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文档介绍
高中数学人教a版选修1-2阶段质量检测(一)word版含解析
阶段质量检测(一) 一、选择题(本大题共 10小题,每小题 5分,共 50分) 1.对于自变量 x 和因变量 y,当 x取值一定时,y 的取值带有一定的随机性,x,y 之间 的这种非确定性关系叫做( ) A.函数关系 B.线性关系 C.相关关系 D.回归关系 解析:选 C 由相关关系的概念可知,C正确. 2.在一线性回归模型中,计算其相关指数 R2=0.96,下面哪种说法不够妥当( ) A.该线性回归方程的拟合效果较好 B.解释变量对于预报变量变化的贡献率约为 96% C.随机误差对预报变量的影响约占 4% D.有 96%的样本点在回归直线上 解析:选 D 由相关指数 R2表示的意义可知 A、B、C三种说法都很妥当,相关指数 R2 =0.96,其值较大,说明残差平方和较小,绝大部分样本点分布在回归直线附近,不一定有 96%的样本点在回归直线上,故选 D. 3.(湖北高考改编)根据如下样本数据得到的回归方程为 ŷ=b̂x+â,则( ) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 A.â>0,b̂<0 B.â>0,b̂>0 C.â<0,b̂<0 D.â<0,b̂>0 解析:选 A 作出散点图如下: 观察图象可知,回归直线 ŷ=b̂x+â的斜率b̂<0,当 x=0时, ŷ=â>0,故â>0,b̂<0. 4.下表是某厂 1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 1 2 3 4 (A卷 学业水平达标) 用水量 y 4.5 4 3 2.5 由散点图可知,用水量 y与月份 x之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是 ŷ=- 0.7x+â,则â=( ) A.10.5 B.5.15 C.5.2 D.5.25 解析:选 D 样本点的中心为(2.5,3.5),将其代入线性回归方程可解得â=5.25. 5.下面的等高条形图可以说明的问题是( ) A.“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的 B.“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同 C.此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方 D.“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同 的,但是没有 100%的把握 解析:选 D 由等高条形图可知选项 D正确. 6.根据一位母亲记录儿子 3~9岁的身高数据,建立儿子身高(单位:cm)对年龄(单位: 岁)的线性回归方程为 ŷ=7.19x+73.93,若用此方程预测儿子 10 岁时的身高,有关叙述正确 的是( ) A.身高一定为 145.83 cm B.身高大于 145.83 cm C.身高小于 145.83 cm D.身高在 145.83 cm左右 解析:选 D 用线性回归方程预测的不是精确值,而是估计值.当 x=10时,y=145.83, 只能说身高在 145.83 cm左右. 7.在 2×2列联表中,下列哪两个比值相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越大 ( ) A. a a+b 与 c c+d B. a c+d 与 c a+b C. a a+d 与 c b+c D. a b+d 与 c a+c 解析:选 A 当 ad与 bc相差越大,两个分类变量有关系的可能性越大,此时 a a+b 与 c c+d 相差越大. 8.如图,5个(x,y)数据,去掉 D(3,10)后,下列说法错误的是( ) A.相关系数 r变大 B.残差平方和变大 C.相关指数 R2变大 D.解释变量 x与预报变量 y的相关性变强 解析:选 B 由散点图知,去掉 D后,x与 y的相关性变强,且为正相关,所以 r变大, R2变大,残差平方和变小. 9.已知变量 x,y之间具有线性相关关系,其回归方程为 ŷ=-3+b̂x,若 错误!i=17,错误!i =4,则b̂的值为( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 解析:选 A 依题意知, x-= 17 10 =1.7, y-= 4 10 =0.4,而直线 ŷ=-3+b̂x一定经过点( x-, y-),所以-3+b̂×1.7=0.4,解得b̂=2. 10.两个分类变量 X 和 Y,值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数分别是 a=10,b =21,c+d=35.若 X与 Y有关系的可信程度不小于 97.5%,则 c等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选 A 列 2×2列联表如下: x1 x2 总计 y1 10 21 31 y2 c d 35 总计 10+c 21+d 66 故 K2的观测值 k= 66×[1035-c-21c]2 31×35×10+c56-c ≥5.024. 把选项 A、B、C、D代入验证可知选 A. 二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分) 11.