湖北省高考数学试卷理科

湖北省高考数学试卷理科

‎1．（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（　　）‎ A．i B．﹣i C．1 D．﹣1‎ ‎2．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　）‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 ‎3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（　　）‎ A．212 B．211 C．210 D．29‎ ‎4．（5分）（2015•湖北）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（　　）‎ A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）‎ C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）‎ ‎5．（5分）（2015•湖北）设a1，a2，…，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，则（　　）‎ A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（　　）‎ A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]‎ ‎7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（　　）‎ A．P1＜P2＜P3 B．P2＜P3＜P1 C．P3＜P1＜P2 D．P3＜P2＜P1‎ ‎8．（5分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（　　）‎ A．对任意的a，b，e1＞e2‎ B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2‎ C．对任意的a，b，e1＜e2‎ D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2‎ ‎9．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（　　）‎ A．77 B．49 C．45 D．30‎ ‎10．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=　　　　　　．‎ ‎12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为　　　　　　．‎ ‎13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=　　　　　　m．‎ ‎14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．‎ ‎（1）圆C的标准方程为　　　　　　；‎ ‎（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：‎ ‎①=； ②﹣=2； ③+=2．‎ 其中正确结论的序号是　　　　　　．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x Asin（ωx+φ）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ ‎（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．‎ ‎18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式 ‎（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．‎ ‎（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；‎ ‎（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．‎ ‎20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．‎ ‎（1）求Z的分布列和均值；‎ ‎（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．‎ ‎21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎22．（14分）（2015•湖北）已知数列{an}的各项均为正数，bn=n（1+）nan（n∈N+），e为自然对数的底数．‎ ‎（1）求函数f（x）=1+x﹣ex的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；‎ ‎（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；‎ ‎（3）令cn=（a1a2…an），数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn．‎ ‎　‎ ‎ 2015年湖北省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（　　）‎ A．i B．﹣i C．1 D．﹣1‎ ‎【考点】虚数单位i及其性质．菁优网版权所有 ‎【专题】数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可．‎ ‎【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i，‎ 它的共轭复数为：i．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　）‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 ‎【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；概率与统计．‎ ‎【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（　　）‎ A．212 B．211 C．210 D．29‎ ‎【考点】二项式定理；二项式系数的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】二项式定理．‎ ‎【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．‎ ‎【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，‎ 可得，可得n=3+7=10．‎ ‎（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•湖北）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（　　）‎ A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）‎ C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．‎ ‎【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•湖北）设a1，a2，…，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，则（　　）‎ A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎【考点】等比数列的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】等差数列与等比数列；简易逻辑．‎ ‎【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．‎ ‎【解答】解：由a1，a2，…，an∈R，n≥3．‎ 运用柯西不等式，可得：‎ ‎（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，‎ 若a1，a2，…，an成等比数列，即有==…=，‎ 则（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，‎ 即由p推得q，‎ 但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=an=0，则a1，a2，…，an不成等比数列．‎ 故p是q的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（　　）‎ A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．‎ ‎【解答】解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），‎ 不妨令f（x）=x，a=2，‎ 则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，‎ sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，‎ sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；‎ 对于D，令f（x）=x+1，a=2，‎ 则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，‎ sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；‎ sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=，‎ ‎﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（　　）‎ A．P1＜P2＜P3 B．P2＜P3＜P1 C．P3＜P1＜P2 D．P3＜P2＜P1‎ ‎【考点】几何概型．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．‎ ‎【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：‎ P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），‎ 则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，‎ S2=1×1﹣2×=1﹣=，‎ S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，‎ ‎∴S2＜S3＜S1，‎ 即P2＜P3＜P1，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（　　）‎ A．对任意的a，b，e1＞e2‎ B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2‎ C．对任意的a，b，e1＜e2‎ D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；‎ 双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，‎ ‎∴=﹣=，‎ ‎∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（　　）‎ A．