2020年湖南省衡阳市中考数学试卷

2020年湖南省衡阳市中考数学试卷

湖南省衡阳市 2020 年中考数学试题 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，满分 36 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．） 1.－3 相反数是（ ） A. 3 B. －3 C. 1 3 D. 1 3  【答案】A 【解析】 【分析】 根据相反数的定义可得答案． 【详解】解： 3 的相反数是3. 故选 A． 【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2.下列各式中，计算正确的是（ ） A. 3 2 5a a a  B. 3 2a a a  C.  32 5a a D. 2 3 5a a a  【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类项法则，幂的乘方法则、同底数幂的乘方法则依次判断即可 【详解】A． 3a 和 2a 不是同类项，不能合并，此选项错误； B． 3a 和 2a 不是同类项，不能合并，此选项错误； C． 32 6a a ，此选项错误； D． 2 3 5a a a  ，此选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查同类项合并、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据法则计算是解答的关键． 3.2019 年 12 月 12 日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水 5 周年来，直接受益人口超过 1.2 亿 人，其中 1.2 亿用科学记数法表示为（ ） A. 81.2 10 B. 71.2 10 C. 91.2 10 D. 81.2 10 【答案】A 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 10 na  的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数． 【详解】1.2 亿=120000000=1.2×108． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 10 na  的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4.下列各式中正确的是（ ） A. 2 2   B. 4 2  C. 3 9 3 D. 03 1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的知识对逐项排除即可． 【详解】解：A. 2 2    ，故 A 选项错误； B. 4 2 ，故 B 选项错误； C. 3 27 3 ，故 B 选项错误； D. 03 1 ，故 D 选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的相关知识，掌握这些基础知识是解答本题的 关键． 5.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心 对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图 形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠 后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 6.要使分式 1 1x  有意义，则 x 的取值范围是（ ） A. 1x  B. 1x  C. 1x  D. 0x  【答案】B 【解析】 【分析】 根据分式有意义的条件即可解答． 【详解】根据题意可知， 1 0x   ，即 1x  ． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为 0 是解决问题的关键． 7.如图,在四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,下列条件不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是（ ） A. AB∥DC,AB=DC B. AB=DC,AD=BC C. AB∥DC,AD=BC D. OA=OC,OB=OD 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平行四边形的判定方法逐项分析即可. 【详解】A. ∵ AB∥DC,AB=DC，∴四边形 ABCD 是平行四边形； B. ∵ AB=DC,AD=BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形； C.等腰梯形 ABCD 满足 AB∥DC,AD=BC，但四边形 ABCD 是平行四边形； D. OA=OC,OB=OD，∴四边形 ABCD 是平行四边形； 故选 C. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是 平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 8.下列不是三棱柱展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案． 【详解】解：A、B、D 中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故 均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．C 围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面 没有．