给出下列关系: ①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系; ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系; ③苹果的产量与气候之间的关系; ④森林中的同一种树木,其断面直径与高度之间的关系; ⑤学生与他(她)的学号之间的关系. 其中有相关关系的是________(填序号). 解析:利用相关关系的概念判断.①是不确定关系.②曲线上的点与该点坐标是一种对 应关系,即每一个点对应一个坐标,是确定关系.⑤学生与其学号也是确定的对应关系. 答案:①③④ 12.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程是 ________. 解析:设回归直线的方程为 ŷ=b̂x+â. 回归直线的斜率的估计值是 1.23,即b̂=1.23. 又回归直线过样本点的中心(4,5), 所以 5=1.23×4+â,解得â=0.08, 故回归直线的方程为 ŷ=1.23x+0.08. 答案: ŷ=1.23x+0.08 13.某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4天的用电量与 当天气温,并制作了对照表.由表中数据得线性回归方程 ŷ=b̂x+â,其中b̂=-2.现预测当气 温为-4℃时,用电量的度数约为________. 用电量 y/度 24 34 38 64 气温 x/℃ 18 13 10 -1 解析:由题意可知 x-= 1 4 ×(18+13+10-1)=10, y-= 1 4 ×(24+34+38+64)=40, b̂=-2. 又回归直线 ŷ=-2x+â过点(10,40), 故â=60, 所以当 x=-4时, ŷ=-2×(-4)+60=68. 答案:68 14.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500名使用血清的人与另外 500 名未用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H0:“这种血清不能起到预防感冒的作 用”,利用 2×2 列联表计算得 k≈3.918,经查对临界值表 P(K2≥3.841)≈0.05.对此,四名同 学做出了以下的判断:p:有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”;q:若某 人未使用该血清,那么他在一年中有 95%的可能性得感冒;r:这种血清预防感冒的有效率为 95%;s:这种血清预防感冒的有效率为 5%.则下列命题中,正确的是________(填序号). ①p∧(綈 q); ②(綈 p)∧q; ③(綈 p∧綈 q)∧(r∨s); ④(p∨綈 r)∧(綈 q∨s). 解析:查对临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05,故有 95%的把握认为“这种血清能起到预防 感冒的作用”;95%仅是指“血清能起到预防感冒的作用”的可信程度,但也有“在 100个 使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能,故 p 真,其余都假.结合复合命题的真假 可知,选①④. 答案:①④ 三、解答题(本大题共 4小题,共 50分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12分)某地区在调查一种传染病与饮用水的关系时得到如下数据:饮用 干净水得病 5 人,不得病 50 人;饮用不干净水得病 9 人,不得病 22人.画出列联表,并说 明能否在犯错误的概率不超过 0.10的前提下认为这种疾病与饮用水有关. 解:依题意得 2×2列联表: 得病 不得病 合计 干净水 5 50 55 不干净水 9 22 31 总计 14 72 86 此时,由题中数据可得 K2的观测值 k=86×5×22-50×92 55×31×14×72 ≈5.785, 由于 5.785>2.706,故在犯错误的概率不超过 0.10的前提下认为这种传染病与饮用不干净 水有关系. 16.(本小题满分 12分)某同学 6次考试的数学、语文成绩在班中的排名 x,y如下表: x 7 6 5 3 2 1 y 13 11 9 6 4 2 对上述数据用线性回归方程 ŷ=b̂x+â来拟合 y与 x之间的关系. 解:由于 x-=4, y-=7.5, 错误!(xi- x-)(yi- y-)=50, 错误!(xi- x-)2=28, 那么b̂=错误!=50 28 ≈1.786, â= y--b̂ x-=7.5-1.786×4=0.356. 此时可得 ŷ=1.786x+0.356. 17.(本小题满分 12分)有两个分类变量 x与 y,其一组观测值如下面的 2×2列联表所示: y1 y2 x1 a 20-a x2 15-a 30+a 其中 a,15-a均为大于 5的整数,则 a取何值时,在犯错误的概率不超过 0.1的前提下认 为 x与 y之间有关系? 解:查表可知,要使在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为 x 与 y 之间有关系,则 k≥2.706,而 k=65×[a30+a-20-a15-a]2 20×45×15×50 = 65×65a-3002 20×45×15×50 = 13×13a-602 60×90 . 由 k≥2.706得 a≥7.19或 a≤2.04. 又 a>5且 15-a>5,a∈Z,即 a=8或 9, 故 a为 8或 9时,在犯错误的概率不超过 0.1的前提下认为 x与 y之间有关系. 