- 2021-05-26 发布 |
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文档介绍
【数学】2019届高考一轮复习北师大版理6-2等差数列及其前n项和学案
第2讲 等差数列及其前n项和 1.等差数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数). (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项. 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:an=a1+(n-1)d. (2)前n项和公式:Sn=na1+d=. 3.等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和. (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an. (3)若{an}的公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d. (4)若{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列. 4.等差数列的增减性与最值 公差d>0时为递增数列,且当a1<0时,前n项和Sn有最小值;公差d<0时为递减数列,且当a1>0时,前n项和Sn有最大值. 5.等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,(n,an)在一次函数y=px+q的图象上,即公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点.当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点. 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( ) (2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.( ) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( ) (5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( ) (6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)× (2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:选C.设等差数列{an}的公差为d, 所以所以d=4,故选C. (教材习题改编)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 解析:选A.法一:因为a1+a5=2a3,所以a1+a3+a5=3a3=3,所以a3=1,所以S5==5a3=5,故选A. 法二:因为a1+a3+a5=a1+(a1+2d)+(a1+4d)=3a1+6d=3, 所以a1+2d=1, 所以S5=5a1+d=5(a1+2d)=5,故选A. (教材习题改编)在等差数列11,8,5,…中,-49是它的第________项. 解析:a1=11,d=8-11=-3, 所以an=11+(n-1)×(-3)=-3n+14. 由-3n+14=-49,得n=21. 答案:21 已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),则数列{an}的前9项和等于________. 解析:由a1=1,an=an-1+(n≥2),可知数列{an}是首项为1,公差为的等差数列,故S9=9a1+×=9+18=27. 答案:27 等差数列的基本运算(高频考点) 等差数列基本量的计算是高考的常考内容,多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中,属容易题.高考对等差数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度: (1)求公差d、项数n或首项a1; (2)求通项或特定项; (3)求前n项和. [典例引领] 角度一 求公差d、项数n或首项a1 (2018·洛阳市第一次统一考试)等差数列{an}为递增数列,若a+a=101,a5+a6=11,则数列{an}的公差d等于( ) A.1 B.2 C.9 D.10 【解析】 依题意得(a1+a10)2-2a1a10=(a5+a6)2-2a1a10=121-2a1a10=101,所以a1a10=10,又a1+a10=a5+a6=11,a1查看更多
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