高等数学下册 chap2(导数与微分)2-3(隐函数及参数方程确定的函数的导数)

高等数学下册 chap2(导数与微分)2-3(隐函数及参数方程确定的函数的导数)

一、隐函数的求导法 三、参数式函数的求导法 四、相关变化率 二、对数求导法 第二节 隐函数和参数式 函数的求导法 定义 1. 隐函数的定义 所确定的函数 称为 隐函数 (implicit function). 的形式称为 显函数 . 隐函数的 可确定显函数 例 开普勒方程 开普勒 ( J.Kepler )1571-1630 德国数学家 , 天文学家 . 的隐函数客观存在 , 但无法将 表达成 的 显式 表达式 . 显化 . 一、隐函数的求导法 2. 隐函数求导法 隐函数求导法则 用 复合函数求导法则 , 并注意到其中 将方程两边对 x 求导 . 变量 y 是 x 的函数 . 隐函数不易显化或不能显化 ？ 如何求导 例 解 则得恒等式 代入方程 , 将此恒等式两边同时对 x 求导 , 得 因为 y 是 x 的函数 , 是 x 的复合函数 , 所以 求导时要用复合函数求导法 , 虽然隐函数没解出来 , 但它的导数求出来了 , 当然结果中仍含有变量 y. 允许在 的表达式中含有变量 y . 一般来说 , 隐函数 求导 , 求 隐函数的导数时 , 只要记住 x 是自变量 , 将方程两边同时对 x 求导 , 就得到一个含有导数 从中解出即可 . 于是 y 的函数便是 x 的复合函数 , 的方程 . y 是 x 的函数 , 例 解 法一 利用 隐函数求导法 . 将方程两边对 x 求导 , 得 解出 得 法二 从原方程中解出 得 先求 x 对 y 的导数 , 得 再利用 反函数求导法则 , 得 例 解 切线方程 法线方程 通过原点 . 例 解 将上面方程两边再对 或解 解得 利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题 . 如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直 , 正交轨线 . 称这两条曲线是 正交的 . 如果一个曲线 族 中的每条曲线与另一个曲线 族 中的所有与它相交的曲线均正交 , 称这 是正交的 两个曲线族 或互为 正交曲线族在很多物理现象中出现 , 例如 , 静电场中的电力线与等电位线正交 , 热力学中的 等温线与热流线正交 , 等等 . 练习 证 即证 . 两条曲线在该点的 现只须证明 切线斜率互为负倒数 . 作为隐函数求导法的一个简单应用 , 介绍 (1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数 . 对数求导法 , 它可以利用对数性质使某些函数的 求导变得更为简单 . 适用于 方 法 先在方程两边取对数 , -------- 对数求导法 然后利用隐函数的 求导法求出导数 . 二、对数求导法 例 解 等式两边取对数得 隐函数 两边对 x 求导得 等式两边取对数得 例 解 等式两边取对数得 注 复合函数 改写成 如上例 则 只要将 幂指函数也可以利用对数性质化为 : 再求导 , 有些显函数用对数求导法很方便 . 例如 , 两边取对数 两边对 x 求导 练习 解答 等式两边取对数 解答 三、参数式函数的求导法 例如 消去参数 问题 : 消参困难或无法消参如何求导 ? 所以 , 单调连续的 反函数 由 复合函数及反函数的求导法则 得 例 解 所求切线方程为 例 解 可由 切线的斜率 来反映 . 即 设由方程 确定函数 求 方程组两边对 t 求导 , 得 故 例 解 若曲线由极坐标方程 给出 , 利用 可化为极角 参数方程 , 因此曲线 切线的斜率为 例 解 将曲线的极坐标方程转换成 则曲线的切线斜率为 所以法线斜率为 又切点为 故法线方程为 即 参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程 , 借助参数方程处理问题的方法 , 在高等数学中将多次遇到 . 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为 相关变化率解法三步骤 找出相关变量的关系式 对 t 求导 相关变化率 求出未知的相关变化率 四、相关变化率 相关变化率 之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率 , (1) (2) (3) 例 解 (1) (2) 仰角增加率 (3) 练习 设自开始充气以来的时间 t , 解 体积为 在 t 时刻气体的 半径为 小结 隐函数求导法则 工具 : 复合函数 链导法则 ; 对数求导法 对方程两边取对数 , 按隐函数的求导法则求导 . 参数方程求导 注意 : 变量 y 是 x 的函数 . 将方程两边对 x 求导 . 工具 : 复合函数 链导法则 、反函数的求导法则 . 相关变化率 通过函数关系确定两个变化率 之间的 解法 : 三个步骤 . 关系 , 从其中一个变化率 ( 已知 ) 求出一个变化率 ; 一般地 1. 对数求导法 可得 2. 写为指数形式 按复合函数求导法则求导 思考题 ( 是非题 ) 正确解答 试问 对吗 ? 非 如 : 注 求二阶导数不必死套公式 , 只要理解其含义 , 这样对求更高阶的导数也容易处理 . 例 解