18.(本小题满分 14分)在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的研究中,研究人员获 得了一组数据如下表: 年龄 x 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 含量 y 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄 x 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 含量 y 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 (1)作出散点图,并判断 y与 x是否线性相关,若线性相关,求线性回归方程; (2)求相关指数 R2,并说明其含义; (3)给出 37岁时人的脂肪含量的预测值. 解:(1)散点图如图所示.由散点图可知样本点呈条状分布,脂肪含量与年龄有比较好的 线性相关关系,因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系. 设线性回归方程为 ŷ=b̂x+â, 则由计算器算得b̂≈0.576,â≈-0.448, 所以线性回归方程为 ŷ=0.576x-0.448. (2)残差平方和:∑ 14 i=1 ê2i=∑ 14 i=1 (yi- ŷ i)2≈37.20, 总偏差平方和:∑ 14 i=1 (yi- y-)2≈644.99, R2=1- 37.20 644.99 ≈0.942, 表明年龄解释了 94.2%的脂肪含量变化. (3)当 x=37时, ŷ=0.576×37-0.448≈20.9,故 37岁时人的脂肪含量约为 20.9%. (时间 90分钟,满分 120分) 一、选择题(本大题共 10小题,每小题 5分,共 50分) 1.在画两个变量的散点图时,下面叙述正确的是( ) A.预报变量在 x轴上,解释变量在 y轴上 B.解释变量在 x轴上,预报变量在 y轴上 C.可以选择两个变量中任意一个变量在 x轴上 D.可以选择两个变量中任意一个变量在 y轴上 解析:选 B 在散点图中,预报变量在 y轴上,解释变量在 x轴上. 2.在回归分析中,残差图中的纵坐标为( ) A.残差 B.样本编号 C. x- D. ê (n) 解析:选 A 残差是真实值与预报值的差,残差分析就是对这些残差画出残差图进行分 析,在残差图中,横坐标代表编号,纵坐标代表残差. 3.下表显示出样本中变量 y随变量 x变化的一组数据,由此判断它最可能是( ) x 4 5 6 7 8 9 10 y 14 18 19 20 23 25 28 A.线性函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 解析:选 A 画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近,故最 可能是线性函数模型. 4.利用独立性检验来考虑两个分类变量 X与 Y是否有关系时,通过查阅下表来确定“X 和 Y有关系”的可信度.如果 k>5.024,那么就有把握认为“X和 Y有关系”的百分比为( ) P(K2>k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.25% B.95% C.5% D.97.5% 解析:选 D ∵k>5.024,而在观测值表中对应于 5.024的是 0.025,∴有 1-0.025=97.5% 的把握认为“X和 Y有关系”,故选 D. 5.如图所示,图中有 5组数据,去掉________(填字母代号)组数据后, 剩 下的 4组数据的线性相关性最大 ( ) A.E B.C C.D D.A 解析:选 A ∵A,B,C,D 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线,E点离得远, (B卷 能力素养提升) ∴去掉 E点剩下的 4组数据的线性相关性最大.故答案为 A. 6.在一次实验中,测得(x,y)的四组值分别是 A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5),则 y与 x 之间的回归直线方程为( ) A.ŷ=2x+1 B. ŷ=x+2 C.ŷ=x+1 D. ŷ=x-1 解析:选 C ∵ x = 1+2+3+4 4 =2.5, y = 2+3+4+5 4 =3.5,∴这组数据的样本中心 点是(2.5,3.5),把样本中心点代入四个选项中,只有 ŷ=x+1成立,故选 C. 7.为判定喜欢黑色的人是否易患抑郁症,对 91名大学生进行调查,得到如下 2×2列联 表: 患抑郁症 未患抑郁症 合计 喜欢黑色 15 32 47 不喜欢黑色 14 30 44 合计 29 62 91 附表: P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 则下列说法正确的是( ) A.在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系 B.在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系 C.在犯错误的概率不超过 0.1的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系 D.不能认为喜欢黑色与患抑郁症有关系 解析:选 D 经计算 K2≈9.8×10-5≤3.841,故没有理由认为喜欢黑色与患抑郁症有关. 8.