77 B．49 C．45 D．30‎ ‎【考点】集合中元素个数的最值．菁优网版权所有 ‎【专题】新定义；开放型；集合．‎ ‎【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求 ‎【解答】解：解法一：‎ ‎∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），‎ B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}‎ ‎∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，‎ ‎∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），‎ ‎（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；‎ 解法二：‎ 因为集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45个．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】进行简单的演绎推理．菁优网版权所有 ‎【专题】创新题型；简易逻辑．‎ ‎【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4．‎ ‎【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），‎ 若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），‎ 若[t3]=3，则t∈[，），‎ 若[t4]=4，则t∈[，），‎ 若[t5]=5，则t∈[，），‎ 其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，‎ 通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，‎ 但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）‎ 上，‎ ‎∴正整数n的最大值4‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=　9　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．‎ ‎【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，‎ ‎∵||=3，‎ ‎∴．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为　2　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．‎ f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|‎ ‎=2sinx﹣|ln（x+1）|‎ ‎=sin2x﹣|ln（x+1）|，‎ 分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，‎ 由函数的图象可知，交点个数为2．‎ 所以函数的零点有2个．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=　100　m．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；解三角形．‎ ‎【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．‎ ‎【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，‎ 在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．‎ 根据正弦定理得=，‎ 解得h=100（m）‎ 故答案为：100．‎ ‎【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．‎ ‎（1）圆C的标准方程为　（x﹣1）2+（y﹣）2=2　；‎ ‎（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：‎ ‎①=； ②﹣=2； ③+=2．‎ 其中正确结论的序号是　①②③　．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；圆与圆的位置关系及其判定．菁优网版权所有 ‎【专题】创新题型；简易逻辑．‎ ‎【分析】（1）取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；‎ ‎（2）设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出、、的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），‎ ‎∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，‎ ‎∵|AB|=2，∴|BE|=1，‎ 则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，‎ ‎∴圆心C（1，），‎ 则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，‎ 故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2．‎ ‎（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），‎ 又∵|AB|=2，且E为AB中点，‎ ‎∴A（0，﹣1），B（0，+1），‎ ‎∵M、N在圆O：x2+y2=1上，‎ ‎∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），‎ ‎∴|NA|=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎|NB|=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎∴===，‎ 同理可得=，‎ ‎∴=，①成立，‎ ‎﹣=﹣（）=2，②正确．‎ ‎+=+（）=，③正确．‎ 故答案为：①②③．‎ ‎【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．‎ ‎　‎ 选修4-1：几何证明选讲 ‎15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=　　．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 ‎【专题】推理和证明．‎ ‎【分析】利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可．‎ ‎【解答】解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，‎ 可得PA=2PB，‎ 在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），‎ 可得△PAB∽△PAC，‎ ‎∴==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎16．（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=　　．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程．菁优网版权所有 ‎【专题】坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．‎ ‎【解答】解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，‎ 由C的参数方程为（ t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．‎ 联立，得，即．‎ ‎∴A（），B（），‎ ‎∴|AB|=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x Asin（ωx+φ）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ ‎（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．‎ ‎（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解．‎ ‎【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x Asin（ωx+φ）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ 且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．‎ ‎（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．‎ 因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．‎ 令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．‎ 由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，‎ 解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．‎ ‎【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式 ‎（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．菁优网版权所有 ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；‎ ‎（2）当d＞1时，由（1）知cn=，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，‎ 解得，或，‎ 当时，an=2n﹣1，bn=2n﹣1；‎ 当时，an=（2n+79），bn=9•；‎ ‎（2）当d＞1时，由（1）知an=2n﹣1，bn=2n﹣1，‎ ‎∴cn==，‎ ‎∴Tn=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，‎ ‎∴Tn=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，‎ ‎∴Tn=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，‎ ‎∴Tn=6﹣．‎ ‎【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．‎ ‎（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；‎ ‎（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用．