故 C 不能围成三棱柱． 故选 C． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩 形． 9.不等式组 1 0,        2 1 3 2 x x x      ① ② 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先解不等式组，然后在数轴上表示出来即可判断． 【详解】解： 1 0       2 1 3 2 x x x      ① ② ， 解①得：x≤1， 解②得：x＞-2， 则不等式组的解集是：−2＜x≤1． 在数轴上表示为： 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集和在数轴上表示解集，分别求出每个不等式的解，根据“同大取 大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”找出解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”， “＞”要用空心圆点表示． 10.反比例函数 ky x  经过点 (2,1) ，则下列说法错误．．的是（ ） A. 2k  B. 函数图象分布在第一、三象限 C. 当 0x  时， y 随 x 的增大而增大 D. 当 0x  时， y 随 x 的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】 将点（2,1）代入 ky x  中求出 k 值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可． 【详解】将点（2,1）代入 ky x  中，解得：k=2， A．k=2，此说法正确，不符合题意； B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意； C．k=2﹥0 且 x﹥0，函数图象位于第一象限，且 y 随 x 的增大而减小，此说法错误，符合题意； D．k=2﹥0 且 x﹥0，函数图象位于第一象限，且 y 随 x 的增大而减小，此说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关 系是解答的关键． 11.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长 35 米、宽 20 米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一 横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 600 平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 x 米，则根 据题意，列方程为（ ） A. 235 20 35 20 2 600x x x     B. 35 20 35 2 20 600x x     C. (35 2 )(20 ) 600x x   D. (35 )(20 2 ) 600x x   【答案】C 【解析】 【分析】 把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为 600 列出方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为 xm， 则种植部分的长为 35 2x m ，宽为 20 ,x m 由题意得： (35 2 )(20 ) 600x x   ． 故选 C． 【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植 面积的长与宽是解决本题的关键． 12.如图 1，在平面直角坐标系中， ABCD 在第一象限，且 //BC x 轴．直线 y x 从原点O 出发沿 x 轴正 方向平移．在平移过程中，直线被 ABCD 截得的线段长度 n 与直线在 x 轴上平移的距离 m 的函数图象如 图 2 所示．那么 ABCD 的面积为（ ） A. 3 B. 3 2 C. 6 D. 6 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图象可以得到当移动的距离是 4 时，直线经过点 A；当移动距离是 6 时，直线经过 B，在移动距离是 7 时经过 D，则 AD=7-4=3，当直线经过 D 点，设交 BC 与 N.则 DN=2，作 DM⊥AB 于点 M.利用三角函数即 可求得 DM 即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是 4 时，直线经过点 A 当移动距离是 6 时，直线经过 B 当移动距离是 7 时经过 D，则 AD=7-4=3 如图：设交 BC 与 N，则 DN=2，作 DM⊥AB 于点 M， ∵移动直线为 y=x ∴∠NDM=45° ∴DM=cos∠NDM·ND= 2 2 22 ´ = ∴ ABCD 的面积为 AD×DM=3× 2 =3 2 ． 故答案为 B． 【点睛】本题考查了平移变换、解直角三角形等知识，其中根据平移变换确定 AD的长是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分．） 13.因式分解： 2a a  __________． 【答案】a(a+1) 【解析】 【分析】 提取 a 即可因式分解. 【详解】 2a a  a(a+1) 故填：a(a+1). 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法因式分解. 14.计算： 2x x xx    _________． 【答案】1 【解析】 【分析】 根据分式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】解：  2 2 1 1x x x x x x x x xx           ． 