为了评价某个电视栏目改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了 100位居民进行调 查,经过计算得 K2≈0.99.根据这一数据分析,下列说法正确的是 ( ) A.有 99%的人认为该栏目优秀 B.有 99%的人认为该栏目是否优秀与改革无关 C.有 99%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系 D.没有充分理由认为该栏目是否优秀与改革有关系 解析:选 D 只有 K2>6.635才能有 99%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系,而即 使 K2>6.635 也只是对“该栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结 论.故选 D. 9.若残差平方和是 325,总偏差平方和是 923,则随机误差对预报变量变化的贡献率为 ( ) A.64.8% B.60% C.35.2% D.40% 解析:选 C 相关指数 R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率,故随机误差对预报变 量变化的贡献率为 残差平方和 总偏差平方和 ×100%= 325 923 ×100%≈35.2%. 10.下面是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部分表示喜欢理科的 百分比,从图可以看出( ) A.性别与喜欢理科无关 B.女生中喜欢理科的百分比为 80% C.男生比女生喜欢理科的可能性大些 D.男生不喜欢理科的百分比为 60% 解析:选 C 由等高条形图可知,女生中喜欢理科的百分比约为 1-0.8=0.2=20%, 男生中喜欢理科的百分比约为 1-0.4=0.6=60%, 因此男生比女生喜欢理科的可能性大些. 二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分) 11.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查显 示年收入 x与年饮食支出 y具有线性相关关系,并由调查数据得到 y对 x的回归直线方程:ŷ =0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加 ________万元. 解析:以 x+1代 x,得 ŷ=0.254(x+1)+0.321, 与 ŷ=0.254x+0.321相减可得, 年饮食支出平均增加 0.254万元. 答案:0.254 12.在线性回归方程 y=a+bx 中,b 为回归系数,下列关于 b 的说法中正确的是 ________(填序号). ①b为回归直线的斜率; ②b>0,表示随 x增加,y值增加,b<0,表示随 x增加,y值减少; ③b是唯一确定的值; ④回归系数 b的统计意义是当 x每增加(或减少)一个单位,y平均改变 b个单位. 解析:b是由总体的一个样本,利用一定的方法得到的,选择不同的样本或不同的计算方 法得到的 b是不同的,故③错. 答案:①②④ 13.独立性检验显示:有 90%的把握认为性别与是否喜爱喝酒有关.下列说法中正确的 是________(填序号). ①在 100个男性中约有 90个人爱喝酒; ②如果某人爱喝酒,那么此人为男性的可能性为 90%; ③认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性为 10%; ④有 90%的把握认为 10个男性中有 9个人爱喝酒. 解析:根据独立性检验的概念可知③正确,其他说法均错误. 答案:③ 14.下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②设有一个回归方程 ŷ=3-5x,变量 x增加 1个单位时,y平均增加 5个单位; ③线性回归方程 ŷ=b̂x+â必过( x , y ); ④在一个 2×2列联表中,由计算得 K2=13.079,则在犯错误的概率不超过 0.001的前提 下认为这两个变量间有关系. 其中错误的个数是________. 本题可以参考独立性检验临界值表: P(K2 ≥k0) 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,因为 D(X+b)=D(X), 其稳定性不变,所以方差恒不变;②设有一个回归方程 ŷ=3-5x,变量 x 增加 1个单位时,y 平均减少 5个单位,而不是增加 5个单位;③线性回归方程 ŷ=b̂x+â必过( x , y );④在一 个 2×2列联表中,由计算得 K2=13.079,13.079>10.828,且 P(K2>10.828)=0.001,所以在犯错 误的概率不超过 0.001的前提下认为这两个变量间有关系.因此,①③④正确,②错误,故只 有 1个错误的说法. 答案:1 三、解答题(本大题共 4小题,共 50分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分)在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70人,男性 54人,女性中有 43人主要的休闲方式是看电视,另外的 27人主要的休闲方式是 运动;男性中有 21人主要的休闲方式是看电视,另外的 33人主要的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个 2×2列联表; (2)能否在犯错误的概率不超过 0.025的前提下认为性别与休闲方式有关系? 