河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月模拟2数学(文)试题 Word版含解析

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河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月模拟2数学(文)试题 Word版含解析

2020 届 3 月模拟考试(SE) 文科数学 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知复数 ( 为虚数单位),则 ( ) A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出复数的模,利用复数的性质即可求解. 【详解】由题意知 , 利用性质 ,得 , 故选:B. 【点睛】本题考查了复数的模、复数的性质,考查了基本运算能力,属于基础题. 2. 已知集合 , ,若 ,则实数 的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 1 或 2 或 3 D. 2 或 3 【答案】D 【解析】 【分析】 求出集合 中的元素,再根据集合的运算结果可得 ,进而可求解. 【详解】由题意知, ,且 , 由 ,知 ,则实数 的值为 2 或 3, 故选:D. 【点睛】本题考查了根据集合的运算结果求参数值,考查了基本运算,属于基础题. 3. 设 ,则“ ”是“ ”的( ) 2 1 iz i = + i z z⋅ = 2 1 2 2 2 21 2 iz i = = =+ 2z z z⋅ = 2z z⋅ = { }24 3A x Z y x x= ∈ = − − { },1B a= A B B= a A B A⊆ { } { }24 3 1,2,3A x Z y x x= ∈ = − − = { },1B a= A B B= B A⊆ a ( ), 1,a b∈ +∞ a b> log 1ab < A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可. 【详解】∵a,b∈(1,+∞), ∴a>b⇒logab<1, logab<1⇒a>b, ∴a>b 是 logab<1 的充分必要条件, 故选 C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的解法是解决本题的关 键. 4. 已知 a>b>0,c>1,则下列各式成立的是(  ) A. sina>sinb B. ca>cb C. ac<bc D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数单调性逐项判断即可 【详解】对 A,由正弦函数的单调性知 sina 与 sinb 大小不确定,故错误; 对 B,因为 y=cx 为增函数,且 a>b,所以 ca>cb,正确 对 C,因为 y=xc 为增函数,故 ,错误; 对 D, 因为 在 为减函数,故 ,错误 故选 B. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性,属基础题. 5. 若 ,则 ( ) A. B. C. D. 1 1c c b a − −< c ca b> 1cy x -= ( )0, ∞+ 1 1c c b a - -> 3cos( )4 5 π α− = sin 2α = 7 25 1 5 1 5 − 7 25 − 【答案】D 【解析】 试题分析: , 且 ,故选 D. 【考点】三角恒等变换 【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题,关键是把待求角用已知角表示: (1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差. (2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系. 6. 某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是腰长为 2 的等腰直角三角形,该几何体 的外接球的体积等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由三视图还原原几何体,可知原几何体为四棱锥,底面是边长为 2 的三角形. 【详解】由三视图知该几何体的直观图放在正方体中是如图所示的三棱锥 , 其外接球就是正方体的外接球.设外接球的半径为 , 因为正方体的棱长为 2,其体对角线为外接球的直径,即 , 2 2 3 7cos 2 2cos 1 2 14 4 5 25 π πα α      − = − − = × − = −             cos 2 cos 2 sin 24 2 π πα α α    − = − =         4 3π 32 3 π 4π 8 2 3 π A BCD− R 2 2 3R = 所以外接球的体积 . 故选:A. 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高 平齐,宽相等”的基本原则. 7. 数列{an}是等差数列,a1=1,公差 d∈[1,2],且 a4+λa10+a16=15,则实数 λ 的最大值为 (  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等差数列通项公式推导出 λ ,由 d∈[1,2],能求出实数 λ 取最大值. 