北京四中数学高考总复习数列的应用之知识讲解例题及答案

北京四中数学高考总复习数列的应用之知识讲解例题及答案

北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案 知识网络：‎ ‎　　　　　　　　　　　 目标认知 考试大纲要求： 　　1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用； 　　2.掌握常见的求数列通项的一般方法； 　　3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问题. 　　4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. 重点： 　　1.掌握常见的求数列通项的一般方法； 　　3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题 难点： 　　用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. 知识要点梳理 知识点一：通项与前n项和的关系 　　任意数列的前n项和； 　　 　　注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行： 　　（1）求， 　　（2）求出当n≥2时的， 　　（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式. ‎ 知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法 1.迭加累加法： 　　， 　　则，，…， 　　　 2.迭乘累乘法： 　　， 　　则，，…， 　　 知识点三：数列应用问题 　　1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型. 　　2.建立数学模型的一般方法步骤. 　　①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： 　　⑴明确问题属于哪类应用问题； 　　⑵弄清题目中的主要已知事项； 　　⑶明确所求的结论是什么. 　　②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达. 　　③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）. 规律方法指导 　　1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想； 　　2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 　　3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意： 　　（1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想； 　　（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力.‎ 经典例题精析 类型一：迭加法求数列通项公式 　　1．在数列中，，，求. 　　解析：∵， 　　　　　当时， 　　　　　， 　　　　　， 　　　　　， 　　　　　 　　　　　 　　　　　将上面个式子相加得到： 　　　　　 　　　　　∴（）， 　　　　　当时，符合上式 　　　　　故. 　　总结升华： 　　1. 在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列. 　　2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得. 　　举一反三： 　　【变式1】已知数列，，，求. 　　【答案】‎ ‎ 　　【变式2】数列中，，求通项公式. 　　【答案】. 类型二：迭乘法求数列通项公式 　　2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式. 　　解析：由题意 　　　　　∴ 　　　　　∵，∴， 　　　　　∴，　 　　　　　∴，又， 　　　　　∴当时，， 　　　　　当时，符合上式 　　　　　∴. 　　总结升华： 　　1. 在数列中，，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列. 　　2．若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得. 　　举一反三： 　　【变式1】在数列中，，，求 ‎. 　　【答案】 　　【变式2】已知数列中，，，求通项公式. 　　【答案】由得，∴ ， 　　　　　　 ∴， 　　　　　 　∴当时， 　　　　　 　 　　　　　　　 　　　　　　当时，符合上式 　　　　　　∴ 类型三：倒数法求通项公式 　　3．数列中，,，求. 　　思路点拨：对两边同除以得即可. 　　解析：∵，∴两边同除以得， 　　　　　∴成等差数列，公差为d=5，首项， 　　　　　∴‎ ‎， 　　　　　∴. 　　总结升华： 　　1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项. 　　2．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得. 　　举一反三： 　　【变式1】数列中，，，求. 　　【答案】 　　【变式2】数列中，,，求. 　　【答案】. 类型四：待定系数法求通项公式 　　4．已知数列中，，，求. 　　