- 2021-02-26 发布 |
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文档介绍
浙江专用2020高考数学二轮复习热考题型解法指导第1讲高考客观题的解法教案
第1讲 高考客观题的解法 1.在“限时”的高考考试中,解答选择题不但要“准”,更要“快”,只有“快”,才能为后面的解答题留下充足的时间.而要做到“快”,必然要追求“巧”,“巧”即“不择手段、多快好省”.由于数学选择题是四选一的形式,因而在解答时应突出一个“选”字,要充分利用题干和选项两方面提供的信息,尽量减少书写解题过程,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速解答.一般来说,能定性判断的,就不再使用复杂的定量计算;能使用特殊值判断的,就不必采用常规解法;能使用间接法的,就不必采用直接法;对于明显可以否定的选项应及早排除,以缩小选择的范围;初选后要认真检验,确保准确. 2.数学填空题只要求写出结果,不要求写出计算和推理过程,其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简.解题时,要有合理地分析和判断,要求推理、运算的每一步骤都正确无误,还要求将答案表达得准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确地解答填空题的基本要求. 数学填空题,绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题,应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断.求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等. 技法一 直接法 直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和准确的运算,从而得出正确的结论.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法. [典型例题] (1)(2019·杭州市学军中学高考模拟)展开式中所有奇数项的系数之和为1 024,则展开式中各项系数的最大值是( ) A.790 B.680 C.462 D.330 (2)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=________,b=________. 【解析】 (1)由题意可得2n-1=1 024,即得n=11,则展开式中各项系数的最大值是C或C,则C==462,故选C. (2)由于2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x - 23 - =sin(2x+)+1,所以A=,b=1. 【答案】 (1)C (2) 1 直接法是解决选择题,填空题最基本的方法,直接法适用范围较广.在计算过程中,要根据题目的要求灵活处理,多角度思考问题,注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用,将计算过程简化从而得到结果,这是快速准确地求解问题的关键. [对点训练] 1.(2018·高考浙江卷)复数(i为虚数单位)的共轭复数是( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 解析:选B.因为===1+i, 所以复数的共轭复数为1-i.故选B. 2.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=________. 解析:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则a4=-1+3d=8,解得d=3;b4=-1·q3=8,解得q=-2.所以a2=-1+3=2,b2=-1×(-2)=2,所以=1. 答案:1 技法二 特例法 当已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论. [典型例题] (1)若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0, 1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( ) A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关 (2)已知E为△ABC的重心,AD为BC边上的中线,令=a,=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且=ma,=nb,则+=( ) - 23 - A.3 B.4 C.5 D. 【解析】 (1)因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f(-)=b-中取,所以最值之差一定与b无关,故选B. (2)由于直线PQ是过点E的一条“动”直线,所以结果必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所求值. 法一:如图1,令PQ∥BC, 则=,=,此时,m=n=, 故+=3.故选A. 法二:如图2,直线BE与直线PQ重合,此时,=,=,故m=1,n=,所以+=3.故选A. 【答案】 (1)B (2)A 特例法具有简化运算和推理的优点,比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题,但用特例法解题时,要注意以下几点: 第一,取特例尽可能简单,有利于计算和推理; 第二,若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符,则应选另一特例情况再检验,或改用其他方法求解; 第三,对于开放性的问题或者有多种答案的填空题,不能使用该种方法求解. [对点训练] 如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右项点A、上顶点B分别作 - 23 - y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=( ) A.1 B.2 C. D. 解析:选A.不妨取点P, 则可计算S1=×(5-4)=, 由题易得PD=2,PE=, 所以S2=×2×=, 所以S1∶S2=1. 技法三 图解法 对于一些含有几何背景的问题,若能“数中思形”“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形. [典型例题] (1)如图,已知正四面体DABC(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R分别为AB,BC,CA上的点,AP=PB,==2.分别记二面角DPRQ,DPQR,DQRP的平面角为α,β,γ,则( ) A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α (2)(2019·宁波高考模拟)定义max{a,b}=,已知函数f(x)=max{|2x-1|,ax2+b},其中a<0,b∈R,若f(0)=b,则实数b的范围为________,若f(x)的最小值为1,则a+b=________. - 23 - 【解析】 (1)如图1,设O是点D在底面ABC内的射影,过O作OE⊥PR,OF⊥PQ,OG⊥RQ,垂足分别为E,F,G,连接ED,FD,GD,易得ED⊥PR,所以∠OED就是二面角DPRQ的平面角,所以α=∠OED,tan α=,同理tan β=,tan γ=. 底面的平面图如图2所示,以P为原点建立平面直角坐标系,不妨设AB=2,则A(-1,0),B(1,0),C(0,),O,因为AP=PB,==2,所以Q,R,则直线RP的方程为y=-x,直线PQ的方程为y=2x,直线RQ的方程为y=x+,根据点到直线的距离公式,知OE=,OF=,OG=,所以OE>OG>OF, 所以tan α0,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一正根、一负根.