【详解】∵数列{an}是等差数列,a1=1,公差 d∈[1,2],且 a4+λa10+a16=15, ∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得 λ , ∵d∈[1,2],λ 2 是减函数, ∴d=1 时,实数 λ 取最大值为 λ . 故选 D. 【点睛】本题考查实数值的最大值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解 能力,是基础题. 8. 已知 x,y 满足条件 (k 为常数),若目标函数 z=x+3y 的最大值为 8,则 k =(  ) ( )334 4 3 4 33 3V Rπ π π= = = 7 2 53 19 23 19 − 1 2 − 13 18 1 9 d d −= + 13 18d 1 9d −= + 13 18d 1 9d −= = −+ 15 1 9d + + 13 18 1 1 9 2 −= = −+ 0 { 2 0 x y x x y k ≥ ≤ + + ≤ A. -16 B. -6 C. - D. 6 【答案】B 【解析】 【 详 解 】 由 z = x + 3y 得 y = - x + , 先 作 出 的 图 象 , 如 图 所 示 , 因为目标函数 z=x+3y 的最大值为 8,所以 x+3y=8 与直线 y=x 的交点为 C,解得 C(2,2), 代入直线 2x+y+k=0,得 k=-6. 9. 如图,在正四棱锥 S-ABCD 中,E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点,动点 P 在线段 MN 上 运动时,下列四个结论:①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥平面 SBD;④EP⊥平面 SAC,其中恒 成立的为( ) A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②③④ 【答案】A 【解析】 分析】 在①中:由题意得 AC⊥平面 SBD,从而平面 EMN∥平面 SBD,由此得到 AC⊥EP;在②中: 由异面直线的定义可知:EP 与 BD 是异面直线;在③中:由平面 EMN∥平面 SBD,从而得到 EP∥平面 SBD;在④中:由已知得 EM⊥平面 SAC,从而得到 EP 与平面 SAC 不垂直. 【详解】如图所示,连接 AC、BD 相交于点 O,连接 EM,EN. 【 8 3 1 3 3 z 0{x y x ≥ ≤ 在①中:由正四棱锥 S﹣ABCD,可得 SO⊥底面 ABCD,AC⊥BD,∴SO⊥AC. ∵SO∩BD=O,∴AC⊥平面 SBD,∵E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点, ∴EM∥BD,MN∥SD,而 EM∩MN=M,∴平面 EMN∥平面 SBD, ∴AC⊥平面 EMN,∴AC⊥EP.故正确. 在②中:由异面直线的定义可知:EP 与 BD 是异面直线,不可能 EP∥BD,因此不正确; 在③中:由①可知平面 EMN∥平面 SBD,∴EP∥平面 SBD,因此正确. 在④中:由①同理可得:EM⊥平面 SAC, 若 EP⊥平面 SAC,则 EP∥EM,与 EP∩EM=E 相矛盾, 因此当 P 与 M 不重合时,EP 与平面 SAC 不垂直.即不正确. ∴恒成立的结论是:①③. 故选:A. 【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用,考查空间线面、面面的位置关系判定,考 查空间想象能力和思维能力,属于中档题. 10. 正三角形 边长等于 ,点 在其外接圆上运动,则 的取值范围是( ) A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设正三角形 的外接圆圆心为 ,半径为 ,则 ,且 ,由题意可得 , 设 的 中 点 为 , 则 , 且 ABC 3 P AP PB⋅  3 3,2 2  −   3 1,2 2  −   1 3,2 2  −   1 1,2 2  −   ABC O R 1R = 120AOB∠ = ° ( ) 1 2AP PB OP OA OB⋅ == ⋅ + −     AB M 2OA OB OM+ =   ,设 与 的夹角为 ,利用向量的数量积即可求解. 【详解】设正三角形 的外接圆圆心为 ,半径为 ,则 ,且 . 由题意知 . 设 的中点为 ,则 ,且 , 设 与 的夹角为 , 则 . 又因为 ,所以 的范围为 . 故选:B 【点睛】本题考考查了向量的数量积的运算,考查了数量积在几何中的应用,属于中档题. 11. 已知点 是抛物线 的焦点,若点 在抛物线 上,且 ,斜率为 的直线 经过点 ,且与抛物线 交于 , (异于 )两 点,则直线 与直线 的斜率之积为( ) A. 2 B. -2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线的焦半径公式 ,即可求出 的值,求出 ,设直线 方程与 抛物线方程联立,求出 两点的坐标关系,再将直线 与直线 的斜率之积用 坐标表示,化简即可证明结论. 