人教a版高中数学选修1-1课时提升作业(九)2-1-1椭圆及其标准方程探究导学课型word版含答案

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人教a版高中数学选修1-1课时提升作业(九)2-1-1椭圆及其标准方程探究导学课型word版含答案

温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业(九) 椭圆及其标准方程 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.椭圆 +y2=1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2,则点 P 到另一个焦点的距离为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】选 D.因为 a=5,点 P 到一个焦点的距离为 2,所以点 P 到另一个焦点的距离为 2× 5-2=8. 2.(2015·珠海高二检测)椭圆 + =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中 点在 y 轴上,那么|PF1|是|PF2|的 ( ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍 【解析】选 A.不妨设 F1(-3,0),F2(3,0),由条件知 P ,即|PF2|= ,由椭圆 定义知|PF1|+|PF2|=2a=4 ,|PF1|= ,|PF2|= , 即|PF1|=7|PF2|. 3.已知椭圆过点 P 和点 Q ,则此椭圆的标准方程是 ( ) A. +x2=1 B. +y2=1 或 x2+ =1 C. +y2=1 D.以上都不对 【解析】选 A.设椭圆方程为:Ax2+By2=1(A>0,B>0), 由题意得 解得 4.若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 ( ) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 【解析】选 D.先将方程 x2+ky2=2 变形为 + =1. 要使方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,需 >2, 即 00).且焦距为 6,则实数 m 的值为__________. 【解析】若椭圆的焦点在 x 轴上,则 a2=25,b2=m2, 因为 a2=b2+c2, 即 25=m2+9,所以 m2=16, 因为 m>0,所以 m=4. 若椭圆的焦点在 y 轴上, 则 a2=m2,b2=25, 由 a2=b2+c2, 所以 m2=25+9, 所以 m2=34,因为 m>0,所以 m= . 综上可得 m=4 或 m= . 答案:m=4 或 m= 【误区警示】忽视焦点位置,导致丢解 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中 x2 和 y2 项分母的大小,如果 x2 项的分母 大于 y2 项的分母,则椭圆的焦点在 x 轴上;反之,焦点在 y 轴上.由于本题中 x2 和 y2 项分母 的大小不确定,因此需要进行分类讨论. 【补偿训练】椭圆 + =1 的焦距等于 2,则 m 的值是________. 【解析】当焦点在 x 轴上时,m-15=1,m=16;当焦点在 y 轴上时,15-m=1,m=14. 答案:16 或 14 7.(2015·双鸭山高二检测)已知 F1,F2 是椭圆 C: + =1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点, 且 ⊥ ,若△PF1F2 的面积为 9,则 b=__________. 【解析】因为 ⊥ , 所以 PF1⊥PF2, 因此|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2. 即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2, 所以(2a)2-2|PF1|·|PF2|=(2c)2, 因此|PF1|·|PF2|=2b2. 由 = |PF1|·|PF2|=b2=9,所以 b=3. 答案:3 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 顶点 A(-4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭圆 + =1 上,则 =____________. 【解题指南】利用正弦定理求解. 【解析】由题意知,A,C 为椭圆的两焦点, 则|AC|=8,|AB|+|BC|=10. 所以, = = = . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)椭圆上一点 P(3,2)到两焦点的距离之和为 8. (2)椭圆两焦点间的距离为 16,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 9 和 15. 【解析】(1)①若焦点在 x 轴上, 可设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0). 由题意知 2a=8,所以 a=4, 又点 P(3,2)在椭圆上, 所以 + =1,得 b2= . 所以椭圆的标准方程为 + =1. ②若焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为: + =1(a>b>0), 因为 2a=8,所以 a=4. 又点 P(3,2)在椭圆上, 所以 + =1,得 b2=12. 所以椭圆的标准方程为 + =1. 由①②知椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. (2)由题意知,2c=16,2a=9+15=24, 所以 a=12,c=8, 所以 b2=80. 又焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上, 所以所求方程为 + =1 或 + =1. 