‎ ‎【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角．‎ ‎（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可．‎ 解法2）‎ ‎（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．‎ ‎2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．‎ ‎【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，‎ 由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，‎ 所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．‎ 又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．‎ 而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．‎ 又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．‎ 由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，‎ 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．‎ ‎（2）如图1，‎ 在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．‎ 由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．‎ 又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．‎ 所以DG⊥DF，DG⊥DB 故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，‎ 设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，‎ 在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=，‎ 则 tan=tan∠DPF===，解得．‎ 所以==‎ 故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．‎ ‎（解法2）‎ ‎（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，‎ 则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），‎ 于是=0，即PB⊥DE．‎ 又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．‎ 因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．‎ 由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，‎ 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．‎ ‎（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；‎ 由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．‎ 若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，‎ 则运用向量的数量积求解得出cos==，‎ 解得．所以所以==‎ 故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．‎ ‎【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．‎ ‎（1）求Z的分布列和均值；‎ ‎（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【专题】不等式的解法及应用；概率与统计．‎ ‎【分析】（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．‎ ‎（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．‎ ‎【解答】（12分）‎ 解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有 ‎，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．‎ 当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．‎ 将z=1000x+1200y变形为，‎ 当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，‎ 最大获利Z=Zmax=2.4×1000+4.8×1200=8160．‎ 当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．‎ 将z=1000x+1200y变形为，‎ 当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，‎ 最大获利Z=Zmax=3×1000+6×1200=10200．‎ 当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．‎ 将z=1000x+1200y变形为：，‎ 当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Zmax=6×1000+4×1200=10800．‎ 故最大获利Z的分布列为：‎ Z ‎8160‎ ‎10200‎ ‎10800‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708‎ ‎（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，‎ 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：‎ ‎．‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．菁优网版权所有 ‎【专题】创新题型；开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ ‎【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；‎ ‎（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设D（t，0），|t|≤2，‎ N（x0，y0），M（x，y），由题意得=2，‎ 且||=||=1，‎ ‎∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且，‎ 即，且t（t﹣2x0）=0，‎ 由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0，‎ 于是t=2x0，故x0=，y0=﹣，‎ 代入x02+y02=1，得方程为．‎ ‎（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=，‎ ‎②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），‎ 由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，‎ ‎∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，‎ ‎∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，‎ 由，可得P（，），同理得Q（，），‎ 原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|xP﹣xQ|，‎ 可得S△OPQ=|PQ|d=|m||xP﹣xQ|=|m|||=||②，‎ 将①代入②得S△OPQ=||=8||，‎ 当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，‎ 当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），‎ ‎∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，‎ ‎∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，‎ ‎∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，‎ 综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2015•湖北）已知数列{an}的各项均为正数，bn=n（1+）nan（n∈N+），e为自然对数的底数．‎ ‎（1）求函数f（x）=1+x﹣ex的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；‎ ‎（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；‎ ‎（3）令cn=（a1a2…an），数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】创新题型；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x＜ex．取x=即可得到答案；‎ ‎（2）由bn=n（1+）nan（n∈N+），变形求得，，，由此推测=（n+1）n．然后利用数学归纳法证明．‎ ‎（3）由cn的定义、=（n+1）n、算术﹣几何平均不等式、bn的定义及，利用放缩法证得Tn＜eSn．‎ ‎【解答】（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣ex．‎ 当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；‎ 当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．‎ 故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．‎ 当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜ex．‎ 令，得，即．①‎ ‎（2）解：；=；‎ ‎．‎ 由此推测：=（n+1）n．②‎ 下面用数学归纳法证明②．‎ ‎（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．‎ ‎（2）假设当n=k时，②成立，即．‎ 当n=k+1时，，由归纳假设可得 ‎=．‎ ‎∴当n=k+1时，②也成立．‎ 根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．‎ ‎（3）证明：由cn的定义，②，算术﹣几何平均不等式，bn的定义及①得 Tn=c1+c2+…+cn=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎＜ea1+ea2+…+ean=eSn．