2020年高中数学第二章向量在物理中的应用举例

2020年高中数学第二章向量在物理中的应用举例

‎2.5.1‎‎-2.5.2 向量在物理中的应用举例 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组　基础巩固]‎ ‎1．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　　)‎ A．2 B. C．3 D. 解析：BC的中点为D，＝，所以||＝.‎ 答案：B ‎2．一个人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为(　　)‎ A．v1－v2 B．v1＋v2‎ C．|v1|－|v2| D. 解析：根据速度的合成可知．‎ 答案：C ‎3．给出下面四个结论：‎ ‎①若线段AC＝AB＋BC，则＝＋；‎ ‎②若＝＋，则线段AC＝AB＋BC；‎ ‎③若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC；‎ ‎④若向量与反向共线，|＋|＝AB＋BC；‎ 其中正确的结论有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：结论①正确，当AC＝AB＋BC时，B点在线段AC上，这时＝＋.结论②不正确，A，B，C三点不共线时，也有向量＝＋，而AC≠AB＋BC.结论③④不正确．‎ 答案：B ‎4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 7‎ 解析：因为|－|＝||＝|－|，|＋－2|＝|＋|，‎ 所以|－|＝|＋|，‎ 所以以，为邻边的四边形为矩形，即∠BAC＝90°，所以△ABC为直角三角形．‎ 答案：B ‎5．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)‎ A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 解析：∵||＝||＝||，即点O到A，B，C三点的 距离相等，∴点O为△ABC的外心．‎ 如图，设D为BC边的中点，则＋＝2.‎ ‎∵＋＋＝0，‎ ‎∴＋2＝0，∴＝2，‎ ‎∴A，D，N三点共线，‎ ‎∴点N在BC边的中线上．‎ 同理，点N也在AB，AC边的中线上，‎ ‎∴点N是△ABC的重心．‎ ‎∵·＝·，‎ ‎∴·－·＝0，‎ ‎∴·(－)＝0，‎ ‎∴·＝0，∴⊥.‎ 同理，⊥，⊥，‎ ‎∴点P为△ABC的垂心．‎ 答案：C 7‎ ‎6．已知向量a＝(6,2)，b＝，过点A(3，－1)且与向量a＋2b平行的直线l的方程为________．‎ 解析：由题意得a＋2b＝(－2,3)，则直线l的方程为3(x－3)＋2(y＋1)＝0，即3x＋2y－7＝0.‎ 答案：3x＋2y－7＝0‎ ‎7．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，＝(＋)，且||＝||，则·＝________.‎ 解析：设BC的中点是D，如图所示，则＋＝2，则＝，‎ 所以O和D重合，所以BC是圆O的直径，‎ 所以∠BAC＝90°.‎ 又||＝||，‎ 则||＝1，||＝2，所以∠ABC＝60°，‎ 所以·＝||||cos 60°‎ ‎＝1×2×＝1.‎ 答案：1‎ ‎8．一个物体在大小为10N的力F的作用下产生的位移s的大小为‎50 m，且力F所做的功W＝250J，则F与s的夹角等于________．‎ 解析：设F与s的夹角为θ，由W＝F·s，得250＝10×50×cos θ，∴cos θ＝.‎ 又θ∈[0，π]，∴θ＝.‎ 答案： ‎9．如图在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，‎ PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF.‎ 求证：DP⊥EF.‎ 证明：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0＜a＜1)，‎ 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a.‎ 于是·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝·＋·＋·＋· 7‎ ‎＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°‎ ‎＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.所以⊥，‎ 所以DP⊥EF.‎ ‎10．