【数学】江西省宜春市万载中学2019-2020学年高一上学期12月月考试题（衔接班）（解析版）

【数学】江西省宜春市万载中学2019-2020学年高一上学期12月月考试题（衔接班）（解析版）

江西省宜春市万载中学 2019-2020 学年 高一上学期 12 月月考试题（衔接班） 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得， ， ，∴ ，故选 A. 2.直线 的倾斜角的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为直角坐标系中，直线 斜率为- ，倾斜角 ，选 D 3.已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ， ， ， ． 故选 B． 4.已知 是两条直线， 是两个平面，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A 不正确，因为 n 可能在平面 内； 1 1{ | }2 2M x x= − < < 2{ | }N x x x= ≤ M N∩ = 1[0, )2 1( ,1]2 − 1[ 1, )2 − 1( ,0]2 − 1 1( , )2 2M = − [0,1]N = 1[0, )2M N∩ = 3 3 0x y+ − = 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π 3 3 0x y+ − = 3 3 5 6 π 1 2 log 3a = 1 32b = 32c −= ( ) a b c< < a c b< < b a c< < c a b< < 1 1 2 2 log 3 log 1 0a = < = 1 032 2 1b = > = 3 00 2 2 1c −< = < = a c b∴ < < ,m n ,α β , , / / / /m m n nα α β β⊥ ⊥ ⇒ / / , / /m n n mα α β∩ = ⇒ / / , / / ,m m n nα β α β⊥ ⇒ ⊥ , , / / / /m n m nα β α β⊥ ⊥ ⇒ β B 两条直线可以不平行； C 当 m 在平面 内时，n 此时也可以在平面 内．故选项不对． D 正确，垂直于同一条直线的两个平面是平行的． 故答案为 D． 5.已知直线 , 若 , 则 的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】由题意得，直线 的斜率是 ，直线 的斜率是 ， 因为直线 ，所以 ，解得 . 故选 A. 6.已知幂函数 的图象经过点 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意设 ， ∵幂函数 的图象经过点 ， ∴ ，则 ， ∴ ，则 ， 故选：B． 7.设函数 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C β β 1 2: 2 2 0, : 4 1 0l x y l ax y+ − = + + = 1 2l l⊥ a 2− 1 2 − 8 1l 2− 2l 4 a− 1 2l l⊥ ( )2 14 a − × − = −   2a = − ( )y f x= A (2, 2) ( 2)f = 2 1 42 4 2 ( ) ( 0)f x x xα= ≠ ( )y f x= A (2, 2) 1 22 2 2α = = 1 2 α = 1 2( )f x x= 1 1 11 2 2 42( 2) 2 2 2f ×= = = ( ) 22 2 1xy f x= = − + ( )0 1 3f x = ( )0f x− = 1 3 − 2 3 5 3 8 3 【解析】由题意知： . 所以 . 故选:C. 8.函数 的图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】当 时， ，故排除 B、D. 当 时， ，故 A 正确. 故选 A. 9.设函数 ，则（ ） A. 在定义域内没有零点 B. 有两个分别在 内的零点 C. 有两个在 内的零点 D. 有两个分别在 内的零点 【答案】C 【解析】 ， ， ， ( ) 0 0 00 2 1 12 = 2 = 2 =52 1 3 5 x x xf x −= − ⇒ ⇒+ ( ) 00 2 2 52 =2 =2 1 5 1 3xf x −− = − −+ + ( ) ( )2log 1f x x= − 0x = ( ) ( )20 log 1 0 =0f = − 1x = − ( ) ( )21 log 1 1 1 0f − = + = > 1( ) ( 2018)( 2019) 2020f x x x= − − + ( ,2018),−∞ (2019, )+∞ (2018,2019) ( ,-2019),−∞ ( 2018, )− +∞  1( ) ( 2018)( 2019) 2020f x x x= − − + ∴ 1(2018) 02020f = > 1(2019) 02020f = > 4037 1 1 1( ) ( ) 02 2 2 2020f = − + < 故 且 ， 由零点存在性定理得，函数 在区间 和 上各有一个零点， 故函数 有两个在 内的零点， 故选：C． 