‎ 即Tn＜eSn．‎ ‎【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；刘长柏；双曲线；maths；吕静；lincy；sxs123；cst；w3239003；sdpyqzh（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2016年6月8日 考点卡片 ‎　‎ ‎1．集合中元素个数的最值 ‎【知识点的认识】‎ ‎【命题方向】‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎ 求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决．‎ ‎　‎ ‎2．命题的真假判断与应用 ‎【知识点的认识】‎ ‎ 判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．‎ 注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1=0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分． ‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．‎ ‎ 2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．‎ ‎3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．‎ ‎【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．‎ ‎　‎ ‎3．根的存在性及根的个数判断 ‎【根的存在性及根的个数判断】‎ ‎ 第一个定理应该叫介值定理．内容是如果一个连续的函数f（x），[a，b]在这个函数的定义域内，并且f（a）与f（b）异号，那么存在c∈[a，b]使得f（c）=0也就是c是方程f（x）=0的根 第二个定理可以叫Rolle定理 ‎ 如果函数f（x） 在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b） 内可导，且f（a）=f（b），那么在（a，b） 内至少有一点ξ （a＜ξ＜B），使得函数f′（ξ）==0，这个可以判断出导函数零点是否存在．‎ 第三个定理是代数学基本定理 ‎ 任何复系数一元n次方程在复数域上至少有一根（n≥1）由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算），这个是复数域上，高考较少涉及．‎ ‎【判定方法】‎ ‎ 这里面用的比较多的是f（a）•f（b）＜0和数形结合法，我们以具体例子为例：‎ 例题：判断函数f（x）=ex﹣5零点的个数 解：法一　f（0）=﹣4＜0，f（3）=e3﹣5＞0，‎ ‎∴f（0）•f（3）＜0．‎ 又∵f（x）=ex﹣5在R上是增函数，‎ ‎∴函数f（x）=ex﹣5的零点仅有一个． ‎ 法二　令y1=ex，y2=5，画出两函数图象，由图象可知有一个交点，故函数f（x）=ex﹣5的零点仅有一个 ‎ ‎【高考趋势】‎ ‎ 根的存在问题相对来说是零点里头最重要的一个点，也是比较常考的点，一般都是以中档题的形式在选择题里出现，在解这种题的时候，做出函数图象是首要选择，然后根据图形去寻找答案．‎ ‎　‎ ‎4．函数与方程的综合运用 ‎【知识点的知识】‎ ‎ 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．‎ ‎　‎ ‎5．简单线性规划的应用 ‎【知识点的知识】‎ 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 ‎1、二元一次不等式表示的平面区域 一般地，直线l：ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分：‎ ‎①直线l上的点（x，y）的坐标满足ax+by+c=0；‎ ‎②直线l一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＞0；‎ ‎③直线l另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＜0．‎ 所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0，y0），从ax0+by0+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．‎ ‎2、线性规划相关概念 ‎ 名称 ‎ 意义 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组 可行解 满足约束条件的解（x，y）‎ 可行域 由所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域的顶点处取得 二元线性规划问题 如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次函数的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题 ‎3、线性规划 ‎（1）不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数．由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．‎ ‎ 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．‎ ‎（2）一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．‎ ‎（3）那么，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域．其中可行解（x1，y1）和（x2，y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行．‎ ‎4、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：‎ ‎①首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）．‎ ‎②设z=0，画出直线l0．‎ ‎③观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解．‎ ‎④最后求得目标函数的最大值及最小值．‎ ‎5、利用线性规划研究实际问题的解题思路：‎ 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．‎ 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解．‎ 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．‎ ‎【典型例题分析】‎ 题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．‎ 解答：不等式组表示的平面区域如图所示．‎ 由于直线y=kx+过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y=kx+能平分平面区域．‎ 因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．‎ 当y=kx+过点（，）时，=+，所以k=．‎ 答案：A．‎ 点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．‎ 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．‎ 题型二：求线性目标函数的最值 典例2：设x，y满足约束条件：，求z=x+y的最大值与最小值．‎ 分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y=0来寻找最优解，求出目标函数的最值．‎ 解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y=0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z=x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z=x+y达到最大值．故zmin=2，zmax=7．‎ 点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．‎ ‎（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．‎ 题型三：实际生活中的线性规划问题 典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：‎ 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 ‎4吨 ‎1.2万元 ‎0.55万元 韭菜 ‎6吨 ‎0.9万元 ‎0.3万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（　　）‎ A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50‎ 分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．‎ 解析　设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知 求目标函数z=x+0.9y的最大值，‎ 根据题意画可行域如图阴影所示．‎ 当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B 点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：‎ ‎（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；‎ ‎（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；‎ ‎（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．‎ 题型四：求非线性目标函数的最值 典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为　　．‎ ‎（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的最小值是　　．‎ 分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．‎ 解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．‎ ‎（2）依题意得，+=（x+1，y），|+|=可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y=2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|+|的最小值是=．‎ 故答案为：（1）（2）．