1 2OM = OM OP θ ABC O R 1R = 120AOB∠ = ° ( ) ( )AP PB OP OA OB OP⋅ = − ⋅ −      2 OP OB OP OA OB OA OP= ⋅ − − ⋅ + ⋅       1 1 1 cos120OP OB= ⋅ − − × × °  OA OP+ ⋅  ( ) 1 2OP OA OB= ⋅ + −   AB M 2OA OB OM+ =   1 2OM = OM OP θ 1 12 2 cos2 2AP PB OM OP OM OP θ⋅ = ⋅ − = −      1 1 12 1 cos cos2 2 2 θ θ= × × × − = − [ ]0,θ π∈ AP PB⋅  3 1,2 2  −   F ( )2: 2 0C x py p= > ( )01,M y C 05 4 yMF = k l ( )1,3Q − C A B M AM BM 1 2 1 2 − | | 1 2 pMF = + p ( )1,1M l ,A B AM BM ,A B 【详解】由抛物线的定义知 ,则 ,解得 , 又点 在抛物线 上,代入 ,得 ,得 , , 所以 ,抛物线 , 因为斜率为 的直线 过点 ,所以 的方程为 , 联立方程得 ,即 , 设 , ,由根与系数的关系得 , 则直线 的斜率 ,直线 的斜率 , . 故选:B. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程,以及直线与抛物线的位置关系,要熟练掌握根与系数 关系设而不求的方法求解相交弦的问题,考查计算求解能力,属于中档题. 12. 若 ,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 对于 A,构造函数 ,求导,利用函数的单调性即可求解;对于 B,构造函 数 ,根据函数的单调性即可判断;对于 C,构造函数 ,利用导 数判断函数的单调性即可判断;对于 D,同样构造 ,由 C 选项分析可判断 D. 【详解】A 选项: , 0 2 pMF y= + 0 0 5 2 4 py y+ = 0 2y p= ( )01,M y C 2: 2C x py= 02 1py = 0 1y = 1 2p = ( )1,1M 2:C x y= k l ( )1,3Q − l ( )3 1y k x− = + ( ) 2 3 1y k x x y  − = +  = 2 3 0x kx k− − − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 1 2 3 x x k x x k + =  = − − AM 2 1 1 1 1 11AM xk xx −= = +− BM 2 2 2 2 1 11BM xk xx −= = +− ( )( )1 2 1 2 1 21 1 1 3 1 2AM BMk k x x x x x x k k= + + = + + + = − − + = − 1 20 1x x< < < 2 1 2 1ln lnx xe e x x− > − 1 2 2 1ln lnx xe e x x− > − 1 2 2 1 x xx e x e> 1 2 2 1 x xx e x e< ( ) lnxf x e x= − ( ) lnxf x e x= + ( ) xef x x = ( ) xef x x = 2 1 2 1 2 1 2 1ln ln ln lnx x x xe e x x e x e x− > − ⇔ − > − 设 ,∴ , 设 ,则有 恒成立, 所以 在 调递增,所以 , , 从而存在 ,使得 , 由单调性可判断出: , , , ,所以 在 不单调,不等式不会恒成立; B 选项: , 设 可知 单调递增.所以应该 ,B 错误; C 选项: , 构造函数 , ,则 在 恒成立. 所以 在 单调递减,所以 成立; D 选项: , 同样构造 ,由 C 选项分析可知 D 错误. 故选:C. 【点睛】本题考查了构造函数,利用函数的单调性证明不等式,属于难题. 二、填空题 13. 某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 3:2:5.现用分层抽样 方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 18 件,那么此样本的容量 n=________. 【答案】60 【解析】 【分析】 ( ) lnxf x e x= − ( ) 1 1x x xef x e x x −′ = − = ( ) 1xg x xe= − ( ) ( )1 0xg x x e′ = + > ( )g x ( )0,1 ( )0 1 0g = − < ( )1 1 0g e= − > ( )0 0,1x ∈ ( )0 0g x = ( )00,x x∈ ( ) ( )0 0g x f x′ ′< ⇒ < ( )0 ,1x x∈ ( ) ( )0 0g x f x′ ′> ⇒ > ( )f x ( )0,1 1 2 1 2 2 1 1 2ln ln ln lnx x x xe e x x e x e x− > − ⇔ + > + ( ) lnxf x e x= + ( )f x ( ) ( )1 2f x f x< 1 2 1 2 2 1 1 2 x x x x e ex e x e x x > ⇔ > ( ) xef x x = ( ) ( ) 2 1 xx ef x x −′ = ( ) 0f x′ < ( )0,1x∈ ( )f x ( )0,1 ( ) ( )1 2f x f x> 1 2 1 2 2 1 1 2 x x x x e ex e x e x x < ⇔ < ( ) xef x x = 先求出总体中中 种型号产品所占的比例,是样本中 种型号产品所占的比例,再由条件 求出样本容量. 