2021高三数学人教B版一轮学案：第八章 第二节　直线的交点与距离公式

2021高三数学人教B版一轮学案：第八章 第二节　直线的交点与距离公式

www.ks5u.com 第二节　直线的交点与距离公式 最新考纲 考情分析 ‎1.能根据直线的方程判断两条直线的位置关系．‎ ‎2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．‎ ‎3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.‎ ‎1.高考对本节内容的考查主要涉及两点间的距离和点到直线的距离．‎ ‎2．常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也会命制新定义题目．‎ ‎3．题型以选择题、填空题为主，属于中低档题.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　‎ 知识点一 两条直线平行与垂直的判定 知识点二 两条直线的交点 知识点三 三种距离 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 ‎(1)求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式．‎ ‎(2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式且x，y 的系数对应相等．‎ ‎1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)若两条直线的方程组成的方程组有解，则两条直线相交．(　×　)‎ ‎(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)‎ ‎(3)直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　√　)‎ ‎(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(　√　)‎ ‎(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　√　)‎ 解析：(1)当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．‎ ‎(2)应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点P到直线的距离为.‎ ‎(3)因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离．‎ ‎(4)两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长，即两条直线上各取一点的最短距离．‎ ‎(5)根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB，所以直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．‎ ‎2．小题热身 ‎(1)已知直线(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与2(k－3)x－2y＋3＝0平行，那么k的值为(　C　)‎ A．1或3 B．1或5‎ C．3或5 D．1或2‎ 解析：法1：把k＝1代入已知两条直线，得－2x＋3y＋1＝0与－4x－2y＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k≠1，排除A，B，D.‎ 法2：因已知两条直线平行，所以k＝3或 解得k＝3或k＝5.‎ ‎(2)直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为(　D　)‎ A．－3 B．－ C．2 D．3‎ 解析：由‎2a＋2×(－3)＝0，得a＝3.‎ ‎(3)直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为.‎ 解析：由得代入y＝ax－2得a＝.‎ ‎(4)点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是(－b－1，－a－1)．‎ 解析：设对称点的坐标为(x0，y0)，‎ 则即 解之得即对称点坐标为(－b－1，－a－1)．‎ ‎(5)直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是.‎ 解析：先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，则两平行线间的距离为d＝＝.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 考点一　两条直线的平行与垂直问题 ‎【例1】　(1)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)‎ A．－1 B．2‎ C．0或－2 D．－1或2‎ ‎(2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________.‎ ‎【解析】　(1)若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；‎ 当a≠0时，两直线平行，则有＝≠，解得a＝－1或2.‎ ‎(2)因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1.即(－1)·＝－1，解得a＝－2.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)－2‎ 方法技巧 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.‎ (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.‎ ‎1．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为(　D　)‎ A.　　　 　B. C.　　　 　D. 解析：由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.‎ ‎2．已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则‎2a＋3b的最小值为25.‎ 解析：由两直线平行可得，a(b－3)＝2b，即2b＋‎3a＝ab，＋＝1.又a，b为正数，所以‎2a＋3b＝(‎2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号，故‎2a＋3b的最小值为25.‎ 考点二　两直线的交点与距离问题 ‎【例2】　(1)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________．‎ ‎(2)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．‎ ‎(3)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．‎ ‎【解析】　(1)先解方程组 得l1，l2的交点坐标为(－1,2)，‎ 再由l3的斜率求出l的斜率为－，‎ 于是由直线的点斜式方程求出l：‎ y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.‎ ‎(2)由题意得，点P到直线的距离为 ＝.‎ 又≤3，即|15－‎3a|≤15，‎ 解之得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．‎ ‎(3)依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间距离为，所以＝，解得c＝2或－6.‎ ‎【答案】　(1)5x＋3y－1＝0　(2)[0,10]‎ ‎(3)2或－6‎ 方法技巧 ‎1.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．‎ ‎2．利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．‎ ‎1．若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是(　A　)‎ A．－ B． C．－ D． 解析：由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x ‎－y－7＝0联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，－1)，所以由中点坐标公式得k＝－.‎ ‎2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　C　)‎ A. B. C. D. 解析：因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.‎ ‎3．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.‎ 解析：解法1：设P(x，x＋)，x>0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x＝，即x＝时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.‎ 解法2：由y＝x＋(x>0)得y′＝1－，令1－＝－1，得x＝，则当点P的坐标为(，3)时，点P到直线x＋y＝0的距离最小，最小值为＝4.‎ 考点三　对称问题 命题方向1 点关于点对称 ‎【例3】　(1)点M(m，－1)关于点N(－2，n)的对称点为P(4，－5)，则(　　)‎ A．m＝－3，n＝8 B．m＝3，n＝－8‎ C．m＝－3，n＝－8 D．m＝－8，n＝－3‎ ‎(2)直线x－2y－3＝0关于定点M(－2,1)对称的直线方程是________．‎ ‎【解析】　(1)因为点M，P关于点N对称，所以由中点坐标公式可知－2＝，即m＝－8，n＝＝－3，故选D.‎ ‎(2)方法1：设对称的直线上的一点的坐标为(x，y)，则其关于点M(－2,1)对称的点的坐标为(－4－x,2－y)．∵(－4－x,2－y)在直线x－2y－3＝0上，∴(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即x－2y＋11＝0.‎ 方法2：根据对称性知对称直线与已知直线平行，因此可设对称直线的方程为x－2y＋λ＝0(λ≠－3)，则点M到两条直线的距离相等，即＝，解得λ＝11，所以所求的直线方程为x－2y＋11＝0.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)x－2y＋11＝0‎ 命题方向2 点关于线对称 ‎【例4】如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)‎ A．3 B．6‎ C．2 D．2 ‎【解析】　直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.‎ ‎【答案】　C 命题方向3 直线关于直线对称 ‎【例5】　直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________．‎ ‎【解析】　设所求直线上任意一点P(x，y)，‎ 则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，‎ 由得 由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，‎ ‎∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.‎ ‎【答案】　x－2y＋3＝0‎ 方法技巧 ‎ ‎(2)轴对称 ‎①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 ‎②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．‎ ‎1．(方向2)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于(　A　)‎ A.　　　　B. C.　　　　D. 解析：由已知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是 解得所以m＋n＝.‎ ‎2．(方向2)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为6x－y－6＝0.‎ 解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以 解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.‎ ‎3．(方向1)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为x＋4y－4＝0.‎ 解析：设l1与l的交点为A(a,8－‎2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,‎2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(‎2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.‎