法一：设，解得 　　　　　即原式化为 ‎ 　　　　　设，则数列为等比数列，且 　　　　　∴ 　　法二：∵　 ① 　　　　　　 ② 　　　　　由①－②得： 　　　　　设，则数列为等比数列 　　　　　∴ 　　　　　∴ 　　　　　∴ 　　法三：，，，……， 　　　　　， 　　　　　∴ 　　总结升华： 　　1．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列 的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法. 　　2．若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得. 　　举一反三： 　　【变式1】已知数列中，，求 　　【答案】令，则， 　　　　　　∴，即 　　　　　　∴， 　　　　　　∴为等比数列，且首项为，公比， 　　　　　　∴， 　　　　　　故. 　　【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式. 　　【答案】∵，∴ 　　　　　　设，则，即， 　　　　　　∴数列是以为首项，3为公比的等比数列， 　　　　　　∴，∴‎ ‎. 　　　　 　 ∴. 类型五：和的递推关系的应用 　　5．已知数列中，是它的前n项和，并且, . 　　(1)设,求证：数列是等比数列； 　　(2)设，求证：数列是等差数列； 　　(3)求数列的通项公式及前n项和. 　　解析： 　　（1）因为，所以 　　 　　以上两式等号两边分别相减，得 　　 　　　 　 　　　即，变形得 　　 　　因为 ，所以 　　 　　由此可知，数列是公比为2的等比数列. 　　 　　由,, 　　 　　所以, 所以, 　　 　　所以. 　　（2） ，所以　　 　　 　　将 代入得 　　 　　由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项 ‎， 　　 　　故. 　　（3），所以 　 　　 　　当n≥2时， 　　 　　∴ 　　 　　由于也适合此公式， 　　 　　故所求的前n项和公式是. 　　总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略. 　　举一反三： 　　【变式1】设数列首项为1，前n项和满足. 　　（1）求证：数列是等比数列； 　　（2）设数列的公比为，作数列，使，，求的通项公式. 　　【答案】 　　（1）， 　　 　　∴ 　　 　　∴， 　　 　　又 　　 　　①－②‎ ‎ 　　 　　∴， 　　 　　∴是一个首项为1公比为的等比数列； 　　（2） 　　 　　∴ 　　 　　∴是一个首项为1公比为的等差比数列 　　 　　∴ 　　【变式2】若, 　()，求. 　　【答案】当n≥2时，将代入, 　　 　　　　∴, 　　 　　　　整理得 　　 　　　　两边同除以得 （常数） 　 　　　　　∴是以为首项，公差d=2的等差数列， 　 　　　　　∴ ，　　　 　 　　　　　∴. 　　【变式3】等差数列中，前n项和，若.求数列 的前n项和. 　　【答案】∵为等差数列，公差设为, 　 　　　　　∴, 　　 　　　　∴, 　　 　　 　　　　∴, 　 　　　　　若，则,　 ∴. 　　 　　　　∵，　 　　 　　　　∴,∴ , 　　 　　　　∴, 　　 　　　　∴ 　① 　 　　　　　　　　　　　　 ② 　 　　　　　①-②得 　 　　　　 　　　　 　　 　　 　　　　∴ 类型六：数列的应用题 　　6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？ 　　思路点拨： 本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和. 　　解析：设将旗集中到第x面小旗处，则 　　　　　 从第一面旗到第面旗处，共走路程为了 ‎， 　　　　　 回到第二面处再到第面处是， 　　　　 　回到第三面处再到第面处是， 　　　　 　， 　　　　 　从第面处到第面处取旗再回到第面处的路程为， 　　　　 　从第面处到第面处取旗再回到第面处，路程为20×2， 　　　　 　 　　　　 　总的路程为： 　　　　　 　　　　 　∵，∴时,有最小值 　　　　 　答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短. 　　总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程. 　　举一反三： 　　【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍，则该企业2007年年度产值的月平均增长率为（　　　 ） 　　A．　　 B．　　 C．　　　 D． 　　【答案】D； 　　解析：从2月份到12月份共有11个月份比基数（1月份）有产值增长，设为， 　　　　　 则 　　【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币，年利率为，到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税（税率为）共计元，则该人存款的本金为（　　　） 　　A．1.5万元　　 B．2万元　 C．3万元　　‎ ‎ D．2.5万元 　　【答案】B； 　　解析：本金利息／利率，利息利息税／税率 　　　　　利息（元）， 　　　　　本金（元） 　　【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是(　) 　　A．5月、6月　　　 B．6月、7月　　 C．7月、8月　　　 D．9月、10月 　　【答案】C； 　　解析：第个月份的需求量超过万件，则 　　　　　 　　　　　解不等式，得，即. 　　