【详解】解:由题意知,总体中 种型号产品所占的比例是 , 因样本中 种型号产品有 18 件,则 ,解得 . 故答案为:60 【点睛】本题考查了分层抽样的定义应用,即保证样本结构与总体结构一致按一定的比例进 行抽取,再由条件列出式子求出值来,属于基础题. 14. 某公司 105 位员工的月工资(单位:元)为 , ,…, ,其均值和方差分别为 3800 和 500,若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 105 位员工下月工资的均值和方差 分别为________. 【答案】3900;500 【解析】 【分析】 根据样本同时加上一个数对均值和方差的影响,求得下个月工资的均值和方差. 【详解】依题意,本月工资均值 ,方差 . 从下个月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 105 位员工下月工资的均值为 ,方差为 . 故答案为:3900;500 【点睛】本小题主要考查样本均值和方差的性质,属于基础题. 15. 设偶函数 满足 ,则满足 的实数 的取值范围 为________. 【答案】 【解析】 分析】 由题可知数 在 上为增函数,不等式可化为 ,利用单调性可 得 ,解出即可. 【 A A A 3 3 2 3 5 10 =+ + A 3 1810 n× = 60n = 1x 2x 105x 3800x = 2 500S = 100 3800 100 3900x + = + = 2 500S = ( )f x ( ) ( )2 4 0xf x x= − ≥ ( )2 0f a − > a ( ) ( ),0 4,−∞ +∞ ( )f x [ )0,+∞ ( ) ( )22f a f− > 2 2a − > 【详解】∵偶函数 满足 , 函数 在 上为增函数,且 , ∴不等式 等价为 , ,即 或 ,解得 或 . 故答案为: . 【点睛】本题考查利用函数 奇偶性和单调性解不等式,属于基础题. 16. 已知数列 的前 项和为 ,对任意 , ,且 恒成立,则实数 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 通过 与 作差,进而整理可得 数列 的通项公式,分 为奇偶两种情况解不等式即得结论. 【详解】∵ ,当 时, ,两 式相减得, , 整理得 .又 , ∴ ,即 .①当 为偶数时,化简 式可知, , ∴ ( 为奇数);②当 为奇数时,化简 式可知, , 即 ,即 ,∴ ( 为偶数). 的 ( )f x ( ) ( )2 4 0xf x x= − ≥ ∴ ( )f x [ )0,+∞ ( )2 0f = ( )2 0f a − > ( ) ( )22f a f− > ∴ 2 2a − > 2 2a − > 2 2a − < − 4a > 0a < ( ) ( ),0 4,−∞ +∞ { }na n nS *n∈N ( ) 11 2 62 n n n nS a n= − + + − ( )( )1 0n na p a p+ − − < p 7 23,4 4  −   1( 1) 2 62 n n n nS a n= − + + − 1 1 1 1 1( 1) 2 8( 2)2 n n n nS a n n− − − −= − + + −  { }na n ( ) 11 2 62 n n n nS a n= − + + − 2n ≥ ( ) 1 1 2 1 1 11 2 8n n n nS a n− − − −= − + + − ( ) ( ) 1 1 1 1 11 2 6 1 2 82 2 n n n n nn na a n a n− − −  = − + + − − − + + −   ( ) ( ) ( )1 11 1 1 2 22 n n n n na a n−  − − = − + − ≥  ( )* ( ) 11 2 62 n n n nS a n= − + + − 1 1 1 2 62S a= − + + − 1 7 4a = − n ( )* 1 1 22n na − = − 1 1 22n na += − n n ( )* 1 12 2 2n n na a −= − + − 1 1 14 22 2nn na −− = + − 1 1 16 2n na − −= − 16 2n na = − n 于是 .∵对任意 , 恒成立, ∴对任意 , 恒成立.又数列 单调递减,数列 单 调递增, ∴当 为奇数时,有 ,则 ,即 ; 当 为偶数时,有 ,则 ,即 .综上所述, . 故答案为: . 【点睛】本题是一道关于数列与不等式的综合题,考查分类讨论的思想,考查运算求解能力, 注意解题方法的积累,属于难题. 三、解答题(本大题共 6 小题,解答适应写出文字说明,证明过程或演算步 骤). 17. 已知锐角 面积为 , , , 所对边分别是 , , , , 平 分线相交于点 , 且 .求: (1) 的大小; (2) 周长的最大值. