(1,2,2),B(1,-3,1),则AB的中点M的坐标为________.‎  [AB的中点坐标为,即.]‎ ‎4.已知PA⊥正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且AB=AP=1,分别以,,为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,求,的坐标.‎ ‎[解] 设=e1,=e2,=e3,则==e2,‎ =++ ‎=++ ‎=++(++)‎ ‎=-e2+e3+(-e3-e1+e2)‎ ‎=-e1+e3,‎ ‎∴=,=(0,1,0).‎
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