解:(1)2×2列联表为: 看电视 运动 总计 女 43 27 70 男 21 33 54 总计 64 60 124 (2)由列联表中的数据,计算 K2的观测值 k=124×43×33-27×212 70×54×64×60 ≈6.201. 因为 6.201>5.024,因此在犯错误的概率不超过 0.025的前提下认为性别与休闲方式有关 系. 16.(本小题满分 12分)某种产品的广告费用支出 x万元与销售额 y万元之间有如下的对 应数据: x 2 4 5 6 8 y 20 30 50 50 70 (1)根据上表提供的数据,求出 y关于 x的回归直线方程; (2)据此估计广告费用为 10万元时所得的销售收入.( 5 i=1 x2i=145, 5 i=1 xiyi=1 270) 解:(1) x-= 2+4+5+6+8 5 =5, y-= 20+30+50+50+70 5 =44, b̂= 5 i=1 xiyi-5 x- y- 5 i=1 x2i-5 x-2 = 1 270-5×5×44 145-5×25 =8.5, â= y--b̂ x-=44-8.5×5=1.5, ∴回归直线方程为ŷ=8.5x+1.5. (2)当 x=10 时,预报 y 的值为ŷ=8.5×10+1.5=86.5(万元).所以所得的销售收入约为 86.5万元. 17.(本小题满分 12分)某高校共有学生 15 000人,其中男生 10 500人,女生 4 500人.为 调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300位学生每周平 均体育运动时间的样本数据(单位:时). (1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所 示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生 每周平均体育运动时间超过 4小时的概率. (3)在样本数据中,有 60位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时,请完成每周平均体 育运动时间与性别的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为“该校学 生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附: K2= nad-bc2 a+bc+da+cb+d P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 解:(1)300× 4 500 15 000 =90, 所以应收集 90位女生的样本数据. (2)由频率分布直方图得 1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以估计该校学生每周平均体育运 动时间超过 4小时的概率为 0.75. (3)由(2)知,300位学生中有 300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过 4小时,75 人的每周平均体育运动时间不超过 4小时.又因为样本数据中有 210份是关于男生的,90份 是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下: 每周平均体育运动时间与性别的列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过 4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过 4小时 165 60 225 总计 210 90 300 结合列联表可算得 K2的观测值 k=300×165×30-45×602 75×225×210×90 = 100 21 ≈4.762>3.841. 所以在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性 别有关”. 18.(本小题满分 14 分)以下资料是一位销售经理收集到的年销售额 y(千元)和销售经验 x(年)的关系: 销售经验 x/年 1 3 4 4 6 8 10 10 11 13 年销售额 y/千 元 80 97 92 102 103 111 119 123 117 136 (1)根据这些数据画出散点图并作直线ŷ=78+4.2x,计算 10 i=1 (yi-ŷi)2; (2)依据这些数据求回归直线方程并据此计算 10 i=1 (yi-ŷi)2; (3)比较(1)(2)中的残差平方和 10 i=1 (yi-ŷi)2的大小. 解:(1)散点图与直线ŷ=78+4.2x的图形如图, 对 x=1,3,…,13,有 ŷi=82.2,90.6,94.8,94.8,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6, 10 i=1 (yi-ŷi)2=179.28. (2) x = 1 10 10 i=1 xi=7, 10 i=1 xiyi=8 128, 10 i=1 x2i=632, y = 1 10 10 i=1 yi=108, ∴b̂=4,â= y -b̂ x =108-4×7=80, 故ŷ=80+4x,对 x=1,3,…,13,有 ŷi=84,92,96,96,104,112,120,120,124,132, 10 i=1 (yi-ŷi)2=170. (3)比较可知,(2)中求出的 10 i=1 (yi-ŷi)2较小.查看更多