【数学】2021届一轮复习人教A版随机事件的概率学案

【数学】2021届一轮复习人教A版随机事件的概率学案

‎2021届一轮复习人教A版 随机事件的概率 学案 ‎1．事件 ‎(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件。‎ ‎(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。‎ ‎(3)在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。‎ ‎2．概率和频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否发生，称n次试验中事件A发生的次数nA为事件A发生的频数，称事件A发生的比例fn(A)＝为事件A发生的频率。‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)。‎ ‎3．事件的关系与运算 ‎4.概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P≤1。‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝1。‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)＝0。‎ ‎(4)概率的加法公式：‎ 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。‎ ‎(5)对立事件的概率：‎ 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。‎ ‎1．频率与概率 频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小。‎ ‎2．互斥与对立 对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立。‎ ‎3．概率加法公式的注意点 ‎(1)要确定A，B互斥方可运用公式。‎ ‎(2)A，B为对立事件时并不一定A与B发生的可能性相同，即P(A)＝P(B)可能不成立。‎ 一、走进教材 ‎1．(必修3P121练习T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)‎ A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 解析　射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少有一次中靶的互斥事件是两次都不中靶。故选D。‎ 答案　D ‎2．(必修3P123A组T3改编)李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：‎ 成绩 人数 ‎90分以上 ‎42‎ ‎80～89分 ‎172‎ ‎70～79分 ‎240‎ ‎60～69分 ‎86‎ ‎50～59分 ‎52‎ ‎50分以下 ‎8‎ 经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：‎ ‎(1)90分以上的概率：________。‎ ‎(2)不及格(60分及以上为及格)的概率：________。‎ 解析　(1)＝0.07。(2)＝0.1。‎ 答案　(1)0.07　(2)0.1‎ 二、走近高考 ‎3．(2018·江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________。‎ 解析　记2名男生分别为A，B,3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为。‎ 答案　 ‎4．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)‎ A．0.3 B．0.4‎ C．0.6 D．0.7‎ 解析　设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4。故选B。‎ 答案　B 三、走出误区 微提醒：①求基本事件时出错；②确定对立事件时出错；③互斥事件判定出错。‎ ‎5．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则平局的概率为________；甲赢的概率为________。‎ 解析　设平局(用△表示)为事件A，甲赢(用⊙表示)为事件B，乙赢(用※表示)为事件C。容易得到如图。‎ 平局含3个基本事件(图中的△)，P(A)＝＝。甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝＝。‎ 答案　　 ‎6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________。‎ 解析　因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”，且P(A)＝0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率为1－0.65＝0.35。‎ 答案　0.35‎ ‎7．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8。现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率。先由计算器算出0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，因为射击4次，所以以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果。经随机模拟产生了20组随机数：‎ ‎5727　0293　7140　9857　0347‎ ‎4373　8636　9647　1417　4698‎ ‎0371　6233　2616　8045　6011‎ ‎3661　9597　7424　6710　4281‎ 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为________。‎ 解析　该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事件的对立事件，故看这20组数据中每组数据含有0和1的个数多少，含有2个或2个以上的有5组数据，故所求概率为＝0.75。‎ 答案　0.75‎ 考点一随机事件关系的判断 ‎【例1】　(1)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是(　　)‎ A．A与B是不可能事件 B．A＋B＋C是必然事件 C．A与B不是互斥事件 D．B与C既是互斥事件也是对立事件 ‎(2)一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为，则概率是的事件是(　　)‎ A．恰有一个红球 B．两个小球都是白球 C．至多有一个红球 D．至少有一个红球 解析　(1)“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A、B两项错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C项正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D项错误。故选C。‎ ‎(2)因为＝1－，所以概率是的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”。‎ 答案　(1)C　(2)C 互斥、对立事件的判别方法 ‎1．在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件。‎ ‎2．两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件。‎ 提醒：对立事件一定是互斥事件。‎ ‎【变式训练】　从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是(　　)‎ A．① B．②④‎ C．③ D．①③‎ 解析　从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数。其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件。又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件。‎ 答案　C 考点二随机事件的频率与概率 ‎【例2】　电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值。‎ ‎(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；‎ ‎(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；‎ ‎(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化。假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)‎ 解　(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，‎ 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50。‎ 故所求概率为＝0.025。‎ ‎(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是 ‎140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372。‎ 故所求概率估计为1－＝0.814。‎ ‎(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率。‎ 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值。‎ ‎【变式训练】　(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关。如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40]‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率。‎ ‎(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)。当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率。‎ 解　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6。‎ ‎(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，‎ 若最高气温不低于25，‎ 则Y＝6×450－4×450＝900；‎ 若最高气温位于区间[20,25)，‎ 则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100。‎ 所以，Y的所有可能值为900,300，－100。‎ Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8。‎ 考点三互斥事件与对立事件 ‎【例3】　某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示。‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数/人 x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间 ‎/(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%。‎ ‎(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率。(将频率视为概率)‎ 解　(1)由已知得x＋30＝45,25＋y＋10＝55，所以x＝15，y＝20。该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)。‎ ‎(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得 P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝。‎ 因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，‎ 所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)‎ ‎＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝。‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为。‎ 解：记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，则A的对立事件为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，由题表，知P()＝＝。‎ 所以P(A)＝1－P()＝1－＝。‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为。‎ ‎1．求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来。‎ ‎2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率，再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解。当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法。‎ ‎【变式训练】　公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是3.141 592 6<π<3.141 592 7。为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把3.141 592 6称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就。某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为(　　)‎ A． B． C． D． 解析　选择数字的总的方法有5×6＋1＝31(种)，其中得到的数不大于3.14的数为3.11,3.12,3.14，所以得到的数大于3.14的概率为P＝1－＝。故选A。‎ 答案　A ‎(配合例2使用)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。‎ 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎300‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎85‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎98‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；‎ ‎(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；‎ ‎(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？‎ 解　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，‎ 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2。‎ ‎(2)从统计表可以看出，在这1‎ ‎ 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。‎ 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3。‎ ‎(3)与(1)同理，可得 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，‎ 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6。‎ 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1。‎ 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。‎