【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少） 　　【答案】设汽车使用年限为年，为使用该汽车平均费用. 　　　　 　　 　　　　 　　当且仅当，即（年）时等到号成立. 　　　　‎ ‎ 　　因此该汽车使用10年报废最合算. 　　【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，计划从2007年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. 　　（1）分别求2007年底和2008年底的住房面积； 　　（2）求2026年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） 　　【答案】 　　（1）2007年底的住房面积为1200(1+5%)－20=1240（万平方米）， 　　　 　2008年底的住房面积为1200(1+5%)2－20(1+5%)－20=1282（万平方米）， 　　　 　∴2007年底的住房面积为1240万平方米； 　　 　　2008年底的住房面积为1282万平方米. 　　（2）2007年底的住房面积为[1200(1+5%)－20]万平方米， 　　　 　2008年底的住房面积为[1200(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米， 　　　 　2009年底的住房面积为[1200(1+5%)3－20(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米， 　　　 　………… 　　 　　2026年底的住房面积为[1200(1+5%)20―20(1+5%)19―……―20(1+5%)―20] 万平方米 　　 　　即1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+5%)18―……―20(1+5%)―20 　　 　　 　　 　　≈2522.64（万平方米）， 　　 　　∴2026年底的住房面积约为2522.64万平方米.‎ 高考题萃 　　1．（2008四川）设数列的前项和为. 　　（Ⅰ）求； 　　（Ⅱ）证明：是等比数列； 　　（Ⅲ）求的通项公式. 　　解析： 　　（Ⅰ）因为， 　　　　　∴ 　　　　　由知，得　 ① 　　　　　所以， 　　　　　， 　　　　　∴ 　　（Ⅱ）由题设和①式知 ‎ 　　　　　所以是首项为2，公比为2的等比数列. 　　（Ⅲ） 　　2．（2008全国II）设数列的前项和为．已知，，． 　　（Ⅰ）设，求数列的通项公式； 　　（Ⅱ）若，，求的取值范围． 　　解析： 　　（Ⅰ）依题意，，即， 　　　　　由此得． 　　　　　因此，所求通项公式为，．① 　　（Ⅱ）由①知，， 　　　　　于是，当时， 　　　　　， 　　　　　， 　　　　　当时，． 　　　　　又． 　　　　　综上，所求的的取值范围是． 　　3．（2008天津）已知数列中，，，且． 　　（Ⅰ）设，证明 是等比数列； 　　（Ⅱ）求数列的通项公式； 　　（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项． 　　解析： 　　（Ⅰ）由题设，得， 　　　　　即． 　　　　　又，， 　　　　　所以是首项为1，公比为的等比数列． 　　（Ⅱ）由（Ⅰ），，，……，． 　　　　　将以上各式相加，得． 　　　　　所以当时， 　　　　　上式对显然成立． 　　（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故． 　　　　　由可得， 　　　　　由得　　 ① 　　　　　整理得， 　　　　　解得或（舍去），于是． 　　　　　另一方面，， 　　　　　． 　　　　　由①可得 ‎． 　　　　　所以对任意的，是与的等差中项． 　　4．（2008陕西）已知数列的首项，，． 　　（Ⅰ）求的通项公式； 　　（Ⅱ）证明：对任意的，，； 　　（Ⅲ）证明：．‎ 解析： 　　（Ⅰ），，， 　　　　　又，是以为首项，为公比的等比数列． 　　　　　，． 　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 　　　　　 　　　　　， 　　　　　原不等式成立． 　　另解：设 ‎， 　　　　　则 　　　　　，当时，；当时，， 　　　　　当时，取得最大值． 　　　　　原不等式成立． 　　（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有 　　　　　 　　　　　． 　　　　　令，则， 　　　　　． 　　　　　原不等式成立． ‎ 学习成果测评 基础达标： 　　1．若数列中，且(n是正整数)，则数列的通项=____. 　　2．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列 的前n项和的公式是____________. 　　3. 设是等比数列，是等差数列，且，数列的前三项依次是， 　　　 且，则数列的前10项和为____________. 　　4. 如果函数满足：对于任意的实数，都有，且，则 　 　　____________ 　　5．已知数列中，, ()，求通项公式. 　　6．已知数列中，，，，求的通项公式. 　　7．已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，，求的通项公式. 　　8．设数列满足，． 　　（Ⅰ）求数列的通项； 　　（Ⅱ）设，求数列的前项和． 能力提升： 　　9．数列的前项和为，，． 　　（Ⅰ）求数列的通项； 　　（Ⅱ）求数列的前项和 ‎． 　　10．数列的前n项和为, 已知是各项为正数的等比数列，试比较与的大小关系. 　　11．