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文档介绍
全国高考文科数学试题及答案北京卷
2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文史类)(北京卷) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 9 页,共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷(选择题 共 40 分) 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写,用 2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2.每小题选出答案后,将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑,黑度以盖住框内字 母为准,修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1.设集合 21{ | 2}, { 1}2A x x B x x ,则 A B ( ) A.{ 1 2}x x B. 1{ | 1}2x x C.{ | 2}x x D.{ |1 2}x x 【答案】A 【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算 的考查. ∵ 1{ | 2},2A x x 2{ 1} | 1 1B x x x x , ∴ { 1 2}A B x x ,故选 A. 2.已知向量 (1,0), (0,1), ( ),a b c ka b k R d a b ,如果 //c d ,那么 A. 1k 且 c 与 d 同向 B. 1k 且 c 与 d 反向 C. 1k 且 c 与 d 同向 D. 1k 且 c 与 d 反向 【答案】D .w【解析】.k.s.5.u.c 本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵a 1,0 ,b 0,1 ,若 1k ,则 c a b 1,1 ,d a b 1, 1 , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 1k ,则 c a b 1,1 ,d a b 1,1 , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D 3.若 4(1 2) 2( ,a b a b 为有理数),则 a b ( ) A.33 B. 29 C.23 D.19 【答案】B .w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ 4 0 1 2 3 40 1 2 3 4 4 4 4 4 41 2 2 2 2 2 2C C C C C 1 4 2 12 8 2 4 17 12 2 , 由已知,得17 12 2 2a b ,∴ 17 12 29a b .故选 B. .k.s.5.u.c 4.为了得到函数 3lg 10 xy 的图像,只需把函数 lgy x 的图像上所有的点( ) A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 【答案】C .w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A. lg 3 1 lg10 3y x x , B. lg 3 1 lg10 3y x x , C. 3lg 3 1 lg 10 xy x , D. 3lg 3 1 lg 10 xy x . 故应选 C. 5.用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( ) A.8 B.24 C.48 D.120 【答案】C .w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 2 和 4 排在末位时,共有 1 2 2A 种排法, 其余三位数从余下的四个数中任取三个有 3 4 4 3 2 24A 种排法, 于是由分步计数原理,符合题意的偶数共有 2 24 48 (个).故选 C. 6.“ 6 ”是“ 1cos2 2 ”的 A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A .w【解析】本题主要考查.k 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属 于基础知识、基本运算的考查. 当 6 时, 1cos2 cos 3 2 , 反之,当 1cos2 2 时,有 2 2 3 6k k k Z , 或 2 2 3 6k k k Z ,故应选 A. 7.若正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面边长为 1, 1AB 与底面 ABCD 成 60°角,则 1 1AC 到 底面 ABCD 的距离为 ( ) A. 3 3 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D .w【解析】.k 本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意, 1 60B AB ,如图, 1 1 tan60 3BB ,故选 D. 8 . 设 D 是 正 1 2 3PP P 及 其 内 部 的 点 构 成 的 集 合 , 点 0P 是 1 2 3PP P 的 中 心 , 若 集 合 0{ | ,| | | |, 1,2,3}iS P P D PP PP i ,则集合 S 表示的平面区域是 ( ) A. 三角形区域 B.四边形区域 C. 五边形区域 D.六边形区域 【答案】D 【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以 及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 大光明 如图,A、B、C、D、E、F 为各边三等分点,答案 是集合 S 为六边形 ABCDEF,其中, 0 2 1,3iP A P A PA i 即点 P 可以是点 A. 第Ⅱ卷(110 分) 注意事项: 1.用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 题号 二 三 总分1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 分数 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填写在题中横线上。 9.若 4sin ,tan 05 ,则 cos . 