‎ 点评：常见代数式的几何意义有 ‎（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；‎ ‎（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；‎ ‎（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；‎ ‎（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．‎ ‎2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．‎ ‎　‎ ‎6．数列的求和 ‎【知识点的知识】‎ ‎ 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：‎ ‎（1）公式法：‎ ‎①等差数列前n项和公式：Sn=na1+n（n﹣1）d或Sn=‎ ‎②等比数列前n项和公式：‎ ‎③几个常用数列的求和公式：‎ ‎（2）错位相减法：‎ 适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．‎ ‎（3）裂项相消法：‎ 适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即=（）．‎ ‎（4）倒序相加法：‎ ‎ 推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）． ‎ ‎（5）分组求和法：‎ ‎ 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可． ‎ ‎【典型例题分析】‎ 典例1：已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn；‎ ‎（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ 分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．‎ 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a3=7，a5+a7=26，‎ ‎∴，解得a1=3，d=2，‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；‎ Sn==n2+2n．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1，‎ ‎∴bn====，‎ ‎∴Tn===，‎ 即数列{bn}的前n项和Tn=．‎ 点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎ 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．‎ ‎　‎ ‎7．等比数列的性质 ‎【知识点的知识】‎ 等比数列的常用性质 ‎（1）通项公式的推广：an=am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l=m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al=am•an ‎（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．‎ ‎（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q=1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．‎ ‎　‎ ‎8．数列与不等式的综合 ‎【知识点的知识】‎ 证明与数列求和有关的不等式基本方法：‎ ‎（1）直接将数列求和后放缩；‎ ‎（2）先将通项放缩后求和；‎ ‎（3）先将通项放缩后求和再放缩；‎ ‎（4）尝试用数学归纳法证明．‎ 常用的放缩方法有：‎ ‎，，，‎ ‎=[]‎ ‎﹣=＜＜=﹣（n≥2），‎ ‎＜=（）（n≥2），‎ ‎，‎ ‎2（）=＜=＜=2（）．‎ ‎…+≥…+==＜．‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎ 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：‎ ‎（1）添加或舍去一些项，如：＞|a|；＞n；‎ ‎（2）将分子或分母放大（或缩小）；‎ ‎（3）利用基本不等式；＜；‎ ‎（4）二项式放缩；‎ ‎（5）利用常用结论；‎ ‎（6）利用函数单调性．‎ ‎（7）常见模型：‎ ‎①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．‎ ‎【典型例题分析】‎ 题型一：等比模型 典例1：对于任意的n∈N*，数列{an}满足=n+1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求证：对于n≥2，．‎ 解答：（Ⅰ）由 ①，‎ 当n≥2时，得 ②，‎ ‎①﹣②得．‎ ‎∴． ‎ 又，得a1=7不适合上式．‎ 综上得；‎ ‎（Ⅱ）证明：当n≥2时，．‎ ‎∴=．‎ ‎∴当n≥2时，．‎ 题型二：裂项相消模型 典例2：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．‎ 分析：（1）根据an=Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1=1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．‎ ‎（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．‎ 解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立 ‎∴（n≥2）②‎ ‎①﹣②得2an=an+an2﹣an﹣1﹣an﹣12，∴an+an﹣1=（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）‎ ‎∵an，an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1=1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列 又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1，∴an=n．（n∈N*）‎ ‎（2）解：由（1）可知∵‎ ‎∴‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎（1）放缩的方向要一致．‎ ‎（2）放与缩要适度．‎ ‎（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．‎ ‎（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．‎ ‎　‎ ‎9．平面向量数量积的运算 ‎【平面向量数量积的运算】‎ ‎ 平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2=2±2•+2．②（﹣）（+）=2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．‎ ‎【例题解析】‎ 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：‎ ‎①“mn=nm”类比得到“”‎ ‎②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（）•=”；‎ ‎③“t≠0，mt=nt⇒m=n”类比得到“⇒”；‎ ‎④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“||=||•||”；‎ ‎⑤“（m•n）t=m（n•t）”类比得到“（）•=”；‎ ‎⑥“”类比得到． 以上的式子中，类比得到的结论正确的是　①②　．‎ ‎ 解：∵向量的数量积满足交换律，‎ ‎∴“mn=nm”类比得到“”，‎ 即①正确；‎ ‎∵向量的数量积满足分配律，‎ ‎∴“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（）•=”，‎ 即②正确；‎ ‎∵向量的数量积不满足消元律，‎ ‎∴“t≠0，mt=nt⇒m=n”不能类比得到“⇒”，‎ 即③错误；‎ ‎∵||≠||•||，‎ ‎∴“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“||=||•||”；‎ 即④错误；‎ ‎∵向量的数量积不满足结合律，‎ ‎∴“（m•n）t=m（n•t）”不能类比得到“（）•=”，‎ 即⑤错误；‎ ‎∵向量的数量积不满足消元律，‎ ‎∴”不能类比得到，‎ 即⑥错误．‎ 故答案为：①②．‎ ‎ 向量的数量积满足交换律，由“mn=nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（）•=”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt=nt⇒m=n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“||=||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t=m（n•t）”不能类比得到“（）•=”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．‎ ‎【考点分析】‎ ‎ 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．‎ ‎　‎ ‎10．虚数单位i及其性质 ‎【虚数单位i的概念】‎ ‎ i是数学中的虚数单位，i2=﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a=0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b=0叫做实数．复数的模为．‎ ‎【复数的运算】‎ ‎ ①复数的加法，若M=a+bi，N=c+di，那么M+N=（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．‎ ‎ ②复数的乘法，若M=a+bi，N=c+di，那么M•N=（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．‎ ‎【例题解析】‎ 例：定义运算，则符合条件的复数z为．‎ 解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z===3﹣i．‎ 这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．‎ ‎【考点分析】‎ ‎ 复数考查的比较基础，需要掌握的主要是一要会运算，特别是如何把复数的分母变成实数；二要学会待定系数法；三是会求模．‎ ‎　‎ ‎11．随机抽样和样本估计总体的实际应用 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、样本与总体．‎ ‎①总体：我们所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．‎ ‎②样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本的容量．