10.已知实数 ，实数 满足方程 ，实数 满足方程 ，则 的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 是 的解, 是 的解， 所以 分别是 和 与 的图象交点 的横坐标， 可得 ， 的图象与 的图象关于直线 对称， 的图象也关于直线 对称， 点 关于直线 对称， 设 关于 直线对称的点 与点 重合， 则 ， 故 的取值范围是 ，故选 C. 11.已知 是定义在 R 上的函数若方程 有且只有一个实数根则 可能 是 4037(2018) ( ) 02f f < 4037( ) (2019) 02f f < 1( ) ( 2018)( 2019) 2020f x x x= − − + 4037(2018, )2 4037( ,2019)2 1( ) ( 2018)( 2019) 2020f x x x= − − + (2018,2019) 1a > 1x 1xa x = 2x 1loga x x = 1 24x x+ ( )4,+∞ [ )4,+∞ ( )5,+∞ [ )5,+∞ 1x 1 xax = 2x 1 loga xx = 1 2,x x xy a= logay x= 1y x = ,A B 1 20 1, 1x x< xy a= logay x= y x= 1y x = y x= ∴ ,A B y x= 1 2 1 2 1 1, , , ,A x B x Ax x     ∴        y x= 1 1 1' ,A xx       B 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1, 4 3 2 3 2 3 5x x x x x x x x x x xx = ⇒ = + = + + > + > + = 1 24x x+ ( )5,+∞ ( )f x ( )( )f f x x= ( )f x ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于 A， ，若 ，即为 ， 可得 、 、 、 ，有 4 个根，不符合题意； 对于 B， ，若 ， 即为 ，方程无解，不符合题意， 对于 C， ， ， 即为 无实数解，不符合题意； 对于 D， ， ， 即为 有唯一解实数解，符合题意； 故选 D． 12.在平面直角坐标系 中，圆 ： ，圆 ： ，点 ，动 点 ， 分别在圆 和圆 上，且 ， 为线段 的中点，则 的最小值 为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】设 ， ， ， 由 得 ，即 ， 由题意可知，MN 为 Rt△AMB 斜边上的中线，所以 , 则 ( ) 2 1f x x= − ( ) 2 1f x x= + ( ) 2 1f x x x= + + ( ) 2 1f x x x= − + ( ) 2 1f x x= − ( )( )f f x x= 2 2 1 1x x− − = 1x = 1 3 1 5 3 5 ( ) 2 1f x x= + ( )( )f f x x= 2 2 1 1x x+ + = ( ) 2 1f x x x= + + ( )( ) ( )2 2 2( 1) 1 1f f x x x x x x= + + + + + + = 2 2 2( 1) 2 0x x x+ + + + = ( ) 2 1f x x x= − + ( )( ) ( )2 2 2( 1) 1 1f f x x x x x x= − + − − + + = 2 2 2( 1) 0x x x− + − = xOy 1C 2 2 4x y+ = 2C 2 2 6x y+ = (1,0)M A B 1C 2C MA MB⊥ N AB MN 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 0 0( , )N x y MA MB⊥ 0MA MB⋅ =  1 2 1 2 1 2 1x x y y x x+ = + − 1 2 MN AB= 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) 2 2AB x x y y x x x x y y y y= − + − = − + + − + 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 0( ) ( ) 2( ) 10 2( 1) 12 4x y x y x x y y x x x= + + + − + = − + − = − 又由 ，则 ， 可得 ，化简得 ， ∴点 的轨迹是以 为圆心、半径等于 的圆 C3， ∵M 在圆 C3 内，∴ MN 的最小值即是半径减去 M 到圆心 的距离， 即 ，故选 A． 