故答案为 1． 【点睛】本题考查了分式的四则混合运算的法则，掌握分式四则混合运算法则是解答本题的关键． 15.已知一个 n 边形的每一个外角都为 30°，则 n 等于_________． 【答案】12 【解析】 【分析】 根据多边形的外角和是 360°求出多边形的边数即可． 【详解】解：360°÷30°=12． 故答案为 12． 【点睛】本题考查了多边形外角和特征，掌握多边形的外角和为 360°是解答本题的关键． 16.一副三角板如图摆放，且 //AB CD ，则∠1 的度数为_________． 【答案】105 . 【解析】 【分析】 如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解 AEF ,再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，把顶点标注字母， // , 45 ,AB CD D  Q 45 ,AEF D     60 ,GAB   1 60 45 105 .GAB AEF           故答案为：105 . 【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 17.某班有 52 名学生，其中男生人数是女生人数的 2 倍少 17 人，则女生有_________名． 【答案】23 【解析】 【分析】 关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解． 【详解】设男生人数为 x 人，女生人数为 y 人．由此可得方程组 52 2 17 x y x y   ＝ ＝ ． 解得， 29 23 x y    所以，男生有 29 人，女生有 23 人， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题得到等量关系， 根据等量关系建立方程． 18.如图，在平面直角坐标系中，点 1P 的坐标 2 2,2 2       ，将线段 1OP 绕点O 按顺时针方向旋转 45°，再将 其长度伸长为 1OP 的 2 倍，得到线段 2OP ；又将线段 2OP 绕点O 按顺时针方向旋转 45°，长度伸长为 2OP 的 2 倍，得到线段 3OP ；如此下去，得到线段 4OP 、 5OP ，……， nOP（ n 为正整数），则点 2020P 的坐标是_________． 【答案】（0，-22019） 【解析】 【分析】 根据题意得出 OP1=1，OP2=2，OP3=4，如此下去，得到线段 OP3=4=22，OP4=8=23…，OPn=2n-1，再利用旋 转角度得出点 P2020 的坐标与点 P4 的坐标在同一直线上，进而得出答案． 【详解】解：∵点 P1 的坐标为 2 2,2 2       ，将线段 OP1 绕点 O 按顺时针方向旋转 45°，再将其长度伸长为 OP1 的 2 倍，得到线段 OP1； ∴OP1=1，OP2=2， ∴OP3=4，如此下去，得到线段 OP4=23，OP5=24…， ∴OPn=2n-1， 由题意可得出线段每旋转 8 次旋转一周， ∵2020÷8=252…4， ∴点 P2020 的坐标与点 P4 的坐标在同一直线上，正好在 y 轴负半轴上， ∴点 P2020 的坐标是（0，-22019）． 故答案为：（0，-22019）． 【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点 P2014 的坐标与点 P6 的坐标在同一直线上是解题关 键． 三、解答题（本大题共 8 个小题，19~20 题每题 6 分，21-24 题每题 8 分，25 题 10 分，26 题 12 分，满分 66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19.化简： ( ) ( )( )b a b a b a b    ． 【答案】 2a ab 【解析】 【分析】 根据整式的四则混合运算法则以及平方差公式解答即可． 【详解】解： ( ) ( )( )b a b a b a b    = 2 2 2ab b a b   = 2a ab ． 【点睛】本题考查了整式的四则混合运算、平方差公式等知识，灵活运用整式的四则混合运算法则是解答 本题的关键． 20.一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的 2 个黑球和 n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球， 摸到白球的概率为 1 3 ． （1）求 n 的值； （2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出 1 个球，放回搅匀，再随机摸出第 2 个球，求两次摸球摸到一 个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】（1）1；（2） 4 9 ． 【解析】 【分析】 （1）根据概率公式列方程求解即可； （2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得 1 2 3 n n  ，解得 n=1； （2）根据题意画出树状图如下： 所以共有 9 种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有 4 种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个 黑球的概率 4 9 ． 【点睛】本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率，根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答 本题的关键． 21.