‎ ‎2、三种抽样方法 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 从总体中逐个抽取 简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的 总体中的个体数较少 系统抽样 将总体均匀分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多 分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 ‎3、用样本估计总体：‎ ‎（1）用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法．当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及其相应的频率来表示，其几何表示就是相应的条形图，当总体中的个体取不同值较多，甚至无限时，其频率分布的研究要用到初中学过的整理样本数据的知识．‎ ‎（2）用样本估计总体，除在整体上用样本的频率分布去估计总体的分布以外，还可以从特征数上进行估计，即用样本的平均数去估计总体的平均数，用关于样本的方差（标准差）去估计总体的方差（标准差）．‎ ‎　‎ ‎12．几何概型 ‎【考点归纳】‎ ‎1．定义：若一个试验具有下列特征：‎ ‎（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；‎ ‎（2）每次试验的各种结果是等可能的．‎ 那么这样的试验称为几何概型．‎ ‎2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）=称为事件A的几何概率．‎ ‎　‎ ‎13．离散型随机变量的期望与方差 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、离散型随机变量的期望 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 x1‎ x2‎ ‎…‎ xn ‎…‎ P p1‎ p2‎ ‎…‎ pn ‎…‎ 则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．‎ 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．‎ 平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn，则有p1=p2=…=pn=，Eξ=（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值． ‎ 期望的一个性质：若η=aξ+b，则E（aξ+b）=aEξ+b． ‎ ‎2、离散型随机变量的方差；‎ 方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，‎ 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．‎ 标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．‎ 方差的性质：．‎ 方差的意义：‎ ‎（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；‎ ‎（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；‎ ‎（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．‎ ‎　‎ ‎14．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 ‎【知识点的知识】‎ ‎1．正态曲线及性质 ‎（1）正态曲线的定义 函数φμ，σ（x）=，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．‎ ‎（2）正态曲线的解析式 ‎①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．‎ ‎②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．‎ ‎③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．‎ ‎④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣．‎ ‎2．正态分布 ‎（1）正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．‎ ‎（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ‎①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826；‎ ‎②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544；‎ ‎③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．‎ ‎3．正态曲线的性质 正态曲线φμ，σ（x）=，x∈R有以下性质：‎ ‎（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；‎ ‎（2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；‎ ‎（3）曲线在x=μ处达到峰值；‎ ‎（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；‎ ‎（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；‎ ‎（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．‎ ‎4．三个邻域 ‎ 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．‎ ‎【典型例题分析】‎ 题型一：概率密度曲线基础考察 典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（　　）‎ A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10‎ 解析：由=，可知σ=2，μ=10．‎ 答案：B．‎ 典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（　　）‎ A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2‎ 解析：由P（ξ＜4）=0.8知P（ξ＞4）=P（ξ＜0）=0.2，‎ 故P（0＜ξ＜2）=0.3．故选C．‎ 典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.682 6，则P（X＞4）等于（　　）‎ A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5‎ 解析　由正态曲线性质知，其图象关于直线x=3对称，∴P（X＞4）=0.5﹣frac{1}{2}P（2≤X≤4）=0.5﹣×0.682 6=0.1587．故选B．‎ 题型二：正态曲线的性质 典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．‎ ‎（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；‎ ‎（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．‎ 分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．‎ 解　（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ=0．由=，得σ=4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是 φμ，σ（x）=，x∈（﹣∞，+∞）．‎ ‎（2）P（﹣4＜X≤4）=P（0﹣4＜X≤0+4）‎ ‎=P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．‎ 点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．‎ 典例2：设两个正态分布N（μ1，{{σ}_{1}}^{2}）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（　　）‎ A．μ1＜μ2，σ1＜σ2‎ B．μ1＜μ2，σ1＞σ2‎ C．μ1＞μ2，σ1＜σ2‎ D．μ1＞μ2，σ1＞σ2‎ 解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x=μ对称，在x=μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．‎ 答案：A．‎ 题型三：服从正态分布的概率计算 典例1：设X～N（1，22），试求 ‎（1）P（﹣1＜X≤3）；‎ ‎（2）P（3＜X≤5）；‎ ‎（3）P（X≥5）．‎ 分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．‎ 解析：∵X～N（1，22），∴μ=1，σ=2．‎ ‎（1）P（﹣1＜X≤3）=P（1﹣2＜X≤1+2）‎ ‎=P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.682 6．‎ ‎（2）∵P（3＜X≤5）=P（﹣3＜X≤﹣1），‎ ‎∴P（3＜X≤5）=[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]‎ ‎=[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]‎ ‎=[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]‎ ‎=×（0.954 4﹣0.682 6）‎ ‎=0.1359．‎ ‎（3）∵P（X≥5）=P（X≤﹣3），‎ ‎∴P（X≥5）=[1﹣P（﹣3＜X≤5）]‎ ‎=[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]‎ ‎=[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]‎ ‎=×（1﹣0.954 4）=0.0228．‎ ‎ 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．‎ 典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）=0.3，则P（ξ＜2）=　　．‎ 解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x=1对称，所以P（ξ＞2）=P（ξ＜0）=0.3，P（ξ＜2）=1﹣0.3=0.7．‎ 答案：0.7．‎ 题型4：正态分布的应用 典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有　　辆．‎ 解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ=8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）=0.7，故P（7≤ξ≤9）=2P（8≤ξ≤9）=0.7，所以P（8≤ξ≤9）=0.35，而P（ξ≥8）=0.5，所以P（ξ＞9）=0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15=180辆．