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 ( 1 ) 由 结 合 三 角 形 的 面 积 公 式 和 余 弦 定 理 可 得 ,从而可求出 的大小; 1 1 2,2 1 6,2 n n n n a n +  −=  − + 为奇数 为偶数 *n∈N ( )( )1 0n na p a p+ − − < *n∈N ( )( )1 0n np a p a+− − < { }2 1ka − { }2ka n 1n na p a +< < 1 1 1a p a +< < 7 23 4 4p− < < n 1n na p a+ < < 2 1 2a p a+ < < 31 23 16 4p− < < 7 23 4 4p− < < 7 23,4 4  −   ABC S A∠ BÐ C∠ a b c A∠ C∠ O 2 3b = 2 2 23 ( )4S a c b= + − BÐ AOC△ 3B π= 4 2 3+ 2 2 23 ( )4S a c b= + − 1 3csin 2 cos2 4a B a B= ⋅ BÐ (2)设 周长为 , ,则 ,由正弦定理可得 ,得 ,再用三角恒等变换 公式化简,结合三角函数的性质可得答案 【详解】(1)∵ ,∴ , 故: . (2)设 周长为 , ,则 , ∵ 、 分别是 、 的平分线, , ∴ . 由正弦定理得 , 所以 所以 , . ∵ ,∴ , 当 时, 周长的最大值为 . 【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用,考查三角形的面积公式的运用,考查三角函 数的恒等变换公式的运用,属于中档题 18. 对某电子元件进行寿命追踪调查,所得样本数据的频率分布直方图如下. AOC△ l OAC α∠ = ,12 4 π πα  ∈   2 3 2sin sinsin 33 OA OC ππ αα = = −   4sin 4sin 2 33l πα α = + − +   ( )2 2 23 4S a c b= + − ( )2 2 21 3sin2 4ac B a c b= + − 1 3csin 2 cos tan 32 4 3a B a B B B π= ⋅ ⇒ = ⇒ = AOC△ l OAC α∠ = ,12 4 π πα  ∈   OA OC A∠ C∠ 3B π= 2 3AOC π∠ = 2 3 2sin sinsin 33 OA OC ππ αα = = −   4sin , 4sin 3OC OA πα α = = −   4sin 4sin 2 33l πα α = + − +   ,12 4 π πα  ∈   4sin 2 33 πα = + +   ,12 4 π πα  ∈   5 7,3 12 12 π π πα  + ∈   6 πα = AOC△ 4 2 3+ (1)求 ,并根据图中的数据,用分层抽样的方法抽取 个元件,元件寿命落在 之间的应抽取几个? (2)从(1)中抽出的寿命落在 之间的元件中任取 个元件,求事件“恰好有一 个元件寿命落在 之间,一个元件寿命落在 之间”的概率. 【答案】(1)5;(2) . 【解析】 【分析】 (1)根据频率分布直方图各矩形面积和为 1 可得 ,分层抽样是按比例抽取,所以根据比 值可求得件寿命落在 之间的抽取个数; (2)分别求出落在 之间和落在 之间的元件个数。人后用例举法将寿 命落在 之间的元件中任取 个元件的所有事件一一例举出来,再将“恰好有一个 元件寿命落在 之间,一个元件寿命落在 之间”的事件一一例举,最后 根据古典概型概率公式可求其概率。 【详解】(1)根据题意: , 解得 , 设在寿命落在 之间的应抽取 个, 根据分层抽样有: 解得: 所以寿命落在 之间的元件应抽取 个; (2)记“恰好有一个寿命落在 之间, 0y 20 100 ~ 300 100 ~ 300 2 100 ~ 200 200 ~ 300 3 5 0y 100 ~ 300 100 ~ 200 200 ~ 300 100 ~ 300 2 100 ~ 200 200 ~ 300 00.001 100 2 100 0.002 100 0.004 100 1y× + ⋅ + × + × = 0 0.0015y = 100 300 x (0.001 0.0015) 100,20 x = + × 5x = 100 300 5 100 200 一个寿命为 之间”为事件 , 易知,寿命落在 之间的元件有 个,分别记 , 落在 之间的元件有 个,分别记为: , 从中任取 个元件,有如下基本事件: , 共有 个基本事件, 事件 “恰好有一个寿命落在 之间, 一个寿命为 之间”有: 共有 个基本事件,∴ . ∴事件“恰好有一个寿命落在 之间, 一个寿命为 之间”的概率为 . 19. 如图 1,正方形 的边长为 , 、 分别是 和 的中点, 是正方形 的对角线 与 的交点, 是正方形两对角线的交点,现沿 将 折起到 的位置,使得 ,连接 , , (如图 2) (1)求证: ; (2)求三棱锥 的高. 【答案】(1)证明见解析;(2) . 