某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，……．以表示到第年末所累计的储备金总额． 　　（Ⅰ）写出与的递推关系式； 　　（Ⅱ）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列． 　　12．2007年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2008年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化. 　　（1）设该县的总面积为1，2007年底绿化面积为，经过n年后绿化的面积为，试用表示； 　　（2）求数列的第n+1项； 　　（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771） 综合探究： 　　13．已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数. 　　（Ⅰ）用表示； 　　（Ⅱ）若，记，证明数列成等比数列，并求数列 的通项公式； 　　（Ⅲ）若，，是数列的前n项和，证明. 参考答案： 基础达标： 　　1. 　　答案： 　　解析：由题设的递推公式可得 　　　　 　 　　　　 　∴　 即, 　　2． 　　答案：2n+1-2 　　解析：， 　　　 　 曲线在x=2处的切线的斜率为，切点为（2，-2n）, 　　　 　 所以切线方程为y+2n=k(x-2), 　　　　　令x=0得,令. 　　　 　 数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2 　　3. 答案：978 　　4. 答案： 　　5． 　　解析：将递推关系整理为 　　　 　 两边同除以得 　　　 　 当时， 　　 　 　，，……，‎ ‎ 　　 　 　将上面个式子相加得到： 　　　 　 ，即， 　　 　 　∴（）. 　　　 　 当时，符合上式 　　　 　 故. 　　6. 　　解析：由题设 　　　 　 　　 　 　　　 　　　 　 　　 　　 　 　　　∴． 　　 　 　所以数列是首项为，公比为的等比数列， 　　 　 　∴， 　　 　 　即的通项公式为，． 　　7. 　　解析：由，解得或， 　　 　 　由假设，因此， 　　 　 　又由， 　　 　 　得，即或， 　　 　 　因，故不成立，舍去． 　　 　 　因此，从而是公差为，首项为 的等差数列， 　　 　 　故的通项为． 　　8. 　　解析： 　　（Ⅰ），　　　　　　　　　 ① 　　 　 　∴当时，　　 ② 　　 　 　①-②得，． 　　 　 　在①中，令，得符合上式 　　 　 　∴． 　　（Ⅱ），∴． 　　 　 　，　　　　③ 　　 　 　．　　 ④ 　　 　 　④-③得． 　　 　 　即，． 能力提升： 　　9． 　　解析： 　　（Ⅰ），， 　　 　 　又， 　　 　 　数列是首项为，公比为 的等比数列， 　　 　 　∴． 　　 　 　当时，， 　　 　 　 　　（Ⅱ）， 　　 　 　当时，； 　　 　 　当时， 　　 　 　， …………① 　　 　 　，…………② 　　 　 　得： 　　 　 　 　　 　 　　　 ． 　　 　 　． 　　 　 　又也满足上式， 　　 　 　． 　　10. 　　解析：∵为各项为正数的等比数列，设其首项为，公比为, 　 　 　　则有, ，(), 　　　 　 　　 ∴，即 　　　 　（1）当时，，‎ ‎, 　　 　 　 　 而, 　　　　 　 　∴ 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　∴时，. 　　　　 （2）当时，，, 　　　 　 　　∴ 　　　　　　　　 　　　 　 　 ①当时，， ∴ 　　　 　 　 ②当时，，　 ∴ 　　　 　 　 ③当时，，∴ 　　　 　 　 综上，（1）在时恒有 　　　　　 　 　 　（2）在时，①若则； 　　　　　　 　　　　　 ②若则； 　　　　　　 　　　　　 ③若则. 　　11. 　　解析：‎ ‎ 　　（Ⅰ）． 　　（Ⅱ）， 　　 　 　对反复使用上述关系式，得 　　 　 　 　　　 　 　，　　　　 　　　① 　　 　 　在①式两端同乘，得 　 　 　　　　　 ② 　　 　 　②①，得 　　　　　　　　　　　 ． 　　 　 　即． 　　 　 　如果记，，则． 　　 　 　其中是以为首项，以为公比的等比数列； 　 　 　　是以为首项，为公差的等差数列. 　　12. 　　解析： 　　（1）设2007年底非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为. 　　 　　于是a1+b1=1， 　　 　　依题意，是由两部分组成： 　　 　　一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余面积 ‎， 　　 　　另一部分是新绿化的面积， 　　 　　∴. 　　（2），. 　 　　　数列是公比为，首项的等比数列. 　　 　　∴. 　　（3）由，得，， 　 　　　， 　　 　　∴至少需要7年的努力，才能使绿化率超过60%. 综合探究： 　　13. 　　解析： 　　（Ⅰ）由题可得． 　 　　 　所以曲线在点处的切线方程是：． 　　　　　即． 　　　　　令，得，即． 　　　　　显然，∴． 　　（Ⅱ）由，知， 　　　　　同理 ‎． 　　　　　故． 　　　　　从而，即． 　　　　　所以，数列成等比数列． 　　　　　故，即． 　　　　　从而，所以 　　（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴ 　　　　　∴ 　　　　　当时，显然． 　　　　　当时， 　　　　　∴． 　　　　　 综上，．‎