【数学】2020届一轮复习北师大版概率统计课时作业

【数学】2020届一轮复习北师大版概率统计课时作业

概率统计 ‎(120分钟　150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(2018·安阳模拟)在某校连续5次考试成绩中,统计甲,乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学5次成绩的平均数为81,乙同学5次成绩的中位数为73,则x+y的值为 (　　)‎ A.3　　　　 B‎.4 ‎　　　　 C.5　　　　 D.6‎ ‎【解析】选A.因为81=,所以x=0,‎ 因为乙同学5次成绩的中位数为73,‎ 所以y=3,所以x+y=3.‎ ‎2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 (　　) ‎ A.167 B‎.137 ‎ C.123 D.93‎ ‎【解析】选B.初中部女教师的人数为 ‎110×70%=77,‎ 高中部女教师人数为150×40%=60,‎ 则该校女教师的人数为77+60=137.‎ ‎3.(2018·长春模拟)下列命题:①在线性回归模型中,相关指数R2表示解释变量x 对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好;②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1;③在回归直线方程=-0.5x+2中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位;④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是 (　　)‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解析】选C.①相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好,是正确的;②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1,是正确的;③在回归直线方程=-0.5x+2中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位,是正确的;④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越小,故原命题错误.‎ ‎4.某中学数学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关,随机询问了 100 名性别不同的学生,得到如下的 2×2 列联表:‎ 男生 女生 总计 喜爱 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 不喜爱 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 附:K2‎=‎ 根据以上数据,该数学兴趣小组有多大把握认为喜爱该食品与性别有关”‎ ‎ (　　)‎ A.99%以上 B.97.5%以上 C.95%以上 D.85%以上 ‎【解析】选C.K2的观测值k ‎==4>3.841,‎ 所以该数学兴趣小组有95%以上的把握认为“喜爱该食品与性别有关”.‎ ‎5.(2018·保定模拟)已知具有线性相关的变量x,y,设其样本点为Ai(xi,yi)‎ ‎(i=1,2,…,8),回归直线方程为=x+a,若++…+=(6,2)(O为原点),则a= (　　)‎ A. B.-‎ C. D.-‎ ‎【解析】选B.因为 ++…+‎ ‎=(x1+x2+…+x8,y1+y2+…+y8)‎ ‎=(8,8)=(6,2),‎ 所以8=6,8=2⇒=,=,‎ 因此=×+a,所以a=-.‎ ‎6.现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选D.从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所有可能的结果组成的12个基本事件为:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,‎ B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,‎ B2,C2).‎ 设“A1和B1不全被选中”为事件N,则其对立事件表示“A1和B1全被选中”,由于={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},所以P()==,由对立事件的概率计算公式得P(N)=1-P()=1-=.‎ ‎7.(2018·宜宾模拟)某次知识竞赛中,四个参赛小队的初始积分都是10分,在答题过程中,各小队每答对1题加0.5分,若答题过程中四个小队答对的题数分别是3道,7道,7道,3道,则四个小队积分的方差为 (　　)‎ A.0.5 ‎B.‎0.75 ‎ C.1 D.1.25‎ ‎【解析】选C.根据题意,四个参赛小队的得分分别为11.5分,13.5分,13.5分,11.5分;‎ 计算平均数为=×(11.5+13.5+13.5+11.5)=12.5,‎ 方差为s2=×[(11.5-12.5)2+(13.5-12.5)2+(13.5-12.5)2+(11.5-12.5)2]=1.‎ ‎8.设a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数f(x)=x3+ax-b在区间[1,2]上有零点的概率为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选C.因为f(x)=x3+ax-b,所以f′(x)=3x2+a,因为a∈{1,2,3,4},所以f′(x)>0,所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数.若存在零点,只需满足条件则解得a+1≤b≤8+‎2a.因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有:a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8;a=2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b=12;a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12;a=4,5≤b≤16,故b=8,b=12.根据古典概型可得有零点的概率为.‎ ‎9.把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上,已知硬币平放在托盘上且没有掉下去,则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率为 (　　) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.由题意可知,要使硬币平放在托盘上且没有掉下去,则硬币的圆心必须落在正方形ABCD中(包括边界),要使硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外),则硬币的圆心必须在正方形EFGH中(包括边界),如图.‎ 则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率P==.‎ ‎10.(2018·商丘模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+b2x+1,若a是从1,2,3中任取的一个数,b是从0,1,2中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选D.f′(x)=x2+2ax+b2,要使函数f(x)有两个极值点,则有Δ=(‎2a)2-‎ ‎4b2>0,即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),‎ ‎(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.满足a2>b2的有6个基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),‎ ‎(3,2),所以所求事件的概率为=.‎ ‎11.已知一个样本为x,1,y,5,若该样本的平均数为2,则它的方差s2的最小值为 ‎ (　　)‎ A.5 B.4‎ C.3 D.2‎ ‎【解题指南】求出x+y=2,求出xy的最大值,根据方差的定义求出其最小值即可.‎ ‎【解析】选C.因为样本x,1,y,5的平均数为2,‎ 故x+y=2,故xy≤1,‎ 故s2=[(x-2)2+(y-2)2+10]=+(x2+y2)≥+·2xy≥+×2=3,故方差的最小值是3.‎ ‎12.如图所示 , 正六边形ABCDEF 中,P为线段AE的中点,在线段DE上随机取点Q,入射光线PQ经DE反射,则反射光线与线段BC相交的概率为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选C.