中考高分的十八个关节 关节 审题与解法探寻的策略

中考高分的十八个关节 关节 审题与解法探寻的策略

‎ 关节八 ‎ 审题与解法探寻的策略 任何一个解题过程都可分为两大环节，第一个环节是“解法的思考与形成”第二个环节是“解法的实施”。越是思维含量大与能力要求高的题目，越重在第一个环节。‎ 审题与解法的探寻是构成第一个环节的两个步骤或说两个侧面，它们各有侧重但又密不可分，我们只是为了更好地进行分析和说明问题，才把二者分开来论述。‎ 一、 审题的策略 ‎1、研究背景 ‎ 绝大多数的数学题目，在已给的条件中都蕴含了结论的成立或不成立，即使是探究型的题目，要探究出的结论也必以条件为发生的根据。而题目所给的背景，就是最重要的条件，所以研究“背景”是获得解法的前提和启动器。‎ 例1 如图，已知。‎ A B C ‎（1）请你在BC边上分别取两点D，E，（BC的中点除外）连结AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形。‎ A B C D E ‎（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明 ‎【观察与思考】研究背景 对于（1），通过画草图，如图（1`），其中除了外，还有五个三角形，它们由顶点A引的高都相等，易知只有在“”的条件下，才能确保图中“只存在两对面积相等的三角形”。‎ 对于（2），要证明，由“要证线段的不等应借于三角形中三边 的关系”这一基本认识，结合（1`）中的，立刻想到将平移至 （1`）‎ ‎，再进行推导。‎ 解：（1）略；‎ ‎（2）证明：如图（1``），分别过点D，B作CA，EA的平行线，‎ 两线交于F点，DF与AB交于G点。‎ A B C D E F G 在和中，又有，‎ ‎ ‎ 在中，，‎ 在中，，‎ ‎。 （1``）‎ 即 ‎【说明】对于（2）的如上的证法，是以对（1）的基础上背景图形（1`）特点的深入认识和对“用三角形三边的关系证线段的不等关系”这一基本模式的深刻掌握，才自然而顺利地形成的。‎ 例2 一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完预计的购机款61000元，设购进A型手机部，B型手机部，三款手机的进价和预售价如下表：‎ 手机型号 A型 B型 C型 进价（单位：元/部）‎ ‎900‎ ‎1200‎ ‎1100‎ 预售价（单位：元/部）‎ ‎1200‎ ‎1600‎ ‎1300‎ ‎ （1）用含，的式子表示购进C型手机的部数； ‎ ‎（2）求出与之间的函数关系式；‎ ‎（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购进这批手机过程中需另外 支出各种费用共1500元。‎ ‎①求出预估利润（元）与（部）的函数关系式；（注：预估利润=预售总额—购机款—各种费用）。‎ ‎②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部？‎ ‎【观察与思考】梳理本题的数量关系背景：‎ 背景一：三款手机的进价和预售价（如题中的表所示）‎ 背景二：购进A型、B型、C型三款手机共60部，即；‎ 背景三：购进60部手机恰好用61000元，即；‎ 对以上三方面的背景进一步研究，可知：‎ Ⅰ、对于问题（1），由背景二即可明确解答。‎ Ⅱ、对于问题（2），显然单由背景二不能解决，若将背景二和背景三相结合，则两个交量（和），在两个关系中（背景二和背景三所确定的两个等量关系），便相依存地联系在了一起，——这正是我们在函数部分指出的建立函数关系的第三条途径，——通过等式导出函数关系式。‎ Ⅲ、对于问题（3），有了问题（1）、（2）的解决，再根据背景三，可由“直接列式法”写出与的函数关系式进而解决最大利润问题。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）由题意和（1）得：，‎ 从中可导出：‎ ‎（3）由①题意，得，‎ 整理得 ‎②购进C型手机部数为：，根据题意列不等式组得 ‎，‎ ‎ 解得 的范围为，且为整数，‎ 是的一次函数，随的增大而增大。‎ 当取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元。‎ 此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部。‎ ‎【说明】由本题可以看出，只有全面而深入地研究背景，把握每一背景的作用和互相结合的意义，才有助于正确而快速地获得问题的解决方法。‎ ‎ 从背景的本质特征，背景的构成层次与相互关系诸方面将其研究透彻，是审题的根本任务，也是解法获得的基础。‎ ‎2、研究“过程 ‎ 有的题目的条件或背景的一部分表现为一种活动过程，而在题目的呈现中，这样的“过程”只是被描述出，或部分呈现出，其全部的意义和性质，大都隐含在“过程”之中，在此情况下，深入而全面地研究“过程”，便是解法获得的关键。‎ A B Ⅰ 例3 如图，边长为1的等边三角形位于坐标系中的Ⅰ的位置，AB在轴上，点A与原点O重合，现将在轴上向右滑动地连续翻转，第次翻转后变换到的位置记为，则的坐标为 。‎ ‎【观察与思考】 对于的连续翻转过程做如下的研究：‎ 研究Ⅰ：在图上画出更多的后续过程，如图（1`）‎ 研究Ⅱ：找出点的坐标在翻转过程中的变化规律，由（1`）可以看出：‎ ‎（）当为整数，下同时，的坐标为）‎ ‎（）当或2）时，的坐标为；‎ 而的坐标为即（）。