【数学】2019届高考一轮复习北师大版理6-2等差数列及其前n项和学案

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理6-2等差数列及其前n项和学案

第2讲　等差数列及其前n项和 ‎1．等差数列的有关概念 ‎(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．‎ ‎(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．‎ ‎2．等差数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．‎ ‎3．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．‎ ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．‎ ‎(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．‎ ‎(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．‎ ‎4．等差数列的增减性与最值 公差d>0时为递增数列，且当a1<0时，前n项和Sn有最小值；公差d<0时为递减数列，且当a1>0时，前n项和Sn有最大值．‎ ‎5．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，(n，an)在一次函数y＝px＋q的图象上，即公差不为零的等差数列的图象是直线y＝px＋q上的均匀排开的一群孤立的点．当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)‎ ‎(2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　)‎ ‎(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)‎ ‎(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)‎ ‎(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)‎ ‎(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ 解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，‎ 所以所以d＝4，故选C.‎ ‎ (教材习题改编)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)‎ A．5 B．7‎ C．9 D．11‎ 解析：选A.法一：因为a1＋a5＝2a3，所以a1＋a3＋a5＝3a3＝3，所以a3＝1，所以S5＝＝5a3＝5，故选A.‎ 法二：因为a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，‎ 所以a1＋2d＝1，‎ 所以S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.‎ ‎ (教材习题改编)在等差数列11，8，5，…中，－49是它的第________项．‎ 解析：a1＝11，d＝8－11＝－3，‎ 所以an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14.‎ 由－3n＋14＝－49，得n＝21.‎ 答案：21‎ ‎ 已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．‎ 解析：由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.‎ 答案：27‎ ‎　　　　　　等差数列的基本运算(高频考点) ‎ 等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题．高考对等差数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：‎ ‎(1)求公差d、项数n或首项a1；‎ ‎(2)求通项或特定项；‎ ‎(3)求前n项和．‎ ‎[典例引领]‎ 角度一　求公差d、项数n或首项a1‎ ‎ (2018·洛阳市第一次统一考试)等差数列{an}为递增数列，若a＋a＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差d等于(　　)‎ A．1　 B．2‎ C．9 D．10‎ ‎【解析】　依题意得(a1＋a10)2－2a1a10＝(a5＋a6)2－2a1a10＝121－2a1a10＝101，所以a1a10＝10，又a1＋a10＝a5＋a6＝11，a10，a2 016＋a2 017>0，a2 016·‎ a2 017<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是(　　)‎ A．2 016 B．2 017‎ C．4 032 D．4 033‎ 解析：选C.因为a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 032＝＝>0，S4 033＝＝‎ ‎4 033a2 017<0，所以使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4 032.‎ ‎ 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d可变形为an＝dn＋(a1－d)．‎ 若d＝0，则an＝a1，其是常数函数；‎ 若d≠0，则an是关于n的一次函数．‎ ‎(n，an)是直线y＝dx＋(a1－d)上一群孤立的点．‎ 单调性：d>0时，{an}为单调递增数列；d<0时，{an}为单调递减数列．‎ ‎ 等差数列{an}的前n项和Sn可表示为Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn.‎ 当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题．‎ ‎ 易错防范 ‎(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．‎ ‎(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则a5＝(　　)‎ A．11 B．10‎ C．7 D．3‎ 解析：选B.设数列{an}的公差为d，则有解得所以a5＝－2＋4×3＝10.‎ ‎2．(2018·兰州市诊断考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝(　　)‎ A．36 B．72‎ C．144 D．288‎ 解析：选B.法一：因为a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，所以d＝，所以S9＝9×2＋×＝72.‎ 法二：因为a8＋a10＝2a9＝28，所以a9＝14，所以S9＝＝72.‎ ‎3．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，若ak·ak＋1<0，则正整数k＝(　　)‎ A．21 B．22‎ C．23 D．24‎ 解析：选C.3an＋1＝3an－2⇒an＋1＝an－⇒{an}是等差数列，则an＝－n.因为ak·ak＋1<0，所以<0，所以

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