‎ 点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）=P（ξ＜x2）时必然有=μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．‎ 典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？‎ 解∵X～N（4，），∴μ=4，σ=．‎ ‎∴不属于区间（3，5]的概率为 P（X≤3）+P（X＞5）=1﹣P（3＜X≤5）‎ ‎=1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）‎ ‎=1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）‎ ‎=1﹣0.9974=0.0026≈0.003，‎ ‎∴1 000×0.003=3（个），‎ 即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎ 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．‎ ‎　‎ ‎15．二项式定理 ‎【认识】‎ ‎ 二项式定理，又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n=Cniai•bn﹣i．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．‎ ‎【例题解析】‎ 例1：用二项式定理估算1.0110=　1.105　．（精确到0.001）‎ ‎ 解：1.0110=（1+0.01）10=110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．‎ 故答案为：1.105．‎ ‎ 这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．‎ 例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．‎ ‎ 解：由题意T8=C107×=120×3i=360i．‎ ‎ 故答案为：360i．‎ ‎ 通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．‎ ‎【考点点评】‎ ‎ 本考点虽说比较容易，但也是高考的一个常考点，希望大家都能记住这个公式，并学会计算和灵活运用．‎ ‎　‎ ‎16．二项式系数的性质 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．‎ 注意：‎ ‎（1）二项展开式有n+1项；‎ ‎（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；‎ ‎（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开；‎ ‎（4）二项式定理通常有如下变形：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．‎ ‎2、二项展开式的通项公式 ‎ 二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．‎ 注意：‎ ‎（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是Cnr；‎ ‎（2）字母b的次数和组合数的上标相同；‎ ‎（3）a与b的次数之和为n．‎ ‎3、二项式系数的性质．‎ ‎（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；‎ ‎（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．‎ ‎　‎ ‎17．进行简单的演绎推理 ‎【知识点的知识】‎ 演绎推理 ‎（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；‎ ‎（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；‎ ‎（3）演绎推理是一种收敛性的思维方法，只要前提为真，推理形式正确，结论必正确，前提和结论之间存在必然关系，因此演绎推理是数学中严格证明的工具．‎ ‎（4）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：‎ ‎“三段论”的结构 ‎①大前提﹣﹣已知的一般原理；‎ ‎②小前提﹣﹣所研究的特殊情况；‎ ‎③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ ‎“三段论”的表示 ‎①大前提﹣﹣M是P．‎ ‎②小前提﹣﹣S是M．‎ ‎③结论﹣﹣S是P．‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．‎ ‎2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．‎ ‎3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．‎ ‎　‎ ‎18．函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 ‎【知识点的知识】‎ 函数y=sin x的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤 两种变换的差异 先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎1．一个技巧 列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．‎ ‎2．两个区别 ‎（1）振幅A与函数y=Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M=A+b，最小值m=﹣A+b，故A=．‎ ‎（2）由y=sin x变换到y=Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y=sin x的图象变换到y=Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．‎ ‎3．三点提醒 ‎（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；‎ ‎（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；‎ ‎（3）由y=Asin ωx的图象得到y=Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．‎ ‎　‎ ‎19．由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 ‎【知识点的知识】‎ 根据图象确定解析式的方法：‎ ‎ 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A=，k=，ω由周期T确定，即由=T求出，φ由特殊点确定．‎ ‎　‎ ‎20．解三角形的实际应用 ‎【知识点的知识】‎ ‎1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b．‎ ‎2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角．‎ ‎3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．‎ ‎4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C．‎ ‎5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．‎ ‎6．俯角和仰角的概念：‎ ‎ 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．‎ ‎7．关于三角形面积问题 ‎①S△ABC=frac{1}{2}aha=bhb=chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；‎ ‎②S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB；‎ ‎③S△ABC=2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）‎ ‎④S△ABC=；‎ ‎⑤S△ABC=，（s=（a+b+c））；‎ ‎⑥S△ABC= r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）‎ ‎　‎ ‎21．圆与圆的位置关系及其判定 ‎【知识点的认识】‎ ‎1．圆与圆的位置关系 ‎2．圆与圆的位置关系的判定 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|=d ‎（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断 ‎ ①外离（4条公切线）：d＞r1+r2‎ ‎ ②外切（3条公切线）：d=r1+r2‎ ‎ ③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2‎ ‎ ④内切（1条公切线）：d=|r1﹣r2|‎ ‎ ⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|‎ ‎（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．‎ ‎　‎ ‎22．椭圆的标准方程 ‎【知识点的认识】‎ 椭圆标准方程的两种形式：‎ ‎（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|=2c；‎ ‎（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|=2c．‎ 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2=b2+c2‎ 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．‎ 标准方程 ‎（a＞b＞0）‎ 中心在原点，焦点在x轴上 ‎（a＞b＞0）‎ 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0）‎ B（0，b），B′（0，﹣b）‎ A（b，0），A′（﹣b，0）‎ B（0，a），B′（0，﹣a）‎ 对称轴 ‎ x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 ‎ 焦点 ‎ F1（﹣c，0），F2（c，0）‎ ‎ F1（0，﹣c），F2（0，c） ‎ 焦距 ‎|F1F2|=2c（c＞0）‎ c2=a2﹣b2‎ ‎|F1F2|=2c（c＞0）‎ c2=a2﹣b2‎ 离心率 e=（0＜e＜1）‎ ‎ e=（0＜e＜1）‎ 准线 x=±‎ y=±‎ ‎　‎ ‎23．双曲线的简单性质 ‎【知识点的知识】‎ 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 ‎（a＞0，b＞0）‎ ‎（a＞0，b＞0）‎ 图形 性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0）‎ F1（0，﹣c），F2（0，c） ‎ 焦距 ‎|F1F2|=2c a2+b2=c2‎ 范围 ‎|x|≥a，y∈R ‎|y|≥a，x∈R 对称 关于x轴，y轴和原点对称 顶点 ‎（﹣a，0）．