人教版高中数学选修2-3练习：第一章1-3-1-3-1二项式定理word版含解析

人教版高中数学选修2-3练习：第一章1-3-1-3-1二项式定理word版含解析

第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理 A级 基础巩固 一、选择题 1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( ) A．(2x＋2)5 B．2x5 C．(2x－1)5 D．32x5 解析：原式＝(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 答案：D 2．在 x＋ 1 3 x 24 的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( ) A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 解析：Tr＋1＝Cr24x 24－r 2 ·x－r 3 ＝Cr24·x12－5 6 r，则 r分别取 0，6， 12，18，24时，x的幂指数为整数，所以 x的幂指数有 5项是整数项． 答案：C 3．若 x－ 1 2 3 x n 的展开式中第四项为常数项，则 n＝( ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：由二项展开式可得 Tr＋1＝Crn( x)n－ r － 1 2 3 x r ＝(－1)r2－ rCrnx n－r 2 ·x－r 3 ，从而 T4＝T3＋1＝(－1)32－3C3nx n－5 2 ，由题意可知 n－5 2 ＝ 0，n＝5. 答案：B 4．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是( ) A．－297 B．－252 C．297 D．207 解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(x＋1)10展开式中含 x5的项的 系数为：C510－C210＝207. 答案：D 5．若 C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn能被 7整除，则 x，n的值可能为( ) A．x＝5，n＝5 B．x＝5，n＝4 C．x＝4，n＝4 D．x＝4，n＝3 解析：C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn＝(1＋x)n－1，检验得 B正确． 答案：B 二、填空题 6．(2015·福建卷)(x＋2)5的展开式中，x2的系数等于________(用 数字作答)． 解析：(x＋2)5的展开式中 x2项为 C2523x2＝80，所以 x2的系数等于 80. 答案：80 7. 2－ 1 3 x 6 的展开式中的第四项是________． 解析：T4＝C3623 － 1 3 x 3 ＝－ 160 x . 答案：－ 160 x 8．如果 3 x2＋1 x n 的展开式中，x2 项为第三项，则自然数 n＝ ________． 解析：Tr＋1＝Crn( 3 x2)n－r 1 x r ＝Crnx 2n－5r 3 ，由题意知 r＝2时， 2n－5r 3 ＝2，所以 n＝8. 答案：8 三、解答题 9．在 2 x－ 1 x 6 的展开式中，求： (1)第 3项的二项式系数及系数； (2)含 x2的项及项数． 解：(1)第 3项的二项式系数为 C26＝15， 又 T3＝C26(2 x)4 － 1 x 2 ＝24C26x， 所以第 3项的系数为 24C26＝240. (2)Tk＋1＝Ckn(2 x)6－k － 1 x k ＝(－1)k26－kCr6x3－k， 令 3－k＝2，得 k＝1. 所以含 x2的项为第 2项，且 T2＝－192x2. 10．已知 m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中 x的系数 为 19，求 x2的系数的最小值及此时展开式中 x7的系数． 解：由题设知 m＋n＝19，又 m，n∈N*， 所以 1≤m≤18. x2的系数为 C2m＋C2n＝ 1 2 (m2－m)＋1 2 (n2－n)＝m2－19m＋171. 所以当 m＝9或 10时，x2的系数的最小值为 81，此时 x7的系数为 C79＋C710＝156. B级 能力提升 1．如果 3x2－ 2 x3 n 的展开式中含有非零常数项，则正整数 n的最小 值为( ) A．3 B．5 C．6 D．10 解析： 3x2－ 2 x3 n 展开式的通项表达式为 Crn(3x2)n－r· － 2 x3 r ＝Crn3n －r(－2)rx2n－5r，若 Crn3n－r(－2)rx2n－5r为非零常数项，必有 2n－5r＝0， 得 n＝5 2 r，所以正整数 n的最小值为 5. 答案：B 2．设二项式 x－ a x 6 (a＞0)的展开式中，x3的系数为 A，常数项为 B，若 B＝4A，则 a的值是________． 解析：A＝C26(－a)2，B＝C46(－a)4，由 B＝4A知，C26(－a)2＝C46(－ a)4， 解得 a＝2(舍去 a＝－2)． 答案：2 3．已知 x－ 1 2 4 x n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差 数列． (1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项． 解：依题意，前三项系数的绝对值分别是 1，C1n· 1 2 ，C2n· 1 2 2 ， 依题意 2C1n· 1 2 ＝1＋C2n· 1 2 2 ，即 n2－9n＋8＝0， 解之得 n＝8(舍去 n＝1)． 故 Tk＋1＝Cr8( x)8－r － 1 2 4 x r ＝ － 1 2 Cr8x 16－3r 4 . (1)证明：若 Tr＋1为常数项，当且仅当 16－3r 4 ＝0， 即 3r＝16，因为 r∈N*，所以 3r＝16不可能成立． 故展开式中没有常数项． (2)若 Tr＋1为有理项，当且仅当 16－3r 4 为整数， 因为 0≤r≤8，r∈N*，所以 r＝0或 r＝4或 r＝8. 此时展开式中的有理项共有三项， 它们是 T1＝x4，T5＝ 35 8 x， T9＝ 1 256x2 .