高考数学二轮复习立体几何专题训练1含解析

高考数学二轮复习立体几何专题训练1含解析

南宫中学 高三二轮复习立体几何专题训练（1） 1．如图所示的多面体中， ABCD是菱形， BDEF 是矩形， ED 面 ABCD , 3 BAD    ． (1)求证：平 / /CF AED面B 面 ； (2))若BF BD a  ，求四棱锥A BDEF 的体积． 2. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 为 AC 中点， AE BD 于 E （不同于点 D），延长 AE 交 BC 于 F，将△ABD 沿 BD 折起，得到三棱锥 1A BCD ，如图 2 所示. （Ⅰ）若 M 是 FC 的中点，求证：直线DM //平面 1A EF ； （Ⅱ）求证：BD⊥ 1A F ； （Ⅲ）若平面 1ABD  平面 BCD，试判断直线 1A B与直线 CD 能否垂直？并说明理由. 3.（本小题共 14 分） 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，△PAD是正三角形，平面 PAD⊥平面 ABCD，M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点。 （I）求证：PM⊥MN； （II）求证：平面 PMN⊥平面 PBC； （III）在 PA 上是否存在点 Q，使得平面 QMN//平面 PCD？若在求出 Q 点位置，并证明；若不存在， 请说明理由。 4.(本小题满分 12 分) 如图，四边形 ABCD 是菱形，四边形 MADN 是矩形，平面 MADN平面 ABCD，E，F 分别为 MA， DC 的中点，求证： (I)EF//平面 MNCB； (Ⅱ)平面 MAC平面 BND． 1图 图 2 A B C A1 O B1 C1 5.如图 1,在直角梯形 ABCD中, 90ADC   , / /CD AB , 1 2 2 AD CD AB   , 点 E 为 AC 中点.将 ADC 沿 AC折起, 使平面 ADC平面 ABC ,得到几何体D ABC ,如图 2 所示. （I）在CD上找一点 F ,使 / /AD 平面 EFB ; （II）求点C到平面 ABD的距离. BA CD 图 1 E A B C D 图 2 E 6．（本小题满分 12 分） 如图，在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，O 是 AC 的中点，A1O⊥平面 ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC. （I）求证： AC1⊥平面 A1BC; （II）若 AA1=2，求三棱锥 C-A1AB 的高的大小． 7.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，O是底 ABCD对角线的交点. 求证：（１） 1C O 面 1 1AB D ； （2） 1AC  面 1 1AB D ． （3） 1 1 1AB D C BD平面 平面 O C 1 D1 B1 A1 CD A B 8．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 S—ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AD 垂直于 AB 和 DC，侧棱 SA⊥底面 ABCD，且 SA = 2，AD = DC = 1，点 E在 SD 上，且 AE⊥SD。 （1）证明：AE⊥平面 SDC； （2）求三棱锥 B—ECD 的体积。 9．（本小题满分 12 分） 如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A1B1C1 中，D 是 BC 的中点，AA1=AB=1． （1）求证：Al C∥平面 AB1D； （2）求点 C 到平面 AB1D 的距离． 10．（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 P-ABC 中， PA 面 ABC , ∠BAC=120°，且 AB=AC=AP=1，M 为 PB 的中点，N 在 BC 上，且 AN=BN. （Ⅰ）求证：AB⊥MN； （Ⅱ）求点 P 到平面 NMA 的距离. 11.（本小题满分 12 分）四棱锥 P-ABCD,侧面 PAD是边长为 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱形,∠BDA=60° (Ⅰ)证明:∠PBC=90°; （Ⅱ）若 PB=3,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 12．