如图，在 ABC 中， B C   ，过 BC 的中点 D 作 DE AB ， DF AC ，垂足分别为点 E 、 F ． （1）求证： DE DF ； （2）若 40BDE  ，求 BAC 的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2） BAC =80° 【解析】 【分析】 （1）利用已知条件和等腰三角形的性质证明 BDE CDF  ，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC 中利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵点 D 为 BC 的中点， ∴BD=CD， ∵ DE AB ， DF AC ， ∴∠DEB=∠DFC=90° 在△BDE 和△CDF 中， DEB DFC B C BD CD         ∴  BDE CDF AAS  ， ∴ DE DF ． （2）∵ 40BDE   ∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED）=50°， ∴∠C=50°， 在△ABC 中， BAC =180°-（∠B+∠C）=80°， 故 BAC =80°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角 形的性质并灵活应用是解题的关键． 22.病毒虽无情，人间有大爱．2020 年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有 30 个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国 30 个省（区、 市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成 6 组： 100 500x  ，500 900x  ， 900 1300x  ，1300 1700x  ，1700 2100x  ， 2100 2500x  ．） 根据以上信息回答问题： （1）补全频数分布直方图． （2）求扇形统计图中派出人数大于等于 100 小于 500 所占圆心角度数． 据新华网报道在支援湖北省的医务人员大军中，有“90 后”也有“00 后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小 华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90 后”医务人员的数据： C 市派出的 1614 名医护人员中有 404 人是“90 后”； H 市派出的 338 名医护人员中有 103 人是“90 后”； B 市某医院派出的 148 名医护人员中有 83 人是“90 后”． （3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按 4.2 万人计）中，“90 后”大约有 多少万人？（写出计算过程，结果精确到 0.1 万人） 【答案】（1）补图见解析；（2）36 ；（3）1.2 万人． 【解析】 【分析】 （1）根据总数等于各组频数之和即可求出“1300 1700x  ”组得频数，进而补全频数分布直方图； （2）由频数直方图可得“100 500x  ”的频数为 3，再将 360°乘以该组所占比例即可； （3）根据样本估计总体，可得到 90 后”大约有 1.2 万人． 【详解】解：（1）“1300 1700x  ”组得频数为：30-3-10-10-2-1=4， 补全频数分布直方图如图． （2）由频数直方图可知支援武汉的医务人员在“100 500x  ”之间的有 3 个， 所占百分比为： 3 100% 10%30   ， 故其所占圆心角度数=360 10% 36   ． （3）支援湖北省的全体医务人员“90 后”大约有 404 103 834.2 100% 1.18 1.21614 338 148       （万人）， 故：支援湖北省的全体医务人员“90 后”大约有 1.万人． 【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图和扇形统计图的综合运用及样本估计总体．读懂统计图，从不 同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布直方图可以清楚地看出落在各组的频数，各组 的频数和等于总数． 23.小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线 OB 与底板的边缘线OA所在水平线的夹 角为 120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如 图③，点 B 、O 、C 在同一直线上， 24cmOA OB  ， BC AC ， 30OAC   ． （1）求OC 的长； （2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线 OB 与水平线的夹角仍保持 120°，求点 B到 AC 的距 离．（结果保留根号） 【答案】（1）12cm；（2）点 B到 AC 的距离为（12+12 3 ）cm． 【解析】 【分析】 （1）在 Rt△AOC 中，由 30 度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可； （2）过点 O 作 OM∥AC，过点 B′作 B′E⊥AC 交 AC 的延长线于点 E，交 OM 于点 D，B′E 即为点 B到 AC 的距离，根据题意求出∠OB′D=30°，四边形 OCED 为矩形，根据 B′E=B′D+DE 求解即可． 【详解】解：（1）∵ 24cmOA  ， BC AC ， 30OAC   ∴ 1 122OC OA cm  ． 