高一数学 (人教版必修3):第一章 算法初步 word版含解析

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高一数学 (人教版必修3):第一章 算法初步 word版含解析

重点列表: 重点 名称 重要指数 重点 1 算法的概念 ★★★ 重点 2 顺序结构 ★★★★ 重点 3 分支结构 ★★★★ 重点详解: 1.算法的概念及特点 (1)算法的概念 在数学中,算法通常是指按照一定______解决某一类问题的________和________的步骤. (2)算法的特点之一是具有______性,即算法中的每一步都应该是确定的,并能有效的执行, 且得到确定的结果,而不应是模棱两可的;其二是具有______性,即算法步骤明确,前一步 是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行后一步,并且每一步都准确无误才能解决问题; 其三是具有______性,即一个算法应该在有限步操作后停止,而不能是无限的;另外,算法 还具有不唯一性和普遍性,即对某一个问题的解决不一定是唯一的,可以有不同的解法,一 个好的算法应解决的是一类问题而不是一两个问题. 2.程序框图 (1)程序框图的概念 程序框图又称流程图,是一种用 、 及 来表示算法的图形. (2)构成程序框图的图形符号、名称及其功能 图形符 号 名 称 功 能 ① 表示一个算法的起始和 结束 ② 表示一个算法输入和输 出的信息 ③ 赋值、计算 ④ 判断某一条件是否成 立,成立时在出口处标 明“是”或“Y”;不成 立 时 标 明 “ 否 ” 或 “N” ⑤ 连接程序框 ○ ⑥ 连接程序框图的两部分 3. 算法的基本逻辑结构 (1)顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按__________的顺序进行 的.它是由若干个__________的步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的基本结构.顺序 结构可用程序框图表示为如图所示的形式: (2)条件结构 在一个算法中,经常会遇到一些条件的判断,算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.常 见的条件结构可以用程序框图表示为如图所示的两种形式: 程序语句 1.输入(INPUT)语句 输入语句的一般格式: . 要求: (1)输入语句要求输入的值是具体的常量; (2)提示内容提示用户输入的是什么信息,必须加双引号,“提示内容”原原本本地在计算机 屏幕上显示,提示内容与变量之间要用分号隔开; (3)一个输入语句可以给多个变量赋值,中间用“,”分隔. 2.输出(PRINT)语句 输出语句的一般格式: . 功能:实现算法输出信息(表达式). 要求: (1)表达式是指算法和程序要求输出的信息; (2)提示内容提示用户要输出的是什么信息,提示内容必须加双引号,提示内容要用分号和表 达式分开; (3)如同输入语句一样,输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能,不同的表达式之间可 用“,”分隔. 3.赋值语句 赋值语句的一般格式: . 赋值语句中的“=”叫做赋值号,它和数学中的等号不完全一样. 作用:赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量. 要求: (1)赋值语句左边只能是变量,而不是表达式,右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的 运算式.如:2=x 是错误的; (2)赋值号的左右两边不能对换.赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变 量.如“A=B”、“B=A”的含义和运行结果是不同的,如 x=5 是对的,5=x 是错的,A+B =C 是错的,C=A+B 是对的; (3)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等). 4.条件语句 (1)“IF—THEN”语句 格式: ____________________. 说明:当计算机执行“IF—THEN”语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果(IF)条件符合, 那么(THEN)执行语句体,否则执行 END IF 之后的语句. (2)“IF—THEN—ELSE”语句 格式: ____________________. 说明:当计算机执行“IF—THEN—ELSE”语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果(IF)条 件符合,那么(THEN)执行语句体 1,否则(ELSE)执行语句体 2. 【答案】 1.(1)规则 明确 有限 (2)确定 有序 有穷 2.(1)程序框 流程线 文字说明 (2)①终端框(起止框) ②输入、输出框 ③处理框(执行框) ④判断框 ⑤流程线 ⑥连接点 3.