（本小题满分 12 分） 三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 190 , 2ABC AA AC BC     1A在底面 ABC 内的射影为 AC 的中点 D． (1)求证： 1 1BA AC ； (2)求三棱锥 1 1B ADB 的体积． 13．（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 12, 1BC AB AC AA    ，D是棱 1CC 上 的一点， P是 AD的延长线与 1 1AC 的延长线的交点，且 1PB ∥平面 1BDA ． （Ⅰ）求证： DCCD 1 ； （Ⅱ）求点C到平面 1B DP的距离． 14. ( 本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 BCDEA 中， ABC 是正三角形，四边形 BCDE 是矩形，且平面 ABC 平面 BCDE， 2AB ， 4AD ． （1）若点G是 AE 的中点，求证： //AC 平面 BDG （2）若 F 是线段 AB 的中点，求三棱锥 EFCB  的体积. 15．（本题满分 12 分） 如图，在底面是正方形的四棱锥 P ABCD 中， PA 面 ABCD， BD交 AC于点 E， F 是 PC中点， G为 AC上一动点． （1）求证： BD FG ； （2）确定点G在线段 AC上的位置，使 FG //平面 PBD，并说明理由． （3）如果 PA=AB=2，求三棱锥 B-CDF 的体积 立体几何专题训练（1）答案详解 1．如图所示的多面体中， ABCD是菱形， BDEF 是矩形， ED 面 ABCD , 3 BAD    ． (1)求证：平 / /CF AED面B 面 ； (2))若BF BD a  ，求四棱锥A BDEF 的体积． ．(本题满分１4 分) 证明：（1）由 ABCD是菱形 / /BC AD ,BC ADE AD ADE  面 面 / /BC ADE 面 ………………………………3 分 由 BDEF 是矩形 / /BF DE B A C D P 1A 1B 1C ,BF ADE DE ADE  面 面 / /BF ADE 面 , ,BC BCF BF BCF BC BF B   面 面 / /BCF ADE面 面 ………………………………6 分 （2）连接AC ，AC BD O 由 ABCD是菱形， AC BD  由 ED 面 ABCD ,AC ABCD面 ED AC  , ,ED BD BDEF ED BD D  面 AO BDEF 面 ，……………………………………………10 分 则AO 为四棱锥A BDEF 的高 由 ABCD是菱形， 3 BAD    ， 则 ABD 为等边三角形， 由 BF BD a  ；则 3, 2 AD a AO a  2 BDEFS a ， 2 31 3 3 3 2 6A BDEFV a a a     ………………………………………14 分 2. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 为 AC 中点， AE BD 于 E （不同于点 D），延长 AE 交 BC 于 F，将△ABD 沿 BD 折起，得到三棱锥 1A BCD ，如图 2 所示. （Ⅰ）若 M 是 FC 的中点，求证：直线DM //平面 1A EF ； （Ⅱ）求证：BD⊥ 1A F ； （Ⅲ）若平面 1ABD  平面BCD，试判断直线 1A B与直线 CD 能否垂 直？并说明理由. .解： （Ⅰ）因为D ,M 分别为 ,AC BD中点，所以DM //EF ---------------------2 分 又 1EF A EF平面 ， 1DM AEF平面 所以 1/ /DM AEF平面 . -----------------------4 分 （Ⅱ）因为 1AE BD ，EF BD 且 1AE EF E 所以 1BD AEF平面 -------------7分 又 1 1AF AEF平面 所以 1BD AF ------------------------9分 （Ⅲ）直线 1A B与直线CD不能垂直 ---------------------------------------10 分 因为 1A BD BCD平面 平面 , 1A BD BCD BD平面 平面 ,EF BD , EF CBD平面 ， 所以 1EF A BD平面 . ---------------------------------------12 分 因为 1 1A B A BD平面 ，所以 1AB EF ， 又因为 / /EF DM ，所以 1AB DM . 