即 OC 的长度为 12cm． （2）如图，过点 O 作 OM∥AC，过点 B′作 B′E⊥AC 交 AC 的延长线于点 E，交 OM 于点 D，B′E 即为点 B 到 AC 的距离， ∵OM∥AC，B′E⊥AC， ∴B′E⊥OD， ∵MN∥AC， ∴∠NOA=∠OAC=30°， ∵∠AOB=120°， ∴∠NOB=90°， ∵∠NOB′=120°， ∴∠BOB′=120°-90°=30°， ∵BC⊥AC，B′E⊥AE，MN∥AE， ∴BC∥B′E，四边形 OCED 为矩形， ∴∠OB′D=∠BOB′=30°，DE=OC=12cm， 在 Rt△B′OD 中，∵∠OB′D=30°，B′O=BO=24cm， ∴ B'D 3cos OB'D= =B'O 2 ∠ B′D= 12 3cm ， B′E=B′D+DE=  12 3 12 cm ， 答：点 B到 AC 的距离为 12 3 12 cm ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质和直角三角形中 30 度角所对的直角边长度是斜 边的一半，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24.如图，在 ABC 中， 90C   ，AD 平分 BAC 交 BC 于点 D ，过点 A 和点 D 的圆，圆心O 在线段 AB 上， O 交 AB 于点 E ，交 AC 于点 F ． （1）判断 BC 与 O 的位置关系，并说明理由； （2）若 8AD  ， 10AE  ，求 BD 的长． 【答案】（1） BC 与 O 相切．证明见解析；（2）120.7 【解析】 【分析】 （1）利用角平分线的定义证明 ,OAD CAD   结合等腰三角形的性质证明 ,ODA CAD   从而证明 / / ,OD AC 结合 90C   可得答案； （2）连接 DE ，先利用勾股定理求解 DE 的长，再证明 ,BDE BAD ∽ 利用相似三角形的性质列方程组 求解即可得到答案． 【详解】解：（1） BC 与 O 相切． 理由如下： 如图，连接 OD ， AD 平分 BAC ， ,OAD CAD   ,OA ODQ ,ODA OAD   ,ODA CAD   / / ,OD AC 90 ,C   90 ,ODB C     DQ 在 O 上， BC 是 O 的切线． （2）连接 ,DE AE∵ 为 O 的直径， 90 ,ADE   8AD  ， 10AE  ， 2 2 6,DE AE AD    90 ,ODB ADE     90 ,BDE ODE ADO ODE         ,BDE ADO   ,OD OA ,ADO DAO   ,BDE DAO   ,B B   ,BDE BAD ∽ ,BD DE BE BA AD BD    6 ,10 8 BD BE BE BD     2 6 8 ,10 BD BE BD BE BE    解得： 120.7BD  所以： BD 的长为：120.7 【点睛】本题考查的切线的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，勾股定 理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 25.在平面直角坐标系 xOy 中，关于 x 的二次函数 2y x px q  的图象过点 ( 1,0) ， (2,0) ． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求当 2 1x   时， y 的最大值与最小值的差； （3）一次函数 (2 ) 2y m x m    的图象与二次函数 2y x px q  的图象交点的横坐标分别是 a 和b ， 且 3a b  ，求 m 的取值范围． 【答案】（1） 2y x x 2   ；（2） 25 4 ；（3） 1m  ． 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法将点 ( 1,0) ， (2,0) 代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴 1 2x  ，从而知在 2 1x   中，当 x=-2 时，y 有最大值，当 1 2x  时，y 有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出 x 与 m 的函数关系式，根据有两个交点可得出  >0，根据根与系数的关系可 得出 a，b 的值，然后根据 3a b  ，整理得出 m 的取值范围． 【详解】解：（1）∵ 2y x px q  的图象过点 ( 1,0) ， (2,0) ， ∴ 1 0 4 2 0 p q p q        解得 1 2 p q      ∴ 2y x x 2   （2）由（1）得，二次函数对称轴为 1 2x  ∴当 2 1x   时，y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4, y 的最小值为 21 1 922 2 4         ∴ y 的最大值与最小值的差为 9 254 4 4       ； （3）由题意及（1）得   2 2 2 2 y m x m y x x          整理得    2 3 4 0x m x m     即  ( 1) 4 0x x m      ∵一次函数 (2 ) 2y m x m    的图象与二次函数 2y x px q  的图象交点的横坐标分别是 a 和b ， ∴    23 4 4 0m m      化简得 2 10 25 0m m   即 25 0m   解得 m≠5 ∴a，b 为方程  ( 1) 4 0x x m      的两个解 又∵ 3a b  ∴a=-1，b=4-m 即 4-m>3 ∴m<1 综上所述，m 的取值范围为 1m  ． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解 题的关键是熟记二次函数图象的性质． 26.如图 1，平面直角坐标系 xOy 中，等腰 ABC 的底边 BC 在 x 轴上， 8BC  ，顶点 A 在 y 的正半轴上， 2OA  ，一动点 E 从 (3,0) 出发，以每秒 1 个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动 点 F 从点C 出发，以相同的速度沿 CB 向左运动，到达点O 停止．