（a，0）‎ ‎（0，﹣a）（0，a）‎ 轴 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e=（e＞1）‎ 准线 x=±‎ y=±‎ 渐近线 ‎±=0‎ ‎±=0‎ ‎　‎ ‎24．直线与圆锥曲线的关系 ‎【直线与圆锥曲线的关系】‎ ‎ 直线与圆锥曲线的关系主要是相不相交，交点个数为多少，由此而引出的圆锥曲线到直线的距离，圆锥曲线与直线相切，直线截圆锥曲线的线段长度等问题，是高考的一个重点，也是高考的一个难点．下面简单的说一个例题供大家参悟．‎ ‎【例题讲解】‎ 例：已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．‎ ‎（1）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线；‎ ‎（2）当m=﹣时，过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M，Q不重合） 试问：直线MQ与x轴的交点是否为定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由．‎ ‎ 解：（1）设点C（x，y），由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），‎ 得：，化简得：﹣mx2+y2=1（x≠0）．‎ 当m＜﹣1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，﹣1）两点；‎ 当m=﹣1时，轨迹E表示以（0，0）为圆心，半径是1的圆，且除去（0，1），（0，﹣1）两点；‎ 当﹣1＜m＜0时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，﹣1）两点；‎ 当m＞0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去（0，1），（0，﹣1）两点．‎ ‎（2）当m=﹣时，曲线E的方程为．‎ 由题意可知直线l的斜率存在切不等于0，则可设l：y=k（x﹣1），‎ 再设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x2，﹣y2） （x1≠x2）．‎ 联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．‎ ‎∴，‎ ‎∵M，Q不重合，则x1≠x2，y1≠﹣y2．‎ ‎∴MQ所在直线方程为，‎ 令y=0，得=‎ ‎=．‎ ‎∴直线MQ过定点（2，0）．‎ ‎ 这个题符合高考的一贯命题思路，先求曲线表达式，第二问讨论的是直线与点的关系，严格的来说线段也可以说是点的关系．解题思路就是应用韦达定理，把直线的自变量和因变量都用x1，x2和参数k表示，然后看自变量和因变量的关系，应该说思路不难，难点在于计算，这也告诉大家，要解决好这类题，计算能力必须加强，另外，考的时候尽量合理利用时间．‎ ‎【考点点评】‎ ‎ 本考点是非常重要的一个考点，基本上都是作为压轴题的形式在考试中出现，解决这类题除了掌握常用的一些方法外，还需要加强计算的能力，在考试当中尽量的多拿分．‎ ‎　‎ ‎25．直线与平面垂直的判定 ‎【知识点的认识】‎ 直线与平面垂直：‎ ‎ 如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．‎ 直线与平面垂直的判定：‎ ‎（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．‎ ‎（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．‎ ‎（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．‎ ‎　‎ ‎26．用空间向量求平面间的夹角 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、用空间向量求平面间夹角的方法：‎ 设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则 ‎（1）当0≤＜，＞≤，θ=＜，＞，此时cosθ=cos＜，＞=．‎ ‎（2）当＜＜，＞≤π时，θ=cos（π﹣＜，＞）=﹣cos＜，＞=﹣=．‎ ‎2、用空间向量直线与平面所成角的求法：‎ ‎（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．‎ ‎（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ=|cos φ|=．‎ ‎　‎ ‎27．与圆有关的比例线段 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、相交弦定理 ‎ ‎ 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． ‎ ‎2、割线定理 ‎ ‎ 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．‎ ‎3、切割线定理 ‎ ‎ 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． ‎ ‎4、切线长定理 ‎ ‎ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎ 相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这四个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理以及圆内接四边形的性质定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题． ‎ ‎ 因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到两条割线要想到割线定理；见到切线和割线要想到切割线定理．‎ ‎　‎ ‎28．简单曲线的极坐标方程 ‎【知识点的认识】‎ 一、曲线的极坐标方程 ‎ 定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）=0有如下关系 ‎（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）=0；‎ ‎（2）以方程f（ρ，θ）=0的所有解为坐标的点都在曲线C上．‎ ‎ 则曲线C的方程是f（ρ，θ）=0．‎ 二、求曲线的极坐标方程的步骤：‎ 与直角坐标系里的情况一样 ‎①建系 （适当的极坐标系）‎ ‎②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）‎ ‎③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式） ‎ ‎④将等式坐标化 ‎⑤化简 （此方程f（ρ，θ）=0即为曲线的方程）‎ 三、圆的极坐标方程 ‎（1）圆心在极点，半径为r，ρ=r．‎ ‎（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．‎ ‎ ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）=r2．‎ 四、直线的极坐标方程 ‎（1）过极点，θ=θ0（ρ∈R）‎ ‎（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ=a ‎（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ=a ‎（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）=ρ1sin（α﹣θ1）‎ 五、直线的极坐标方程步骤 ‎1、据题意画出草图；‎ ‎2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；‎ ‎3、连接MO；‎ ‎4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；‎ ‎5、检验并确认所得的方程即为所求．‎ ‎　‎ ‎29．双曲线的参数方程 ‎【知识点的认识】‎ 直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程 轨迹 普通方程 参数方程 直线 y﹣y0=tan α（x﹣x0）‎ ‎（t为参数）‎ 圆 ‎（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2‎ ‎（θ为参数）‎ 椭圆 ‎+=1（a＞b＞0）‎ ‎（θ为参数）‎ 双曲线 ‎﹣=1‎ ‎（θ为参数）‎ 抛物线 y2=2px（p＞0）‎ ‎（t为参数）‎ ‎【解题思路点拨】‎ ‎1．选取参数时的一般原则是：‎ ‎（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；‎ ‎（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；‎ ‎（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．‎ ‎2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：‎ ‎（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；‎ ‎（2）选择适当的参数；‎ ‎（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；‎ ‎（4）证明（常常省略）．‎ ‎3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：‎ ‎（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|=|t1﹣t2|；‎ ‎（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2=0；‎ ‎（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M=tM=．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则tP=．‎ ‎4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2=1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．‎ ‎5．参数方程与普通方程互化时，要注意：‎ ‎（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；‎ ‎（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；‎ ‎（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．‎ ‎6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．‎ ‎7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．‎ ‎8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．‎ ‎　‎