【解析】 【分析】 (1)首先根据题意易证 平面 ,从而得到 ,再根据 , 200 300 A 100 200 2 1 2,a a 200 300 3 1 2 3, ,b b b 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3, , , , , , , , , , , , ,a a a b a b a b a b a b a b ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 3, , , , ,b b b b b b 10 A 100 200 200 300 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3, , , , , , , , , , ,a b a b a b a b a b a b 6 6 3( ) 10 5P A = = 100 200 200 300 3 5 ABCD 2 2 E F DC BC H AC EF N EF CEF△ PEF PH AH⊥ PA PB PD BD AP⊥ −A BDP 2 PH ⊥ ABFED PH BD⊥ BD AH⊥ 利用线面垂直的判定证明 平面 ,从而得到 . (2)利用等体积转化法,根据 即可得到三棱锥 的高. 【详解】(1)∵ 、 分别是 和 的中点,∴ . 又∵ ,∴ ,故折起后有 . 又∵ , ,∴ 平面 . 又∵ 平面 ,∴ , 又∵ , ,∴ 平面 , 又∵ 平面 ,∴ . (2)∵正方形 的边长为 , ∴ , , , , ∴ 是等腰三角形,连接 ,如图所示: 则 , . ∴ 的面积 设三棱锥 的高为 ,则三棱锥 的体积为 . 由(1)可知 是三棱锥 的高, ∴三棱锥 的体积为 . ∵ ,即 ,解得 ,即三棱锥 的高为 . 【点睛】本题第一问考查利用线面垂直的性质证明线线垂直,同时考查了线面垂直的证明, BD ⊥ APH BD AP⊥ A BDP P ABDV V− −= −A BDP E F CD BC EF BD AC BD⊥ AC EF⊥ PH EF⊥ PH AH⊥ =AH EF H PH ⊥ ABFED BD ⊂ ABFED PH BD⊥ BD AH⊥ AH PH H∩ = BD ⊥ APH AP ⊂ APH BD AP⊥ ABCD 2 2 4AC BD= = 2AN = 1NH PH= = PE PF= PBD△ PN PN BD⊥ 2 2 2PN NH PH= + = PBD△ 1 1 4 2 2 22 2PBDS BD PN= ⋅ = × × =  −A BDP h −A BDP 1 2 2 3 3A BDP PBD hV S h− = ⋅ =△ PH P ABD− P ABD− 1 1 1 42 2 2 2 13 3 2 3P ABD ABDV S PH− = ⋅ = × × × × =△ A BDP P ABDV V− −= 2 2 4 3 3 h = 2h = −A BDP 2 第二问考查等体积法求三棱锥的高,属于中档题. 20. 已知椭圆 的离心率为 ,点 在椭圆上. (1)求椭圆的方程; (2)过椭圆的右焦点 作互相垂直的两条直线 、 ,其中直线 交椭圆于 两点,直 线 交直线 于 点,求证:直线 平分线段 . 【答案】(1) (2)见证明 【解析】 【分析】 (1)利用 ,得到 ,然后代入点 即可求解 (2)设直线,以斜率 为核心参数,与椭圆联立方程,把 两点全部用参数 表示,得 出 的中点坐标为 ,然后再求出直线 的方程,代入 的中点 即可证明成立 【详解】(1)由 得 ,所以 由点 在椭圆上得 解得 , 所求椭圆方程为 (2)解法一:当直线 的斜率不存在时,直线 平分线段 成立 当直线 的斜率存在时,设直线 方程为 , 联立方程得 ,消去 得 因为 过焦点,所以 恒成立,设 , , 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2 31, 2      F 1l 2l 1l ,P Q 2l 4x = M OM PQ 2 2 14 3 x y+ = 1 2 ce a = = 2 23b c= 31, 2      k ,P Q k PQ 2 2 2 4 3,4 3 4 3 k k k k  − + +  OM PQ 1 2 ce a = = 2a c= 2 23b c= 31, 2      2 2 9 1 4 14 3c c + = 12 25 2 2 3b a c= − = 2 2 14 3 x y+ = 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ OM PQ 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ ( )1y k x= − ( ) 2 2 1 14 3 y k x x y  = − + = y ( )2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ > 0∆ ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 则 , 所以 的中点坐标为 直线 方程为 , ,可得 , 所以直线 方程为 , 满足直线 方程,即 平分线段 综上所述,直线 平分线段 (2)解法二:因为直线 与 有交点,所以直线 的斜率不能为 0, 可设直线 方程为 , 联立方程得 ,消去 得 因为 过焦点,所以 恒成立,设 , , , 所以 的中点坐标为 直线 方程为 , ,由题可得 , 所以直线 方程为 , 满足直线 方程,即 平分线段 综上所述,直线 平分线段 2 1 2 2 8 4 3 kx x k + = + 2 1 2 2 4 12 4 3 kx x k −= + ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 61 1 2 4 3 ky y k x k x k x x k + = − + − = + − = − + PQ 