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13.设 为定义在 R 上的奇函数，当 时， （ 为常数），则 ___________． 【答案】 【解析】由于函数 为定义在 R 上的奇函数， 所以 ，即 ，所以 时， ， 根据函数 为奇函数可知 . 故答案为 . 14.某几何体的三视图如图所示，正视图为腰长为 的等腰直角三角形，侧视图、俯视图均为 边长为 的正方形，则该几何体的表面积是_________． 【答案】 【解析】由三视图还原原几何体如图， 1 2 MN AB= 2 24AB MN= 2 2 0 0 012 4 4[( 1) ]x x y− = − + 2 2 0 0 1 9( )2 4x y− + = 0 0( , )N x y 1( ,0)2 3 2 1( ,0)2 min 3 1 12 2MN r d= − = − = ( )f x 0x ≥ ( ) 2 2xf x x a= + + a ( 1)f − = 3− ( )f x ( )0 0f = 1 0, 1a a+ = = − 0x ≥ ( ) 2 2 1xf x x= + - ( )f x ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 3f f− = − = − + − = − 3− 1 1 3 32 2 2 + + 该几何体为四棱锥 ， 该几何体的表面积 ； 故答案为： ． 15.若函数 f（x）=（1-x2）（x2+bx+c）的图象关于直线 x=-2 对称，则 b+c 的值是______． 【答案】23 【解析】由题意，令函数 f（x）=0，即（1-x2）（x2+bx+c）=0， 其中两个零点为 x=1，x=-1，图象关于直线 x=-2 对称， 那么另外两个零点分别为 x=-3，x=-5 即 x2+bx+c=0 的两个根分别为 x=-3，x=-5． 由韦达定理：-b=-3-5，即 b=8 c=（-3）×（-5）=15， 则 b+c=23． 16.已知点 是圆 上的动点，若 的值是定值，则实数 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】由圆 可设 ， 由点 是圆 C 上的动点得 ， 因为 为定值， ∴ 为定值，则 恒成立， P ABCD− PABS S∆= PAD PCDS S∆ ∆+ + PBC ABCDS S∆+ + 四边形 1 1 6 3 33 1 1 2 2 22 2 2 2 2 = × × × + × × + = + + 3 32 2 2 + + ( , )P x y 2 2:( 1) 4C x y− + = ( , ) | 10| | |f x y x y x y m= + + + + + m ( , 2 2 1−∞ − −  2 2:( 1) 4C x y− + = (2cos 1,2sin )P α α+ ( , )P x y 10 0x y+ + > ( , ) | 10| | |f x y x y x y m= + + + + + 10x y x y m+ + + + + 0x y m+ + ≤ ∴ 对任意 恒成立， ∵ ， ∴ ． 故答案为： ． 三、解答题(共 70 分) 17.已知集合 ， ． （1）求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 【解】（1） 集合 ， ， ∴ ， ，∴ ． （2）由（1）可知 ， ①当 时， ，符合题意； ②当 时， ， ， ， ． ③当 时， ， ， ， ， 综上所述，实数 的取值范围是 ． 18.