(1)从上到下 依次执行 程序语句 1.INPUT “提示内容”;变量 2.PRINT “提示内容”;表达式 3.变量=表达式 4.(1) IF 条件 THEN 语句体 END IF (2) 重点 1:算法的概念 【要点解读】 算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. 【考向 1】算法的概念 【例题】下列语句是算法的个数为( ) ①从济南到巴黎:先从济南坐火车到北京,再坐飞机到巴黎; ②统筹法中“烧水泡茶”的故事; ③测量某棵树的高度,判断其是否为大树; ④已知三角形的两边及夹角,利用三角形的面积公式求出该三角形的面积. A.1 B.2 C.3 D.4 【评析】算法过程要做到一步一步地执行,每一步执行的操作必须确切,不能含糊不清,且 在有限步后必须得到问题的结果. 【考向 2】经典算法 【例题】“韩信点兵”问题.韩信是汉高祖刘邦手下的大将,为了保守军事机密,他在点兵 IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF 时采用下述方法:先令士兵从 1~3 报数,结果最后一个士兵报 2;再令士兵从 1~5 报数,结 果最后一个士兵报 3;又令士兵从 1~7 报数,结果最后一个士兵报 4.这样,韩信很快就知道 了自己部队士兵的总人数.请设计一个算法,求出士兵至少有多少人. 解:在本题中,士兵从 1~3 报数,最后一个士兵报 2,说明士兵的总人数是除以 3 余 2,其 他两种情况依此类推. (算法一)步骤如下: 第一步:先确定最小的满足除以 7 余 4 的数是 4; 第二步:依次加 7 就得到所有满足除以 7 余 4 的数:4,11,18,25,32,39,46,53,60,…; 第三步:在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以 5 余 3 的正整数:18; 第四步:依次加上 35,得 18,53,88,…; 第五步:在第四步得到的一列数中,找到最小的满足除以 3 余 2 的正整数:53,这就是我们 要求的数. (算法二)步骤如下: 第一步:先确定最小的满足除以 3 余 2 的数是 2; 第二步:依次加 3 就得到所有满足除以 3 余 2 的数:2,5,8,11,14,17,20,23,26,29, 32,35,38,41,44,47,50,53,56,…; 第三步:在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以 5 余 3 的正整数:8; 第四步:然后依次加 15 就得 8,23,38,53,…,不难看出,这些数既满足除以 3 余 2,又 满足除以 5 余 3; 第五步:在第四步所得的一列数中找到满足除以 7 余 4 的最小数是 53,这就是我们要求的数. 【评析】给出一个问题,设计算法时要注意:(1)认真分析问题,研究解决此问题的一般方法; (2)将解决问题的过程分解成若干步骤;(3)用简练的语言将各步骤表示出来;(4)把解题过程 条理清楚地表达出来,就得到一个明确的算法.对于同一问题,可以设计不同的算法,其最 终的结果是一样的,但解决问题的繁简程度不同,我们要寻找最优算法. 重点 2:顺序结构 【要点解读】 (1)程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法 的图形. (2)程序框图通常由程序框和流程线组成. (3)基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框. 输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能 语句 一般格式 功能 输入语句 INPUT“提示内容”;变量 输入信息 输出语句 PRINT“提示内容”;表达式 输出常量、变量的值和系统信息 赋值语句 变量=表达式 将表达式的值赋给变量 【考向 1】顺序结构程序框图 【例题】已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,求点 P(x0,y0)到直线 l 的距离 d,写出 其算法并画出流程图. 解:算法如下: 第一步:输入 x0,y0 及直线方程的系数 A,B,C. 第二步:计算 z1=Ax0+By0+C. 第三步:计算 z2=A2+B2. 第四步:计算 d=|z1| z2 . 第五步:输出 d. 流程图如图所示: 【评析】顺序结构是一种最简单、最基本的结构,可严格按照传统的解题思路写出算法步骤, 画出程序框图.注意语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的. 【考向 2】顺序结构语句 【例题】请写出下面运算输出的结果. (1)a=5 b=3 c=(a+b)/2 d=c*c PRINT “d=”;d (2)a=1 b=2 c=a+b b=a+c-b PRINT “a=,b=,c=”;a,b,c (3)a=10 b=20 c=30 a=b b=c c=a PRINT “a=,b=,c=”;a,b,c 解:(1)语句“c=(a+b)/2”是将 a,b 之和的一半赋值给变量 c,语句“d=c*c”是将 c 的 平方赋值给 d,最后输出 d 的值.