10.已知圆 B:(x+1)2+y2=16 及点 A(1,0),C 为圆 B 上任意一点,求 AC 的垂直平分线 l 与线 段 CB 的交点 P 的轨迹方程. 【解题指南】利用椭圆定义先判断 P 的轨迹是椭圆. 【解析】如图所示,连接 AP, 因为 l 垂直平分 AC,所以|AP|=|CP|, 所以|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4. 所以 P 点的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆. 因为 2a=4,2c=|AB|=2, 所以 a=2,c=1,b2=a2-c2=3. 所以点 P 的轨迹方程为 + =1. (20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2015·长春高二检测)在△ABC 中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC 满足的条 件,就能得到动点 A 的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程: 条件 方程 ①△ABC 周长为 10 C1:y2=25 ②△ABC 面积为 10 C2:x2+y2=4(y≠0) ③△ABC 中,∠A=90° C3: + =1(y≠0) 则满足条件①②③的点 A 轨迹方程按顺序分别是 ( ) A.C3,C1,C2 B.C2,C1,C3 C.C1,C3,C2 D.C3,C2,C1 【解题指南】根据条件逐一判断轨迹形状. 【解析】选 A.当△ABC 的周长为常数时,顶点 A 到点 B,C 的距离之和为常数,所以轨迹为 椭圆;当△ABC 的面积为常数时,顶点 A 到直线 BC 的距离为常数,所以轨迹为平行于 BC 的 两条直线;当△ABC 中∠A=90°时,轨迹是以线段 BC 为直径的圆,故选 A. 2.设α∈ ,方程 x2sinα+y2cosα=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则α的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.由题意可知 < , 所以 sinα>cosα>0, 又因为α∈ ,解得 <α< . 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2015·南昌 高二检 测) 与椭 圆 9x2+4y2=36 有相 同焦点 ,且 b=2 的椭 圆方程 是 __________. 【解析】由 9x2+4y2=36,得 + =1, 所以 =9, =4,得 c1= , 所以焦点坐标为(0, ),(0,- ). 因 为 所 求 椭 圆 与 9x2+4y2=36 有 相 同 焦 点 , 设 方 程 为 + =1 , 则 a2=b2+c2=(2 )2+( )2=25, 所以所求方程为 + =1. 答案: + =1 【一题多解】由 9x2+4y2=36,得 + =1, 设与 9x2+4y2=36 共焦点的椭圆的方程为 + =1. 由 4+k=(2 )2,得 k=16. 所以所求椭圆方程为 + =1. 答案: + =1 4.(2015·哈尔滨高二检测)已知椭圆 +y2=1 的焦点为 F1,F2,设 P(x0,y0)为椭圆上一点, 当∠F1PF2 为直角时,点 P 的横坐标 x0=__________. 【解析】由椭圆的方程为 +y2=1,得 c=2, 所以 F1(-2,0),F2(2,0), =(-2-x0,-y0), =(2-x0,-y0). 因为∠F1PF2 为直角,所以 · =0, 即 + =4,① 又 + =1,② ①②联立消去 得 = , 所以 x0=± . 答案:± 【延伸探究】若把条件“当∠F1PF2 为直角时”改为|PF1|= + , 则∠F1PF2=__________. 【解析】由椭圆的方程为 +y2=1, 得 2a=2 ,2c=4,因为|PF1|+|PF2|=2a=2 , 所以|PF2|= - , 而|PF1|2+|PF2|2=( + )2+( - )2=16=|F1F2|2,所以∠F1PF2 为直角. 答案:90° 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.设椭圆 E: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两 点,满足|AF1|=2|F1B|,且|AB|=3,△ABF2 的周长为 12. (1)求|AF2|. (2)若 cos∠F1AF2=- ,求椭圆 E 的方程. 【解析】(1)|AF1|=2|F1B|,|AB|=3, 所以|AF1|=2,|F1B|=1. 因为 4a=12,所以 a=3, 所以|AF1|+|AF2|=6,所以|AF2|=4. (2)因为|AF1|=2,|AF2|=4,cos∠F1AF2=- , 所以|F1F2|= =2 , 所以 c= ,b2=a2-c2=3, 所以椭圆 E 的方程为 + =1. 6.(2015·南京高二检测)设 F1,F2 分别是椭圆 +y2=1 的两焦点,B 为椭圆上的点且坐标为(0, -1). (1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求| |·| |的最大值. (2)若 C 为椭圆上异于 B 的一点,且 =λ ,求λ的值. 【解析】(1)因为椭圆的方程为 +y2=1, 所以 a=2,b=1,c= , 即|F1F2|=2 , 又因为|PF1|+|PF2|=2a=4, 所以|PF1|·|PF2|≤ = =4, 当且仅当|PF1|=|PF2|=2 时取“=”, 所以|PF1|·|PF2|的最大值为 4, 即| |·| |的最大值为 4. (2)设 C(x0,y0),B(0,-1),F1(- ,0), 由 =λ 得 x0= ,y0=- . 又 + =1,所以有λ2+6λ-7=0, 解得λ=-7 或λ=1,又 与 方向相反,故λ=1 舍去,λ=-7. 关闭 Word 文档返回原板块
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