【答案】 3 5 【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算。 属于基础知识、基本运算的考查。 由已知, 在第三象限,∴ 2 2 4 3cos 1 sin 1 5 5 ,∴应填 3 5 . 10.若数列{ }na 满足: 1 11, 2 ( )n na a a n N ,则 5a ;前 8 项的和 8S .(用数字作答) 【答案】16 255 .w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本运算的考 查. 1 2 1 3 2 4 3 5 41, 2 2, 2 4, 2 8, 2 16a a a a a a a a a , 易知 8 8 2 1 2552 1S ,∴应填 255. 11.若实数 ,x y 满足 2 0, 4, 5, x y x x 则 s x y 的最大值为 . 【答案】9 【解析】.s.5.u 本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基 础知识、基本运算的考查. 如图,当 4, 5x y 时, 4 5 9s x y 为最大值. 故应填 9. 12.已知函数 3 , 1,( ) , 1, x xf x x x 若 ( ) 2f x ,则 x . .w.w.k.s.5【答案】 3log 2 .w【解析】5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基本运算的考查. 由 3 1 log 2 3 2x x x , 1 2 2 x x x 无解,故应填 3log 2 . 13.椭圆 2 2 19 2 x y 的焦点为 1 2,F F ,点 P 在椭圆上,若 1| | 4PF ,则 2| |PF ; 1 2F PF 的大小为 . 【答案】 2, 120 .w【解析】u.c 本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查. ∵ 2 29, 3a b , ∴ 2 2 9 2 7c a b , ∴ 1 2 2 7F F , 又 1 1 24, 2 6PF PF PF a ,∴ 2 2PF , 又由余弦定理,得 22 2 1 2 2 4 2 7 1cos 2 2 4 2F PF , ∴ 1 2 120F PF ,故应填 2, 120 . 14.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k A ,如果 1k A 且 1k A ,那么称 k 是 A 的一个“孤立元”,给定 {1,2,3,4,5,6,7,8,}S ,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中, 不含“孤立元”的集合共有 个. 【答案】6 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解 决问题的能力. 属于创新题型. 什么是“孤立元”?依题意可知,必须是没有与 k 相邻的元素,因而无“孤立元”是指 在集合中有与 k 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类: 因此,符合题意的集合是: 1,2,3 , 2,3,4 , 3,4,5 , 4,5,6 , 5,6,7 , 6,7,8 共 6 个. 故应填 6. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15.(本小题共 12 分) 已知函数 ( ) 2sin( )cosf x x x . (Ⅰ)求 ( )f x 的最小正周期; (Ⅱ)求 ( )f x 在区间 ,6 2 上的最大值和最小值. 【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上 的最值等基础知识,主要考查基本运算能力. (Ⅰ)∵ 2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x , ∴函数 ( )f x 的最小正周期为 . (Ⅱ)由 26 2 3x x ,∴ 3 sin 2 12 x , ∴ ( )f x 在区间 ,6 2 上的最大值为 1,最小值为 3 2 . 16.(本小题共 14 分) 如图,四棱锥 P ABCD 的底面是正方形, PD ABCD 底面 ,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC PDB 平面 ; (Ⅱ)当 2PD AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小. 【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、 直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能 力和推理论证能力. (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD, ∵ PD ABCD 底面 , ∴PD⊥AC, ∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 AEC PDB 平面 . (Ⅱ)设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, ∴O,E 分别为 DB、PB 的中点, ∴OE//PD, 1 2OE PD , 又∵ PD ABCD 底面 , ∴OE⊥底面 ABCD,OE⊥AO, 在 Rt△AOE 中, 1 2 2 2OE PD AB AO , ∴ 45AEO ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . 【解法 2】如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz , 设 , ,AB a PD h 则 ,0,0 , , ,0 , 0, ,0 , 0,0,0 , 0,0,A a B a a C a D P h , (Ⅰ)∵ , ,0 , 0,0, , , ,0AC a a DP h DB a a , ∴ 0, 0AC DP AC DB , ∴AC⊥DP,AC⊥BD, ∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 AEC PDB 平面 . (Ⅱ)当 2PD AB 且 E 为 PB 的中点时, 1 1 20,0, 2 , , ,2 2 2P a E a a a , 设 AC BD O ,则 1 1( , ,0)2 2O a a ,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角, ∵ 1 1 2 2, , , 0,0,2 2 2 2EA a a a EO a , ∴ 2cos 2 EA EOAEO EA EO , ∴ 45AEO ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . 17.(本小题共 13 分) 某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红 灯的概率都是 1 3 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. (Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运 用概率知识解决实际问题的能力. (Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于 事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件 A 的概率为 1 1 1 41 13 3 3 27P A . (Ⅱ)设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B,这名学 生在上学路上遇到 k 次红灯的事件 0,1,2kB k . 则由题意,得 4 0 2 16 3 81P B , 1 3 2 2 1 2 1 4 2 4 1 2 32 1 2 24,3 3 81 3 3 81P B C P B C . 由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”, ∴事件 B 的概率为 0 1 2 8 9P B P B P B P B . 18.(本小题共 14 分) 设函数 3( ) 3 ( 0)f x x ax b a . (Ⅰ)若曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))f 处与直线 8y 相切,求 ,a b 的值; (Ⅱ)求函数 ( )f x 的单调区间与极值点. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查 综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ) ' 23 3f x x a , ∵曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))f 处与直线 8y 相切, ∴ ' 2 0 3 4 0 4, 24.8 6 82 8 f a a ba bf (Ⅱ)∵ ' 23 0f x x a a , 当 0a 时, ' 0f x ,函数 ( )f x 在 , 上单调递增,此时函数 ( )f x 没 有极值点. 当 0a 时,由 ' 0f x x a , 当 ,x a 时, ' 0f x ,函数 ( )f x 单调递增, 当 ,x a a 时, ' 0f x ,函数 ( )f x 单调递减, 当 ,x a 时, ' 0f x ,函数 ( )f x 单调递增, ∴此时 x a 是 ( )f x 的极大值点, x a 是 ( )f x 的极小值点. 19.(本小题共 14 分) 已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 的离心率为 3 ,右准线方程为 3 3x 。 (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 0x y m 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆 2 2 5x y 上,求 m 的值 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力. (Ⅰ)由题意,得 2 3 3 3 a c c a ,解得 1, 3a c , ∴ 2 2 2 2b c a ,∴所求双曲线C 的方程为 2 2 12 yx . (Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 1 1 2 2, , ,x y x y ,线段 AB 的中点为 0 0,M x y , 由 2 2 0 12 x y m yx 得 2 22 2 0x mx m (判别式 0 ), ∴ 1 2 0 0 0, 22 x xx m y x m m , ∵点 0 0,M x y 在圆 2 2 5x y 上, ∴ 22 2 5m m ,∴ 1m . 20.(本小题共 13 分) 设数列{ }na 的通项公式为 ( , 0)na pn q n N P . 数列{ }nb 定义如下:对于正整 数 m , mb 是使得不等式 na m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 1 1,2 3p q ,求 3b ; (Ⅱ)若 2, 1p q ,求数列{ }mb 的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 3 2( )mb m m N ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围; 如果不存在,请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、分类 讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. (Ⅰ)由题意,得 1 1 2 3na n , 解 1 1 32 3n ,得 20 3n . ∴ 1 1 32 3n 成立的所有 n 中的最小正整数为 7,即 3 7b . (Ⅱ)由题意,得 2 1na n , 对于正整数 m,由 na m ,得 1 2 mn . 根据 mb 的定义可知 当 2 1m k 时, * mb k k N ; 当 2m k 时, *1mb k k N . ∴ 1 2 2 1 3 2 1 2 4 2m m mb b b b b b b b b 1 2 3 2 3 4 1m m 21 3 22 2 m m m m m m . (Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn q m 及 0p 得 m qn p . ∵ 3 2( )mb m m N ,根据 mb 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有 3 1 3 2m qm mp , 即 2 3 1p q p m p q 对任意的正整数 m 都成立. 当3 1 0p (或3 1 0p )时,得 3 1 p qm p (或 2 3 1 p qm p ),这与上 述结论矛盾! 当3 1 0p ,即 1 3p 时,得 2 103 3q q , 解得 2 1 3 3q .(经检验符合题意) ∴ 存在 p 和 q,使得 3 2( )mb m m N ;p 和 q 的取值范围分别是 1 3p , 2 1 3 3q .查看更多