故输出结果为 d=16. (2)语句“c=a+b”是将 a,b 之和赋值给 c,语句“b=a+c-b”是将 a+c-b 的值赋值给 了 b.故输出结果为 a=1,b=2,c=3. (3)经过语句“a=b”后 a,b,c 的值是 20,20,30,经过语句“b=c”后 a,b,c 的值是 20,30,30,经过语句“c=a”后 a,b,c 的值是 20,30,20.故输出结果为 a=20,b=30, c=20. 【评析】①将一个变量的值赋给另一个变量,前一个变量的值保持不变;②可先后给一个变 量赋多个不同的值,但变量的取值总是最后被赋予的值. 重点 3:分支结构 【要点解读】 条件语句 (1)算法中的条件结构与条件语句相对应. (2)条件语句的格式及框图 ①IF-THEN 格式 ②IF-THEN-ELSE 格式 【考向 1】分支机构程序框图 【例题】某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用 c(单位:元)与行李的重量 w(单 位:kg)之间的关系为 c= 0.53w,w≤50, 50×0.53+(w-50)×0.85,w>50. 写出计算费用 c 的算法并画出程序框图. 解:算法如下: 第一步:输入行李的重量 w; 第二步:如果 w≤50,那么 c=0.53w, 否则 c=50×0.53+(w-50)×0.85; 第三步:输出托运费 c. 程序框图如图所示: 【评析】条件结构的运用与数学的分类讨论有关.设计算法时,哪一步要分类讨论,哪一步 就需要用条件结构. 【考向 2】条件语句 【例题】设计算法,求关于 x 的方程 ax+b=0 的解. 解:程序框图如图所示. 根据框图可写出程序语言: INPUT a,b IF a〈〉0 THEN PRINT “x=”;-b/a ElSE IF b=0 THEN PRINT “解集为 R” ELSE PRINT “此方程无解” END IF END IF END 【评析】对于三段或三段以上的分段函数求函数值的问题,通常需用条件语句的嵌套结构.本 例是条件语句内套条件语句,即用了两个条件语句,必须有两个 END IF,请读者指出前后 END IF 分别结束的条件语句. 难点列表: 难点 名称 难度指数 难点 1 循环结构 ★★★★ 难点 2 算法案例 ★★★★★ 难点详解: 循环结构 在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况,这 就是 .反复执行的步骤称为 . 循环结构有如下两种形式: ①如图 1,这个循环结构有如下特征:在执行了一次循环体后,对条件进行判断,如果条件不 满足,就继续执行循环体,直到条件满足时终止循环.因此,这种循环结构称为____________. ②如图 2 表示的也是常见的循环结构,它有如下特征:在每次执行循环体前,对条件进行判 断,当条件满足时,执行循环体,否则终止循环.因此,这种循环结构称为____________. 循环语句 (1)当型循环语句 当型(WHILE 型)语句的一般格式为: ________________. (2)直到型循环语句 直到型(UNTIL 型)语句的一般格式为: ______________. 【答案】循环结构 循环体 ①直到型循环结构 ②当型循环结构 (1) WHILE 条件 循环体 WEND (2) DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 难点 1:循环结构 【要点解读】 循环语句 (1)算法中的循环结构与循环语句相对应. (2)循环语句的格式及框图. ①UNTIL 语句 ②WHILE 语句 【考向 1】循环结构程序框图 【例题】设计一个算法求 1+1 2 +…+1 9 + 1 10 的值,并画出程序框图. 解:当型循环: 算法如下: 第一步:令 i=1,S=0; 第二步:若 i≤10 成立,则执行第三步,否则,输出 S; 第三步:计算 S=S+1 i ,i=i+1,返回第二步. 程序框图如图所示: 直到型: 算法如下: 第一步:令 i=1,S=0; 第二步:计算 S=S+1 i ,i=i+1; 第三步:若 i>10,则输出 S,否则,返回第二步. 程序框图如图所示: 【评析】如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作,且先后参与运算的数之间有 相同的规律,就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量),应用循环结构.在循环结 构中,要注意根据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量及其个数等,特别要使条件的 表述恰当、准确. 