如图, 设正六边形的边长为 ‎2a, 则 PE=a,‎ FP=a,PC=‎3a,BD=‎2‎a,‎ 当反射光线过 B时,设Q在M处,‎ 此时△PEM∽△BDM,‎ 设EM=x,则MD=‎2a-x,‎ 由‎2a-x=2x,得x=;‎ 当反射光线过C时,设Q在N处,过N作NO⊥PC,则PO=PC=,即FN=,所以反射光线与线段BC相交的概率为P==.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.(2019·淮安模拟)有100件产品编号从00到99,用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验,分组后每组按照相同的间隔抽取产品,若第5组抽取的产品编号为91,则第2组抽取的产品编号为________. ‎ ‎【解析】根据系统抽样原理,抽样间隔为l==20,设第一组抽取数据为a0,‎ 则第5组抽取的产品编号为4×20+a0=91,‎ 解得a0=11,‎ 所以第2组抽取的产品编号为1×20+a0=31.‎ 答案:31‎ ‎14.(2018·惠州模拟)随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如表:‎ 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 ‎200‎ n ‎2 100‎ ‎1 000‎ 根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为________. ‎ ‎【解析】由题意,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200+2 100=3 300,由古典概型概率公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为=.‎ 答案:‎ ‎15.(2018·福州模拟)如图为某个四面体的三视图,若在该四面体的外接球内任取一点,则点落在四面体内的概率为________. ‎ ‎【解析】由三视图可知该立体图形为三棱锥,其底面是一个直角边长为3的等腰直角三角形,高为4,所以该三棱锥的体积为12,又外接球的直径2r为以三棱锥的三个两两垂直的棱为三条棱的长方体的对角线,‎ 即2r==2,‎ 所以外接球的体积为,所以点落在四面体内的概率为=.‎ 答案:‎ ‎16.如图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图,已知图甲中从左向右第一组的频数为4 000.在样本中记月收入在[1 000,1 500),[1 500,2 000),[2 000,2 500),[2 500,3 000),[3 000,3 500),‎ ‎[3 500,4 000]的人数依次为A1,A2,…,A6.图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的程序框图,则样本的容量n=________;图乙输出的S=________.(用数字作答) ‎ ‎【解析】因为月收入在[1 000,1 500)的频率为0.000 8×500=0.4,且有4 000人,所以样本的容量n==10 000,由题图乙知输出的S=A2+A3+…+A6=10 000-‎ ‎4 000=6 000.‎ 答案:10 000　6 000‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)(2018·武汉模拟)某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛,并记录他们的成绩,得到如图所示的茎叶图.现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.‎ ‎(1)记甲班“口语王”人数为m,乙班“口语王”人数为n,比较m,n的大小.‎ ‎(2)求甲班10名同学口语成绩的方差. 导学号 甲 乙 ‎0‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎【解析】(1)由茎叶图可得出甲、乙所对应的各个数据.‎ 因为=‎ ‎=80,‎ 所以m=4;‎ ‎=‎ ‎=79,‎ 所以n=5.所以m10.828,‎ 故有99.9%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.‎ ‎(2)从这100名顾客中采用分层抽样按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”抽取得到一个容量为5的样本,其中使用手机支付的人有5×=3(人),‎ 记编号为1,2,3‎ 不使用手机支付的人有2人,记编号为a,b,‎ 则从这个样本中任选3人有 ‎(1,2,3)(1,2,a)(1,2,b)(1,3,a)(1,3,b)(1,a,b)(2,3,a)(2,3,b)(2,a,b)(3,a,b)共10种,‎ 其中至少有2人是使用手机支付的有 ‎(1,2,a) (1,2,b) (1,3,a)(1,3,b)(2,3,a)(2,3,b)(1,2,3),共7种,故P(A)=.‎ ‎22.(12分)(2018·莆田模拟)交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为950元,‎ 在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表(其中浮动比率是在基准保费上上下浮动):‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 类 型 ‎ 浮动因素 浮动比率 A1‎ 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%‎ A2‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%‎ A3‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%‎ A4‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ A5‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10%‎ A6‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%‎ 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:‎ 类型 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ 数量 ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ ‎(1)求这60辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费的平均值(精确到0.1元).‎ ‎(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5 000元,一辆非事故车盈利10 000元,且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致.试完成下列问题:‎ ‎①若该销售商店内有六辆(车龄已满三年)该品牌二手车,某顾客欲在该店内随机挑选3辆车,求这3辆车恰好有一辆为事故车的概率.‎ ‎②若该销售商一次购进120辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值. 导学号 ‎【解析】(1)这60辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费的平均值为 ‎×0.9+×0.8+×0.7+×1+×1.1+×1.3×950=×950≈942.1(元).‎ ‎(2) ①由统计数据可知,该销售商店内的6辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车,设为a,b,4辆非事故车,设为1,2,3,4.从这6辆车中随机挑选 3辆车的情况有(a,b,1),(a,b,2),(a,b,3),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4),(a,2,3),(a,‎ ‎2,4),(a,3,4),(b,1,2),(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4),(1,2,‎ ‎3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共20种情况.‎ 其中3辆车中恰好有一辆为事故车的情况有:(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4),‎ ‎(a,2,3),(a,2,4),(a,3,4),(b,1,2),(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,‎ ‎3,4),共12种.故该顾客在店内随机挑选3辆车,这3辆车中恰好有一辆事故车的概率为=.‎ ‎②由统计数据可知,该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆,非事故车80辆,所以一辆车盈利的平均值为×[(-5 000)×40+‎ ‎10 000×80]=5 000(元).‎