假设 1AB CD ， 因为 1AB DM ，CD DM D ， 所以 1A B BCD平面 ， ------------------------------------------13 分 所以 1AB BD ， 1图 图 2 这与 1A BD 为锐角矛盾 所以直线 1A B与直线CD不能垂直. ---------------------------------------14 分 3（本小题共 14 分） 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，△PAD是正三角形，平面 PAD⊥平面 ABCD，M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点。 （I）求证：PM⊥MN； （II）求证：平面 PMN⊥平面 PBC； （III）在 PA 上是否存在点 Q，使得平面 QMN//平面 PCD？若在求出 Q 点位置，并证明；若不存在， 请说明理由。 4.(本小题满分 12 分) 如图，四边形 ABCD 是菱形，四边形 MADN 是矩形，平面 MADN平面 ABCD，E，F 分别为 MA， DC 的中点，求证： (I)EF//平面 MNCB； (Ⅱ)平面 MAC平面 BND． 5.如图 1,在直角梯形 ABCD中, 90ADC   , / /CD AB , 1 2 2 AD CD AB   , 点 E 为 AC 中点.将 ADC 沿 AC折起, 使平面 ADC平面 ABC ,得到几何体D ABC ,如图 2 所示. （I）在CD上找一点 F ,使 / /AD 平面 EFB ; A B C A1 O B1 C1 A B C D E F （II）求点C到平面 ABD的距离. BA CD 图 1 E A B C D 图 2 E 解 :(1) 取 CD 的 中 点 F , 连 结 EF , BF ------2 分 在 ACD 中, E , F 分别为 AC ,DC的中点  EF 为 ACD 的中位线  / /AD EF EF 平面 EFB AD 平面 EFB  / /AD 平面 EFB -----6 分 (2) 设点C到平面 ABD 的距离为 h ACBCABCADC  且平面平面 ,  BC 平面 ADC BC  AD 而 DCAD  BCDAD 平面 即 BDAD  32ADBS 三棱锥B ACD 的高 2 2BC  , 2ACDS  ADBCACDB VV   即 h 32 3 1222 3 1  1 12 2 2 2 2 3 3 h     3 62 h ------12 分 6．（本小题满分 12 分） 如图，在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，O 是 AC 的中点，A1O⊥平面 ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC. （I）求证： AC1⊥平面 A1BC; （II）若 AA1=2，求三棱锥 C-A1AB 的高的大小． 解： （Ⅰ）因为 A1O⊥平面 ABC，所以 A1O⊥BC． 又 BC⊥AC，所以 BC⊥平面 A1ACC1，所以 AC1⊥BC． …2分 因为 AA1＝AC，所以四边形 A1ACC1 是菱形，所以 AC1⊥A1C． 所以 AC1⊥平面 A1BC． …6分 （Ⅱ）设三棱锥 C-A1AB 的高为 h． 由（Ⅰ）可知，三棱锥 A-A1BC 的高为 1 2 AC1＝ 3． 因为 VC-A1AB＝VA-A1BC，即 1 3 S△A1ABh＝ 1 3 S△A1BC· 3． 在△A1AB 中，AB＝A1B＝2 2，AA1＝2，所以 S△A1AB＝ 7． …10 分 在△A1BC 中，BC＝A1C＝2，∠BCA1＝90，所以 S△A1BC＝ 1 2 BC·A1C＝2． 所以 h＝2 21 7 ． A B C A1 O B1 C1 7.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，O是底 ABCD对角线的交点. 求证：（１） 1C O 面 1 1AB D ； （2） 1AC  面 1 1AB D ． （3） 1 1 1AB D C BD平面 平面 O C 1 D1 B1 A1 CD A B 证明：（1）连结 1 1AC ，设 1 1 1 1 1AC B D O 连结 1AO ， 1 1 1 1ABCD ABC D 是正方体 1 1A ACC 是平行四边形 1 1AC AC  且 1 1AC AC 又 1,O O 分别是 1 1,AC AC 的中点， 1 1OC AO  且 1 1OC AO 1 1AOCO 是平行四边形 1 1 1,CO AO AO  面 1 1AB D ， 1CO  面 1 1AB D  1CO 面 1 1AB D （2） 1CC  面 1 1 1 1A BC D 1 1 !CC B D  又 1 1 1 1AC B D ， 1 1 1 1B D ACC 面 1 1 1AC B D即 同理可证 1 1AC AB ， 又 1 1 1 1D B AB B  1AC  面 1 1AB D （3） 1 1 1 1ABCD ABC D 是正方体 ∴AB1∥DC1 , AD1∥BC1 ∴ 1 1 1AB D C BD平面 平面 8．