于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是
f(5)>0,解得a>-,故a的取值范围为.
3.(2019·杭州市学军中学模拟)已知q是等比数列{an}的公比,则“q<1”是“数列{an}是递减数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选D.数列-8,-4,-2,…,该数列是公比q==<1的等比数列,但该数列是递增数列,所以,由等比数列{an}的公比q<1,不能得出数列{an}是递减数列;
而数列-1,-2,-4,-8,…,是递减数列,但其公比q=>1,所以,由数列{an}是递减数列,不能得出其公比q<1.
所以,“q<1”是“等比数列{an}是递减数列”的既不充分也不必要条件.故选D.
4.当a>0时,函数f(x)=(x2+2ax)ex的图象大致是( )
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解析:选B.由f(x)=0,得x2+2ax=0,解得x=0或x=-2a,因为a>0,所以x=-2a<0,故排除A,C;当x趋向于-∞时,ex趋向于0,故f(x)趋向于0,排除D.
5.已知正实数a,b满足a2-b+4≤0,则u=( )
A.有最大值为
B.有最小值为
C.没有最小值
D.有最大值为3
解析:选B.因为a2-b+4≤0,所以b≥a2+4,a,b>0.
所以a+b≥a2+a+4,
所以≤,
所以-≥-,
所以u==3-≥3-=3-≥3-=,当且仅当a=2,b=8时取等号.故选B.
6.(2019·瑞安四校联考)已知Rt△AOB的面积为1,O为直角顶点,设向量a=,b=,=a+2b,则·的最大值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选A.以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,建立直角坐标系.
设A(m,0),B(0,n),则a=(1,0),
b=(0,1),=a+2b=(1,2),
=(m-1,-2),=(-1,n-2),
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Rt△AOB的面积为1,即有mn=2,则·=1-m-2(n-2)=5-(m+2n)≤5-2=5-2×2=1,当且仅当m=2n=2时,取得最大值1.
7.(2019·绍兴一中高三期中)到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹,被过一直线与另一直线垂直的平面所截,截得的曲线为( )
A.相交直线 B.双曲线
C.抛物线 D.椭圆弧
解析:选C.如图所示,建立坐标系,不妨设两条互相垂直的异面直线为OA,BC,设OB=a,P(x,y,z)到直线OA,BC的距离相等,所以x2+z2=(x-a)2+y2,所以2ax-y2+z2-a2=0,
若被平面xOy所截,则z=0,y2=2ax-a2;若被平面xOz所截,则y=0,z2=-2ax+a2,故选C.
8.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同分配方案的种数为( )
A.50 B.80
C.120 D.140
解析:选B.根据题意,分2种情况讨论:①甲组有2人,首先选2个放到甲组,共有C=10种结果,
再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置,每组至少一人,共有CA=6种结果,
所以根据分步乘法计数原理知共有10×6=60种结果,
②当甲中有三个人时,有CA=20种结果,
所以共有60+20=80种结果,故选B.
9.设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=则f(x)的值域是( )
A.∪(1,+∞)
B.[0,+∞)
C.
D.∪(2,+∞)
解析:选D.由x<g(x)得x<x2-2,
所以x<-1或x>2;
由x≥g(x)得x≥x2-2,
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所以-1≤x≤2.
所以f(x)=
即f(x)=
当x<-1时,f(x)>2;当x>2时,f(x)>8.
所以当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数的值域为(2,+∞).当-1≤x≤2时,-≤f(x)≤0.
所以当x∈[-1,2]时,函数的值域为.
综上可得f(x)的值域是∪(2,+∞).
10.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)满足xf′(x)+f(x)=,且f(e)=,其中e为自然对数的底数,则不等式f(x)+e>x+的解集是( )
A. B.(0,e)
C. D.
解析:选B.根据题意,令g(x)=xf(x),
则有g′(x)=[xf(x)]′=xf′(x)+f(x)=,
则g(x)=(ln x)2+C,即xf(x)=(ln x)2+C,
则有f(x)=(ln x)2+,
又由f(e)=,即f(e)=+=,解可得C=,
故f(x)=(ln x)2+,
令h(x)=f(x)-x,
则h′(x)=f′(x)-1=-1<0,
故函数h(x)=f(x)-x在(0,+∞)上递减,
不等式f(x)+e>x+,即f(x)-x>-e=f(e)-e,
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则有0