2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

‎4.2.3　对数函数的性质与图像 NNN第1课时　对数函数的性质与图像 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.理解对数函数的概念．‎ ‎2．初步掌握对数函数的性质与图像．‎ 理解对数函数的概念及对数函数的性质与图像，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 对数函数 函数y＝__logax__称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．‎ 思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？‎ ‎(2)对数函数的解析式有何特征？‎ 提示：(1)定义域为x＞0，因为负数和零没有对数．‎ ‎(2)①a＞0，且a≠1；②logax的系数为1；③自变量x的系数为1．‎ 对数函数的性质与图像 知识点 　 ‎ ‎0＜a＜1‎ a＞1‎ 图像 定义域 ‎__(0，＋∞)__‎ 值域 ‎__R__‎ 性质 过__定点(1,0)__‎ ‎__是减函数__‎ ‎__是增函数__‎ 思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logx，y＝logx，…，为什么一定过点(1,0)?‎ ‎(2)对于对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？‎ - 7 -‎ - 7 -‎ 底数 x的范围 y的范围 a＞1‎ x＞1‎ ‎？‎ ‎0＜x＜1‎ ‎？‎ ‎0＜a＜1‎ x＞1‎ ‎？‎ ‎0＜x＜1‎ ‎？‎ 提示：(1)当x＝1时，loga1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．‎ ‎(2)‎ 底数 x的范围 y的范围 a＞1‎ x＞1‎ y＞0‎ ‎0＜x＜1‎ y＜0‎ ‎0＜a＜1‎ x＞1‎ y＜0‎ ‎0＜x＜1‎ y＞0‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 对数函数的概念 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　指出下列函数哪些是对数函数？‎ ‎(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；‎ ‎(3)y＝logx2；(4)y＝log2x＋1．‎ ‎[解析]　(1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．‎ ‎(2)是对数函数．‎ ‎(3)自变量在底数位置，不是对数函数．‎ ‎(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．‎ 规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：‎ ‎(1)系数为1．‎ ‎(2)底数为大于0且不等于1的常数．‎ - 7 -‎ ‎(3)对数的真数仅有自变量x．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．(1)下列函数是对数函数的是(　D　)‎ A．y＝loga(2x) B．y＝lg 10x C．y＝loga(x2＋x) D．y＝ln x ‎(2)若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为(　A　)‎ A．y＝log2x B．y＝2log4x C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定 ‎[解析]　(1)由对数函数的定义，知D正确．‎ ‎(2)设所求对数函数的解析式为y＝logax(a＞0，a≠1)，由题意，得2＝loga4，∴a＝2，∴所求对数函数的解析式为y＝log2x．‎ 题型 求函数的定义域 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　求下列函数的定义域：‎ ‎(1)y＝；‎ ‎(2)y＝；‎ ‎(3)y＝log(2x－1)(3－4x)．‎ ‎[分析]　函数的定义域是使函数有意义的自变量x的允许取值范围．求定义域时，要结合使根式、分式等有意义的条件和对数式的定义求解．‎ ‎[解析]　(1)由题意得lg (2－x)≥0，‎ 即2－x≥1，∴x≤1，‎ 则y＝的定义域为{x|x≤1}．‎ ‎(2)欲使y＝有意义，‎ 应有log3(3x－2)≠0，∴.解得x＞，且x≠1．‎ ‎∴y＝的定义域为．‎ ‎(3)使y＝log(2x－1)(3－4x)有意义时，‎ ，∴，∴＜x＜．‎ ‎∴此函数的定义域为．‎ 规律方法：求对数型函数的定义域时应遵循的原则 - 7 -‎ ‎(1)分母不能为0．‎ ‎(2)根指数为偶数时，被开方数非负．‎ ‎(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．求下列函数的定义域：‎ ‎(1)y＝；‎ ‎(2)y＝；‎ ‎(3)y＝log(5x－1)(7x－2)．‎ ‎[解析]　(1)由，‎ 得，∴，即＜x≤1，‎ ‎∴所求函数的定义域为{x|＜x≤1}．‎ ‎(2)由，得，‎ ‎∴，即0≤x＜1，‎ ‎∴所求函数的定义域为{x|0≤x＜1}．‎ ‎(3)由，得，即x＞，且x≠，‎ ‎∴所求函数的定义域为{x|x＞，且x≠}．‎ 题型 应用对数函数的单调性比较数的大小 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　比较下列各组中两个数的大小：‎ ‎(1)log23.4和log28.5；　(2)log0.53.8和log0.52；‎ ‎(3)log0.53和1; (4)log20.5和0；‎ ‎(5)log0.30.7和0; (6)log34和0．‎ ‎[分析]　(1)(2)中两数同底数，不同真数，可直接利用对数函数的单调性比较大小；(3)中将1化为log0.50.5，(4)中将0化为log21，(5)中将0化为log0.31，(6)中将0化为log31，然后再利用对数函数的单调性比较大小．‎ ‎[解析]　(1)∵y＝log2x在x∈(0，＋∞)上为增函数，且3.4＜8.5，‎ ‎∴log23.4＜log28.5．‎ ‎(2)∵y＝log0.5x在x∈(0，＋∞)上为减函数，且3.8＞2，‎ ‎∴log0.53.8＜log0.52．‎ ‎(3)∵1＝log0.50.5，∴log0.53＜log0.50.5，∴log0.53＜1．‎ ‎(4)∵0＝log21，∴log20.5＜log21，∴log20.5＜0．‎ - 7 -‎ ‎(5)∵0＝log0.31，∴log0.30.7＞log0.31，‎ ‎∴log0.30.7＞0．‎ ‎(6)∵0＝log31，∴log34＞log31，∴log34＞0．‎ 规律方法：比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性．‎ ‎(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．‎ ‎(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图像，再进行比较．‎ ‎(3)若底数与真数都不同，则常借助1、0等中间量进行比较．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　D　)‎ A．a＞c＞b　　　 B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b ‎(2)设a＝log，b＝log，c＝log3，则a、b、c的大小关系是(　B　)‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎[解析]　(1)a＝log32＜log33＝1，c＝log23＞log22＝1，‎ 由对数函数的性质可知，‎ log52＜log32，∴b＜a＜c，故选D．‎ ‎(2)c＝log3＝log，又＜＜，‎ 且函数y＝logx在其定义域上为减函数，‎ ‎∴log＞log＞log，即a＞b＞C．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　解不等式loga(2x－5)＞loga(x－1)．‎ ‎[错解]　原不等式可化为，解得x＞4．‎ 故原不等式的解集为{x|x＞4}．‎ ‎[辨析]　误解中默认为底数为a＞1，没有对底数a分类讨论．‎ - 7 -‎ ‎[正解]　当a＞1时，原不等式可化为，‎ 解得x＞4；‎ 当0＜a＜1时，原不等式可化为，‎ 解得＜x＜4．‎ 综上可知，当a＞1时，原不等的解集为{x|x＞4}，‎ 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|＜x＜4}．‎ - 7 -‎