已知函数 是奇函数． （1）求实数 的值； （2）若函数 在 上的最小值为 ，求实数 的值． m x y− − 2cos 1 2sinα α= − − − 2 2sin 14 πα = − + −   α 2 2sin 1 2 2 14 πα − + − ≥ − −   2 2 1m ≤ − − ( , 2 2 1−∞ − −  { }2 3 1= 2 3 0 , log , 279A x x x B y y x x  + − < = = < <    { |( 2)( 1) 0, }C x x x m m= + − − < ∈R A B ( )C A B⊆ ∪ m  2{ | 2 3 0}A x x x= + − < 3 1{ | , 27}9B y y log x x= = < < ( 3,1)A = − ( 2,3)B = − ( 2,1)A B = − ( 3,3)A B = − 3m = − C = ∅ 3m > − 1 2m + > − { | 2 1}C x x m∴ = − < < + 1 3m∴ +  3 2m∴− <  3m < − 1 2m + < − { | 1 2}C x m x∴ = + < < − 1 3m∴ + − 4 3m∴− < − m [ ]-4 2， 12( ) 2 1 x xf x m + = + + m ( )f x 2[log ,3]a 1 6 a a 【解】（1）根据题意，函数 是奇函数，且其定义域为 ， 则有 ，即 ，解可得 ， 当 时， ，符合题意；故 ； （2）设 ， 是定义在区间 上的任意两个数，且 ， 则 ． 因为 ，得 ， ． 显然有 ，从而有 ． 因为当 时，有 成立， 所以 是区间 上的增函数； 则当 时， 有最小值， 则有 ，即 ，解得 或 ． 故 或 3． 19.已知 的内接三角形 中， 点的坐标是 ，重心 的坐标是 ，求 （1）直线 的方程； （2）弦 的长度. 【解】 (1)设 ,则由已知得 ，可得 ， 12( ) 2 1 x xf x m + = + + R (0) 0f = 12 01 1m + =+ 1m = − 1m = − 12( ) 1 2 1 x xf x + = − + + 1m = − 1x 2x ( , )−∞ +∞ 1 2x x< 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2(2 2 )( ) ( ) 2 1 2 1 (2 1)(2 1) x x x x x x x xf x f x + + −− = − =+ + + + 1 2x x< 1 22 2x x< 1 22 2 0x x− < 1 2(2 1)(2 1) 0x x+ + > 1 2( ) ) 0(f x f x− < 1 2x x< 1 2( ) ( )f x f x< ( )f x ( , )−∞ +∞ 2logx a= ( )f x 2 2 1(log ) 1 1 6 af a aa = − + =+ 2 5 6 0a a− + = 2a = 3a = 2a = 2 2 9x y+ = ABC A ( )3,0− G 1 , 12  − −   BC BC ( ) ( )1 1 2 2, , ,B x y C x y 1 2 1 21 , 13 2 3 3x x y y+ +−− = = − 1 2 1 2 3 , 32x x y y+ = + = − 所以 BC 中点 坐标为 ,故 所以 BC 所在直线方程为: ,即 ． (2)由（1）得圆心到 BC 所在直线的距离为 ， 所以弦 BC 的长度为 ． 20.已知四棱锥 中，底面 为矩形，且 ， ，若 平面 ， ， 分别是线段 ， 的中点． （1）证明： ； （2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，确定点 的位置：若 不存在，说明理由； 【解】（1）证明：连接 ，则 ， ， ， ， ， 平面 ， ， ， 平面 ， 平面 ， ； 的D 3 3,4 2  −   1 2BCk = 3 1 3 2 2 4y x + = −   4 8 15 0x y− − = 15 15 16 64 80 d −= = + 225 99 32 9 2 1180 16 2 − = = P ABCD− ABCD 2AD = 1AB = PA ⊥ ABCD E F AB BC PF DF⊥ PA G EG∥ PFD G AF 2AF = 2DF = 2AD = 2 2 2AF DF AD∴ + = AF DF∴ ⊥ PA ⊥ ABCD PA DF∴ ⊥ PA AF A∩ = DF ⊥∴ PAF PF ⊂ PAF PF DF∴ ⊥ （2）解：过点 作 ，交 于点 ，则 平面 ，且 ． 再过点 作 交 于点 ，则 平面 且 ， 平面 平面 ． 平面 ， 平面 ． ∴存在点 满足 ，使得 平面 ． 21.