已知点 E 、 F 同时出发，以 EF 为边作 正方形 EFGH ，使正方形 EFGH 和 ABC 在 BC 的同侧．设运动的时间为 t 秒（ 0t  ）． （1）当点 H 落在 AC 边上时，求 t 的值； （2）设正方形 EFGH 与 ABC 重叠面积为 S ，请问是存在 t 值，使得 91 36S  ？若存在，求出t 值；若不 存在，请说明理由； （3）如图 2，取 AC 的中点 D ，连结 OD ，当点 E 、 F 开始运动时，点 M 从点O 出发，以每秒 2 5 个单 位的速度沿OD DC CD DO   运动，到达点O 停止运动．请问在点 E 的整个运动过程中，点 M 可能在 正方形 EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点 M 在正方形 EFGH 内（含边界）的时长；若不可能， 请说明理由． 【答案】（1）t=1；（2）存在， 14 3t  ，理由见解析；（3）可能， 3 5 ≤t≤1 或 t=4，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）用待定系数法求出直线 AC 的解析式，根据题意用 t 表示出点 H 的坐标，代入求解即可； （2）根据已知，当点 F 运动到点 O 停止运动前，重叠最大面积是边长为 1 的正方形的面积，即不存在 t， 使重叠面积为 91 36S  ，故 t﹥4,用待定系数法求出直线 AB 的解析式，求出点 H 落在 BC 边上时的 t 值，求 出此时重叠面积为 16 9 ﹤ 91 36 ，进一步求出重叠面积关于 t 的表达式，代入解 t 的方程即可解得 t 值； （3）由已知求得点 D（2，1），AC= 2 5 ，OD=OC=OA= 5 ,再求出 OC 解析式，结合图形分情况讨论即 可得出符合条件的时长． 【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)， 设直线 AC 的函数解析式为 y=kx+b， 将点 A、C 坐标代入，得： 4 0 2 k b b     ，解得： 1 2 2 k b      ， ∴直线 AC 的函数解析式为 1 22y x   ， 当点 H 落在 AC 边上时，点 E(3-t，0)，点 H（3-t，1）， 将点 H 代入 1 22y x   ，得： 11 (3 ) 22 t    ，解得：t=1； （2）存在， 14 3t  ，使得 91 36S  ． 根据已知，当点 F 运动到点 O 停止运动前，重叠最大面积是边长为 1 的正方形的面积，即不存在 t，使重叠 面积为 91 36S  ，故 t﹥4， 设直线 AB 的函数解析式为 y=mx+n， 将点 A、B 坐标代入，得： 4 0 2 m n n      ，解得： 1 2 2 m n     ， ∴直线 AC 的函数解析式为 1 22y x  ， 当 t﹥4 时，点 E（3-t，0）点 H（3-t，t-3），G(0，t-3)， 当点 H 落在 AB 边上时，将点 H 代入 1 22y x  ，得： 13 (3 ) 22t t    ，解得： 13 3t  ； 此时重叠的面积为 2 213 16( 3) ( 3)3 9t     ， ∵ 16 9 ﹤ 91 36 ，∴13 3 ﹤t﹤5， 如图 1，设 GH 交 AB 于 S，EH 交 AB 于 T, 将 y=t-3 代入 1 22y x  得： 13 22t x   ， 解得：x=2t-10， ∴点 S(2t-10，t-3)， 将 x=3-t 代入 1 22y x  得： 1 1(3 ) 2 (7 )2 2y t t     ， ∴点 T 1(3 , (7 ))2t t  ， ∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET= 1 (7 )2 t ， 21 1 (7 )2 4BETS BE ET t     , 21 (5 )2ASGS AG SG t     所以重叠面积 S= AOB BET ASGS S S    =4- 21 (7 )4 t - 2(5 )t = 25 27 133 4 2 4t t   ， 由 25 27 133 4 2 4t t   = 91 36 得： 1 14 3t  ， 2 92 15t  ﹥5(舍去)， ∴ 14 3t  ； （3）可能， 3 5 ≤t≤1 或 t=4． ∵点 D 为 AC 的中点，且 OA=2,OC=4， ∴点 D（2，1），AC= 2 5 ，OD=OC=OA= 5 , 易求得 OD 的解析式为 1 2y x ， 当 0﹤t﹤1 时，如图 2，设点 M 为 EH 与 OD 的交点，由题意，OM= 2 5t ， 将 x=3-t 代入 1 2y x 中得： 1 (3 )2y t  ， ∴OE=3-t，EM= 1 (3 )2 t ， 由勾股定理得： 2 2 2OE EM OM  即 2 2 21(3 ) (3 ) (2 5 )4t t t    ， 解得：t  3 5 ， 当 t=1 时，由（1）知，点 M 与点 H 都运动到 D 点处，符合题意； ∴当 3 5 ≤t≤1 时，点 M 可能在正方形 EFGH 内（含边界）， ,当 1﹤t﹤4 时，点 M 不可能在正方形 EFGH 内（含边界）， 当 t=4 时，点 M 运动返回到点 O 处，此时点 F 也运动到点 O 处，符合题意， 综上，当 3 5 ≤t≤1 或 t=4 时，点 M 可能在正方形 EFGH 内（含边界）． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形 的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定 系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．