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为‎8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了‎20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝‎10 m/s2)‎ 解析：如图所示，设木块的位移为s，则 WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)．‎ 将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为 ‎|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，‎ 所以，摩擦力f的大小为 ‎|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，‎ 因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°‎ ‎＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．‎ 即F和f所做的功分别为500 J和－22 J.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．水平面上的物体受到力F1，F2的作用，F1水平向右，F2与水平向右方向的夹角为θ，物体在运动过程中，力F1与F2的合力所做的功为W，若物体一直沿水平地面运动，则力F2对物体做功的大小为(　　)‎ A.W B.W C.W D.W 解析：设物体的位移是s，‎ 根据题意有(|F1|＋|F2|·cos θ)|s|＝W，‎ 即|s|＝，所以力F2对物体做功的大小为W.‎ 答案：D ‎2．设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为(　　)‎ A. B. C. D. 7‎ 解析：如图1，过P作PE∥AC交AB于E，过P作PF∥AB，交AC于点F，‎ 过C作CD⊥AB于D，‎ 由平面向量基本定理及＝＋可知＝，|PE|＝|AF|，‎ 故＝＝，‎ 又因为Rt△ACD∽Rt△EPO，‎ 所以＝＝，‎ ＝＝，‎ 如图2，同理可证 ＝＝＝，‎ 所以＝＝.‎ 答案：B ‎3．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在变动时，a的范围是________．‎ 解析：已知＝(1,1)，即A(1,1)，如图所示，‎ 当点B位于B1和B2时，a与b夹角为，‎ 即∠AOB1＝∠AOB2＝，‎ 此时∠B1Ox＝－＝，‎ ‎∠B2Ox＝＋＝，‎ 7‎ 故B1，B2(1，)，又a与b夹角不为0，‎ 故a≠1，由图象可知a的范围是∪(1，)．‎ 答案：∪(1，)‎ ‎4．已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点，则(＋)·(＋)的最大值为________．‎ 解析：如图所示，设＝x，＝a，＝b，‎ 则a·b＝0，＝b－a，＝x＝x(a＋b)，‎ 其中x∈[0,1]，所以＝－＝a－x(a＋b)‎ ‎＝(1－x)a－xb，‎ ＝－＝b－x(a＋b)＝－xa＋(1－x)b，‎ 所以(＋)·(＋)＝[x(a＋b)＋b－a]·[(1－x)a－xb－xa＋(1－x)b]＝[(x－1)a＋(x＋1)b]·[(1－2x)a＋(1－2x)b]＝－16x2＋8x＝－162＋1，‎ 由于x∈[0,1]，则－162＋1的最大值为1.‎ 答案：1‎ ‎5．平面直角坐标系xOy中，已知向量＝(6,1)，‎ ＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥.‎ ‎(1)求x与y间的关系．‎ ‎(2)若⊥，求x与y的值及四边形ABCD的面积．‎ 解析：(1)由题意得＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝(x，y)，‎ 因为∥，所以(x＋4)y－(y－2)x＝0，‎ 即x＋2y＝0　①‎ ‎(2)由题意得＝＋＝(x＋6，y＋1)，‎ ＝＋＝(x－2，y－3)，‎ 7‎ 因为⊥，所以·＝0，‎ 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，即x2＋y2＋4x－2y－15＝0　②‎ 由①②得或 当时，＝(8,0)，＝(0，－4)，‎ 则S四边形ABCD＝||||＝16，‎ 当时，＝(0,4)，＝(－8,0)，‎ 则S四边形ABCD＝||||＝16，‎ 所以或四边形ABCD的面积为16.‎ ‎6．如图，在直角三角形ABC中，已知BC＝a，若长为‎2a 的线段PQ以A为中点，问与的夹角θ取何值时，‎ ·的值最大，并求出这个最大值．‎ 解析：因为⊥，‎ 所以·＝0.‎ 因为＝－，＝－，＝－，‎ ·＝(－)·(－)‎ ‎＝·－·－·＋· ‎＝－a2－·＋· ‎＝－a2＋·(－)‎ ‎＝－a2＋· ‎＝－a2＋a2cos θ.‎ 故当cos θ＝1，即θ＝0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.‎ 7‎