已知 ， . （1）若 ，求 的值域； （2）若关于 的方程 的解集中恰有一个元素，求实数 的取值范围； 【解】（1） ，可得 ， 当 时， ，即有 ； ∴ 的值域为 ； （2）由 得 ， 即 ，① 则 ， 即 ，②， 当 时，方程②的解为 ，代入①，不成立； 当 时，方程②的解为 ，代入①，不成立； 当 且 时，方程②的解为 或 ， 若 是方程①的解，则 ，即 ， 若 是方程①的解，则 ，即 或 ， E / /EH FD AD H / /EH PFD 1 4AH AD= H / /HG DP PA G //HG PFD 1 4AG AP= ∴ / /GEH PFD EG ⊂ GEH / /EG∴ PFD G 1 4AG AP= EG∥ PFD a ∈R ( ) ( )2log 1f x ax= + 0a < ( )2f x x ( ) ( ) ( )2 2log 4 2 5 0f x a x a x − − + − =  a 2( ) log (1 )f x ax= + 2 2 2( ) log (1 )f x ax= + 0a < 20 1 1ax< + ≤ 2 2log (1 ) 0ax+ ≤ ( )f x ( ],0−∞ 2 2( ) log [( 4) (2 5) ] 0f x a x a x− − + − = 2 2 2log (1 ) log [( 4) (2 5) ]ax a x a x+ = − + − 21 ( 4) (2 5) 0ax a x a x+ = − + − > 2( 4) ( 5) 1 0a x a x− + − − = ( 1)[( 4) 1] 0x a x+ − − = 4a = 1x = − 3a = 1x = − 4a ≠ 3a ≠ 1x = − 1 4x a = − 1x = − 1 1 0a a− = − + > 1a < 1 4x a = − 2 41 04 4 a a a a −+ = >− − 4a > 2a < 则要使方程①有且仅有一个解，则 或 ． 综上， 的取值范围是 ． 22.如图，已知定圆 ，定直线 过 的一条动直 线 与直线 相交于 ，与圆 相交于 两点， 是 中点． （1）当 与 垂直时，求证： 过圆心 ； （2）当 时，求直线 的方程； （3）设 ，试问 是否为定值，若为定值，请求出 的值；若不为定值，请说 明理由． 【解】（1）由题意可知直线 的斜率 ，由 与 垂直得直线 的斜率 ， 所以直线 的方程为 ． 将圆心 代入方程易知 过圆心 ； （2）由于 ， 是 中点，由垂径定理得 ， ①当直线 与 轴垂直时，易知 ，圆心 到直线 的距离为 1，符合题意； ②当直线与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，即 ， ，解得 ，直线 的方程为 ，即 ； 综上：直线 的方程为 或 ； （3）①当 与 轴垂直时，易得 ， ，又 ， 4a > 1 2a < a [ ) ( )1,2 4,∪ +∞ ( )22 3 4C x y+： ﹣ ＝ 3 6 0m x y+ +： ＝ ， ( )1 0A ﹣， l m N C P Q， M PQ l m l C PQ = 2 3 l t = AM AN⋅ t t m 1 3mk = − l m l 3lk = l 3( 1)y x= + (0,3)C l C | | 2 3PQ = M PQ | | 1CM = l x 1x = − (0,3)C 1x = − x l ( 1)y k x= + 0kx y k− + = 2 | 3|| | 1 1 kCM k − += = + 4 3k = l 4 ( 1)3y x= + 4 3 4 0x y− + = l 1x = − 4 3 4 0x y− + = l x ( 1,3)M − 5( 1, )3N − − ( 1,0)A − 则 ， ，此时 ； ②当 斜率存在时，设直线 的方程为 ， 代入圆的方程化简得 ， 设 ， ， ， 则 ， ， 即 ， ， 又由 得 ，则 ， 由图可知， ； 综上： 为定值 5． 的 3AM = 5 3AN = 5AM Nt A⋅ == l l ( 1)y k x= + 2 2 2 2(1 ) (2 6 ) 6 5 0k x k k x k k+ + − + − + = ( , )M MM x y 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y 2 1 2 2 3 2 1M x x k kx k + − += = + 2 2 3( 1) 1M M k ky k x k += + = + 2 2 2 2 3 3( , )1 1 k k k kM k k − + + + + 2 2 2 3 1 3( , )1 1 k k kAM k k + += + +  ( 1) 3 6 0 y k x x y = +  + + = 3 6 5( , )1 3 1 3 k kN k k − − − + + 5 5( , )1 3 1 3 kAN k k − −= + +  AM ANt AM AN= = −⋅    2 2 2 15 5 5 (3 ) (1 )(1 3 ) (1 )(1 3 ) k k k k k k k k  − − − += − + + + + +  2 2 5(1 3 )(1 ) 5(1 3 )(1 ) k k k k + += =+ + t