【考向 2】循环语句 【例题】读下面的程序: INPUT n i=1 S=1 WHILE i<=n S=S*i i=i+1 WEND PRINT S END 上面的程序在执行时输入 6,那么输出的结果为( ) A.6 B.720 C.120 D.1 【评析】计算机执行此程序时,遇到 WHILE 语句,先判断条件是否成立,如果成立,则执行 WHILE 和 WEND 之间的循环体,然后返回到 WHILE 语句再判断上述条件是否成立,直至返回到 WHILE 语句判断上述条件不成立为止,这时不再执行循环体,而执行 WEND 后面的语句,这是 当型循环. 难点 2:算法案例 【要点解读】 算法案例 (1)辗转相除法 辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种方法,这种算法是由欧几里得在公元前 330 年左右首先提出的,因此又叫欧几里得算法. (2)更相减损术的定义 任给两个正整数(若是偶数,先用 2 约数),以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小 的数比较,并以大数减小数,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)(或这个数与约简的数 的乘积)就是所求的最大公约数. (3)秦九韶算法 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元 n 次多项式的值的方法. 【考向 1】辗转相除法与更相减损术 【例题】用更相减损术求 120 与 75 的最大公约数时,反复相减,直至求出结果,进行减法运 算的次数为( ) A.4 B.5 C.6 D.3 解析:∵120-75=45,75-45=30,45-30=15,30-15=15, ∴120 与 75 的最大公约数是 15,共进行 4 次减法运算. 答案:A 【考向 2】秦九昭算法 【例题】用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+8 的值,当 x=3 时, v3 的值为( ) A.27 B.86 C.262 D.789 答案:B 【趁热打铁】 1.用辗转相除法求 108 和 45 的最大公约数为( ) A.2 B.9 C.18 D.27 2.已知程序如下: 当输入 x 的值为 5 时,输出的结果为( ) A.15 B.76 C.84 D.34 3.某程序框图如图所示,该程序运行后输出 S 的结果是( ) A.3 2 B.1 6 C.25 12 D.137 60 4.下列程序运行后的输出结果是( ) A.17 B.19 C.21 D.23 5.计算机中常用 16 进制,采用数字 0~9 和字母 A~F 共 16 个计数符号,与 10 进制的对应 关系如下表: 16 进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 那么,16 进制中的 16C 化为十进制数应为( ) A.1 612 B.364 C.5 660 D.360 6.如下框图,当 x1=6,x2=9,p=8.5 时,x3 等于( ) A.7 B.8 C.10 D.11 7.如图框图 (1)若输入 4,则输出的是________; (2)若输出 32,则输入的是________. 8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 S=________. 9.根据如图所示的框图,说明该流程图解决什么问题,写出相应的算法,并回答下列问题: (1)若输入 x 的值为 5,则输出的结果是什么? (2)若输出的值为 8,则输入的 x 的值是什么? (3)要使输出的值最小,输入的 x 的值应是多少? 10.如图是为求 310 的值而设计的程序框图,请回答下列问题. (1)将空白处补上,指明它是循环结构中的哪一种类型; (2)画出它的另一种循环结构框图. 第一章 1 解析:∵108=2×45+18,45=2×18+9,18=9×2, ∴108 和 45 的最大公约数为 9. 答案:B 2 解析:该程序表示的是输入 x 输出函数 y= 3x, x≤5, 5.5×10+ x-2× 7, x>5 的值. 答案:A 答案:C 5 解析:16C(16)=1×162+6×16+12×160=256+96+12=364. 答案:B 6 解析:当 x3=7 时,|6-9|<|9-7|,即 3<2,此时 p=9+7 2 =8,输出 p=8,A 不正确;当 x3=8 时,|6-9|<|9-8|,即 3<1,此时 p=9+8 2 =8.5,输出 p=8.5,B 正确.同理可验证 C、 D 不正确. 答案:B 7 解析:(1)若输入 4, ∵4>1, ∴y=-2×4+32=24. (2)若输出 32,当 x2+4x=32 时,x1=4,x2=-8; 当 32=-2x+32 时 x=0, ∵4>1,-8<1,当 x=0 时,y=02+4×0=0≠32, ∴x=-8. 答案:(1)24 (2)-8 8 解析:第一次循环 S=1,a=3,n=2, 第二次循环 S=4,a=5,n=3, 第三次循环 S=9,a=7,跳出循环. 故输出的值为 9. 答案:9 10 解:(1)空白部分应填:i≤10?,它为当型循环结构; (2)直到型循环结构的程序框图如下图所示:
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