2 2 2 4 3,4 3 4 3 k k k k  − + +  2l ( )1 1y xk = − − ( )4, MM y 34,M k  −   OM 3 4y xk = − 2 2 2 4 3,4 3 4 3 k k k k  − + +  OM OM PQ OM PQ 2l 4x = 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ 1x my= + 2 2 1 14 3 x my x y = + + = x ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ > 0∆ ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 1 2 2 6 3 4 my y m + = − + 1 2 2 9 3 4y y m = − + ( )1 2 1 2 2 82 3 4x x m y y m + = + + = + PQ 2 2 4 3,3 4 3 4 m m m  − + +  2l ( )1y m x= − − ( )4, MM y ( )4, 3M m− OM 3 4 my x= − 2 2 4 3,3 4 3 4 m m m  − + +  OM OM PQ OM PQ 【点睛】本题考查求椭圆标准方程,以及证明直线过定点问题,属于中档题 21. 已知函数 . (1)讨论函数 的单调性; (2)当 时, ,求 的取值范围. 【答案】(1)详见解析(2) 或 【解析】 【分析】 (1)将函数求导并化简,对 分成 两种情况,讨论函数 的单调性.(2) 原不等式即 ( ),当 时,上述不等式显然成立.当 时,将不等式 变为 ,构造函数 ,利用导数研究函数的单调性, 由此求得 的取值范围. 【详解】解:(1) . ①若 ,当 时, , 在 上单调递增; 当 时, , 在 上单调递减. ②若 ,当 时, , 在 上单调递减; 当 时, , 在 上单调递增. ∴当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减; 当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增. 1( ) ( , 0)ekx kxf x k kk −= ∈ ≠R ( )f x 1x lnxf xk      k k 0< 1k e ≥ k 0, 0k k> < ( )f x 1 lnx x xke − ≤ 1x ≥ k 0< 0k > 1 ln 0x x k xe − − ≤ ( ) ( )1 ln 1x xg x k x xe −= − ≥ k ( ) ( ) ( )2 11' kx kx kx ke kx kef x k e − −= ⋅ 2 kx kx e −= 2 kx k x k e  − −  = 0k > 2,x k  ∈ −∞   ( )' 0f x > ( )f x 2, k  −∞   2 ,x k  ∈ + ∞   ( )' 0f x < ( )f x 2 ,k  + ∞   0k < 2,x k  ∈ −∞   ( )' 0f x < ( )f x 2, k  −∞   2 ,x k  ∈ + ∞   ( )' 0f x > ( )f x 2 ,k  + ∞   0k > ( )f x 2, k  −∞   2 ,k  + ∞   0k < ( )f x 2, k  −∞   2 ,k  + ∞   (2) ( ), 当 时,上不等式成立,满足题设条件; 当 时, ,等价于 , 设 ,则 , 设 ( ),则 , ∴ 在 上单调递减,得 . ①当 ,即 时,得 , , ∴ 在 上单调递减,得 ,满足题设条件; ②当 ,即 时, ,而 , ∴ , ,又 单调递减, ∴当 , ,得 , ∴ 在 上单调递增,得 ,不满足题设条件; 综上所述, 或 . 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题,考查利用导数求解含有 参数不等式恒成立问题.对函数求导后,由于导函数含有参数,故需要对参数进行分类讨论, 分类讨论标准的制定,往往要根据导函数的情况来作出选择,目标是分类后可以画出导函数 图像,进而得出导数取得正、负的区间,从而得到函数的单调区间. 请考生在第 22~23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 选修 4-4:坐标系与参数方程 22. 已知曲线 C 的参数方程为 (t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极 轴建立极坐标系,过极点的两射线 、 相互垂直,与曲线 C 分别相交于 A、B 两点(不同 于点 O),且 的倾斜角为锐角 . 