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 S—ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AD 垂直于 AB 和 DC，侧棱 SA⊥底面 ABCD，且 SA = 2，AD = DC = 1，点 E在 SD 上，且 AE⊥SD。 （1）证明：AE⊥平面 SDC； （2）求三棱锥 B—ECD 的体积。 (Ⅰ)证明：侧棱 SA 底面 ABCD， CD 底面 ABCD CDSA . ……………………….1 分 又底面 ABCD是直角梯形， AD垂直于 AB 和DC CDAD  ,又 ASAAD  CD 侧面 SAD ,……………………….3 分 AE 侧面 SAD  DSDCDSDAECDAE  ,,  AE 平面 SDC……………………….5 分 (Ⅱ) 1 2EDC CD AD CD ASD CD SD S ED DC AE CD           平面 ……7 分 在Rt ASD 中 1 22, 1, , 5 5 SA AD AE SD ED AE      1 1 1 2 5EDCS    ， ……9 分 又因为 // // AB CD CD SCD AB SCD AB SCD      平面 平面 平面 ， 所以点 B 到平面 SCD 的距离等于点 A 到平面 SCD 的距离 AE ……11 分 所以 1 1 3 15B CDE CDEV S AE    而 60BAC   ,所以,MC//AB. （3 分） 9.（本小题满分 12 分） 如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A1B1C1 中，D 是 BC 的中点，AA1=AB=1． （1）求证：Al C∥平面 AB1D； （2）求点 C 到平面 AB1D 的距离． 10．（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 P-ABC 中， PA 面 ABC , ∠BAC=120°，且 AB=AC=AP=1，M 为 PB 的中点，N 在 BC 上，且 AN=BN. （Ⅰ）求证：AB⊥MN； （Ⅱ）求点 P 到平面 NMA 的距离. 10. 解：（1）取 AB 中点 Q，连接 MQ、NQ， ∵AN=BN∴ ABNQ  ， ……………2 分 ∵ PA 面 ABC，∴ ABPA  ，又 PAMQ∥ ∴ ABMQ  ，………………4 分 所以 AB⊥平面 MNQ，又 MN平面 MNQ ∴AB⊥MN………………6 分 （2）设点 P 到平面 NMA 的距离为 h， ∵M 为 PB的中点，∴ PAM△S = 4 1 2 1 PAB △S 又 ABNQ  ， PANQ  ，∴ BPANQ 面 ， ∵  30ABC ∴ 6 3 NQ ……………………………7分 又 3 322  MQNQMN ， 3 3 AN ， 2 2 AM ， ……………………………………………………………………………9分 可得△NMA 边 AM 上的高为 12 30 ， ∴ 24 15 12 30 2 2 2 1 NMAS△ ………………10 分 由 PAMNNMAP VV   得  hS NMA△3 1 NQS PAM  △3 1 ∴ 5 5 h ……………………12 分 11.（本小题满分 12 分）四棱锥 P-ABCD,侧面 PAD是边长为 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱形,∠BDA=60° (Ⅰ)证明:∠PBC=90°; （Ⅱ）若 PB=3,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 11.解:(1)取 AD 中点 O,连 OP.OB,由已知得:OP⊥AD,OB⊥AD,又 OP∩OB=O,∴AD⊥平面 POB, ∵BC∥AD,∴ Q BC⊥平面 POB,∵PB⊂平面 POB, ∴BC⊥PB,即∠PBC=90° ———————6 分 (2)如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A(1,0,0),B(0, 3,0),C(-2, 3,0),由 PO=BO= 3,PB=3, 得∠POB=120°,∴∠POZ=30°,∴P(0,- 3 2 , 3 2 ),则=(-1, 3,0),=(-2,0,0), = (0,3 3 2 ,-3 2 ),设平面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z), 则 －x＝0 3 3 2 y－3 2 z＝0 ,取 z= 3,则 n=(0,1, 3), 设直线 AB 与平面 PBC 所成的角为θ,则 sinθ=|cos<,n>|= 3 4 ——————12 分 12．（本小题满分 12 分） 三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 190 , 2ABC AA AC BC     1A在底面 ABC 内的射影为 AC 的中点 D． (1)求证： 1 1BA AC ； (2)求三棱锥 1 1B ADB 的体积． 13．（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 12, 1BC AB AC AA    ，D是棱 1CC 上 的一点， P是 AD的延长线与 1 1AC 的延长线的交点，且 1PB ∥平面 1BDA ． （Ⅰ）求证： DCCD 1 ； （Ⅱ）求点C到平面 1B DP的距离． 13. 解：（Ⅰ）连接 1B A交 1BA 于O ∵ 1PB ∥平面 1BDA ， 1B P  面 1AB P ，面 1AB P 面 1BAD OD …2 分 ∴ 1B P∥OD又O为 1B A的中点，…4 分 ∴D为 AP中点∴ 1C 为 1A P中点 …5 分 ∴ 1ACD PC D   ∴ DCCD 1 ；…………6 分 （Ⅱ）因为 1 1C B PD B PCDV V  所以 1 1 1 1 1 3 3B PD PCDh S A B S    ， 1 1 1A B  …………8 分 1 1 1 2 4PCDS CD PC    …………9 分 在 1B PD 中, 1 1 1 1 3 5 2 5 5, 5, .cos ,sin 2 2 5 5 B D B P PD DB P DB P       …………11 分 ∴ 1 1 3 5 3 15 , . 2 2 5 4 3B PDS h       …………12 分 14. ( 本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 BCDEA 中， B A C D P 1A 1B 1C ABC 是正三角形，四边形 BCDE是矩形，且平面 ABC 平面 BCDE， 2AB ， 4AD ． （1）若点G是 AE 的中点，求证： //AC 平面 BDG （2）若 F 是线段 AB 的中点，求三棱锥 EFCB  的体积. 14.解：（1）证明：设CE BD O  ，连接OG， 由三角形的中位线定理可得： ACOG // , ------------3 分 ∵AC平面BDG，OG 平面BDG，∴ //AC 平面 BDG． ------------6 分 （2）∵平面 ABC 平面 BCDE， BCDC  ∴ DC 平面 ABC，∴ ACDC  ,∴ 3222  ACADDC -------8 分 又∵ F 是 AB的中点， ABC 是正三角形， ∴ ABCF  ， ∴ 2 3 2 1  CFBFS BCF ， ------------10 分 又平面 ABC 平面 BCDE， BCEB  ， ∴ EB 平面 BCF ， ∴ 1 3 1   EBSVV BCFBCFEEFCB ------------12 分 15．（本题满分 12 分） 如图，在底面是正方形的四棱锥 P ABCD 中， PA 面 ABCD， BD交 AC于点 E， F 是 PC中点， G为 AC上一动点． （1）求证： BD FG ； （2）确定点G在线段 AC上的位置，使 FG //平面 PBD，并说明理由． （3）如果 PA=AB=2，求三棱锥 B-CDF 的体积 15．解析⑴证空间两直线垂直的常用方法是通过线面垂直来证明，本题中，由于直线FG在平面 PAC 内，所以考虑证明 BD 平面 APC .⑵注意平面PAC 与平面 PBD相交于PE，而直线FG在平面 PAC 内，故只需 FG PE∥ 即可，而这又只需G为 EC中点即可.（3）求三棱锥 B-CDF 的体积中转化为求三棱 锥 F－BCD 的体积，这样底面面积与高都很易求得. 试题解析：⑴∵ PA面 ABCD，四边形 ABCD是正方形， 其对角线 BD、 AC交于点 E，∴ PA BD ， AC BD ．2分∴ BD 平面 APC， ∵ FG 平面 PAC，∴ BD FG 4 分 ⑵当G为 EC中点，即 3 4 AG AC 时， FG∥/平面 PBD， 5 分 理由如下： 连结 PE ，由 F 为 PC中点，G为 EC中点，知 FG PE∥ 6 分 而 FG 平面 PBD， PB 平面 PBD， 故 FG //平面 PBD． 8 分 （3）三棱锥 B-CDF 的体积为 1 1 22 2 1 3 2 3B CDF F BCDV V        .12 分