1 lnx x xf xk ke −  = ≤   1x ≥ 0k < 0k > 1 lnx x xf xk ke −  = ≤   1 ln 0x x k xe − − ≤ ( ) ( )1 ln 1x xg x k x xe −= − ≥ ( ) 2' x x kg x e x −= − 22 x x x x ke xe − −= ( ) 22 xh x x x ke= − − 1x ≥ ( ) ( )' 2 1 0xh x x ke= − − < ( )h x [ )1,+ ∞ ( ) ( )1 1h x h ke≤ = − 1 0ke− ≤ 1k e ≥ ( ) 0h x ≤ ( )' 0g x ≤ ( )g x [ )1,+ ∞ ( ) ( )1 0g x g≤ = 1 0ke− > 10 k e < < ( )1 0h > ( ) 22 0h ke= − < ( )0 1,2x∃ ∈ ( )0 0h x = ( )h x ( )01,x x∈ ( ) 0h x > ( )' 0g x > ( )g x [ )01, x ( ) ( )1 0g x g≥ = 0k < 1k e ≥ 2 2x t y t =  = 1l 2l 1l α (1)求曲线 C 和射线 的极坐标方程; (2)求△OAB 的面积的最小值,并求此时 的值. 【答案】(1)C 的极坐标方程为 ,[或 ]; 的极坐标方程为 ;(2)16, 【解析】 【分析】 (1)消去参数 ,求得曲线 的普通方程,再转为极坐标方程.射线 过原点,根据角度直 接写出 的极坐标方程.(2)利用极坐标方程求得 的表达式,求得三角形 面 积的表达式,利用三角函数的的最值求得三角形 面积的最小值,同时求得 的值. 【详解】解:(1)由曲线 C 的参数方程,得普通方程为 , 由 , ,得 , 所以曲线 C 的极坐标方程为 ,[或 ] 的极坐标方程为 ; (2)依题意设 ,则由(1)可得 , 同理得 ,即 , ∴ ∵ ∴ ,∴ , △OAB 的面积的最小值为 16,此时 , 得 ,∴ . 【点睛】本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程,考查利用极坐标求三角形的面积,考 2l α 2cos 4sinρ θ θ= 2 4sin cos θρ θ= 2l 2 πθ α= + 4 πα = t C 2l 2l ,OA OB OAB OAB α 24y x= cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 24 sin cosρ θ ρ θ= 2cos 4sinρ θ θ= 2 4sin cos θρ θ= 2l 2 πθ α= + ( ), , , 2A BA B πρ α ρ α +   2 4sin cosA αρ α= 2 4sin 2 cos 2 B πα ρ πα  +  =  +   2 4cos sinB αρ α= 1 1 2 2OAB A BS OA OB ρ ρ∆ = ⋅ = ⋅ 2 2 8 sin cos cos sin α α α α ⋅= ⋅ 0 2 πα< < 0 α π< < 8 cos sinOABS α α∆ = ⋅ 16 sin2α= 16≥ sin2 1α = 2 2 πα = 4 πα = 查三角函数求最值,属于中档题. 选修 4-5:不等式选讲 23. [选修 4-5:不等式选讲] 已知函数 . (1)解不等式: ; (2)当 时,函数 的图象与 轴围成一个三角形,求实数 的 取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 试题分析:(Ⅰ)由已知,可按不等中两个绝对值式 零点将实数集分为三部分进行分段求 解,然后再综合其所得解,从而求出所求不等式的解集; (Ⅱ)由题意,可将 的值分为 和 进行分类讨论,当 时,函数 不过原点,且最小值为 ,此时满足题意;当 时,函数 ,再由函数 的单调性及值域,求出实数 的范围,最 后综合两种情况,从而得出实数 的范围. 试题解析:(Ⅰ)由题意知,原不等式等价于 或 或 , 解得 或 或 , 综上所述,不等式 的解集为 . (Ⅱ)当 时,则 , 此时 的图象与 轴围成一个三角形,满足题意: 当 时, , 的 ( ) 2 2 5f x x= + − ( ) | 1|f x x≥ − 1m ≥ − ( ) ( ) | |g x f x x m= + − x m ( ] [ ), 8 2,−∞ − ∪ +∞ { }3 ,4 12  ∪ −  m 1m = − 1m > − 1m = − ( ) 3 1 5g x x= + − 5− 1m > − ( ) 3 7, 1 3, 1 3 3, x m x g x x m x m x m x m − + − ≤ − = + − − < ≤  − − > ( )g x m m 1 2 2 5 1 x x x ≤ − − − − ≥ − 1 1 2 2 5 1 x x x − < ≤  + − ≥ − 1 2 2 5 1 x x x >  + − ≥ − 8x ≤ − ∅ 2x ≥ ( ) 1f x x≥ − ( ] [ ), 8 2,−∞ − ∪ +∞ 1m = − ( ) 2 2 5 1g x x x= + − + + 3 1 5x= + − ( )g x x 1m > − ( ) 2 2 5g x x x m= + − + − 3 7, 1 3, 1 3 3, x m x x m x m x m x m − + − ≤ − = + − − < ≤  − − > 则函数 在 上单调递减,在 上单调递增. 要使函数 的图象与 轴围成一个三角形, 则 ,解得 ; 综上所述,实数 的取值范围为 . ( )g x ( ), 1−∞ − ( )1,− +∞ ( )g x x ( ) ( ) 1 4 0 2 3 0 g m g m m  − = − < = − ≥ 3 42 m≤ < m { }3 ,4 12  ∪ − 
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