‎ A B Ⅰ 解：应填（）‎ ‎ （1`）‎ ‎【说明】题目所给的图示，不足以形成对规律的观察和归纳，因此从以上两个角度深化对“过程”的研究，促成了规律的得到和解法的形成。‎ 例4 如图（1）和（2），在等腰梯形ABCD中，AB//DC，。等腰直角三角形 的斜边A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动， ‎ 等腰直角三角形沿AB所在直线以的速度向右移动，直到点N与点B重合为止。‎ A B C D ‎（N）‎ P M A B C D P M ‎（N）‎ 设当等腰直角三角形移动时，等腰直角三角形与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式。‎ ‎ （1） （2）‎ ‎【观察与思考】第一，研究背景图形：‎ Ⅰ、等腰直角三角形的数量与位置（略）‎ Ⅱ、等腰梯形ABCD的形状、数量和位置（略）‎ Ⅲ、两个图形的初始位置关系（略）‎ 第二，研究运动的全过程：‎ P M ‎（N）‎ A B C D Ⅰ、从图形上感知运动的全过程：‎ P M N A B C D P M N A B C D N B C P M A D B ‎ ‎ ‎ （1）‎ ‎ （2） （3）‎ N ‎（B）‎ C P M ‎（A）‎ D ‎ ‎ ‎ （4） （5）‎ Ⅱ、在观察的基础上总结规律：‎ ‎ 可以看到重叠部分形状的变化，在和相交时均为等腰直角三角形；在和相交时，均为等腰梯形，因此，重叠部分面积的计算应分相应的两段进行，而两段分界的时间就是过点D的时刻。‎ Ⅲ、确定出分界的时刻：‎ 在图（6）中，过D作，交于点，作交MB于点。易知：当点移动到时，‎ A B C D P M ‎（N）‎ 移动到D，即和DC交于点D，而，可知过点D的时刻为。‎ ‎ （6）‎ 这样，在时，重叠部分的图形为等腰直角三角形，时，重叠部分的图形为等腰梯形，分别计算面积即可。‎ 简解：当（如 图（2）‎ 当时，（见图（4），为平行四边形，‎ ‎，‎ 为等腰梯形ABCD的高），易知，‎ ‎ 当 ‎ 当 ‎【说明】当整个过程出现不同的制式或不同的对应规则时，必须分段处理，但为什么分段和如何分段正是建立在对“过程”深入而全面研究的基础上的。‎ ‎ 当一个题目和“过程”相关时，必须全面深入地去研究“过程”这是审题活动不可或缺的一部分。‎ 二、关于解法的探寻 ‎ 解法的探寻是解题活动的中心，它是相关知识与思考策略正确使用及结合的产物，其表现形式丰富多彩，且常因人而异，我们只能择其要者和常用的方法提供给同学们参考。‎ ‎1、向基本模型和基本模式化归 ‎ 我们所学的数学知识，集中体现为一些基本模型，如“方程模型”、“函数模型”、“直角三角形模型”、“相似三角形模型”等，以及一些基本模式，如数、式的算法和公式 ，基本图形的基本性质和图形关系等。几乎所有的数学问题都要化归到这些基本模型或基本模式才能解决。因此，“将问题化归到基本模型或基本模式”就是最高超的数学能力，当然也是解法探寻最为重要的思考策略。‎ 例1 在某次数字变换游戏中，我们把整数称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以100，所得到的数称为“新数”。‎ ‎（1）请把旧数80和26按照上述规则变换为新数；‎ ‎（2）经过上述变换后，我们发现许多旧数变小，有有断言：“按照上述变换规则，所有的新数都不等于它的旧数”。你认为这种说法对吗？若不对，请求出所有不符合这一说法的旧数；‎ ‎（3）请求出按照上述规则变换后减小了最多的旧数（要写出解答过程）‎ ‎【观察与思考】对于 （1），按规定计算即可；‎ 对于（2），应化归到方程来解决；‎ 对于（3），为了建立旧数与所变新数之间的差和旧数之间的对应关系，当然要引入“函数”。‎ 解：‎ ‎（2）不对，设这个数为，满足即。‎ 解得。不符合这一说法的旧数有0和100。‎ ‎（3）设旧数为，变换后减少的最为，则 时，有最大值25，即变换后减少最多的旧数是50。‎ ‎【说明】在这里，正是由于正确而及时地将问题化归到方程和函数，才使问题获得规范而迅速的解决。‎ A B C D 例2 如图，在矩形ABCD中，线段，在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH，矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形。令当为何值时矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？‎ ‎ 【观察与思考】在我们搞清楚题目背景和要解决的问题之后 ，自然地就会形成 E F M N G H 如下的几点认识：‎ 第一， 在本题，矩形EMNH的边EM被另一边MN所决定，因而其面积也 就被边MN所决定，也就是说，矩形EMNH的面积是其一边“MN的函数”，‎ 本题就是研究这个函数的“最值”问题的，因此，必须先把这个函数求出来。‎ 第二，由矩形MFGN∽矩形，可知，这样，‎ 矩形EMNH中应有：，因此，矩形EMNH的面积S关于MN的函数表达式容易建立起来。‎ ‎——解决的方法就这样确立了出来。‎ 解：设MN的长为，则由矩形MFGN∽矩形，得，即 ‎。‎ 当MN的长为时，矩形EMNH的最大值为。‎ ‎【说明】认识到这是函数，然后建立函数，再利用函数性质（这不就是函数“三个支点”吗？）正是恰当地运用了“函数模型”使本题解答自然流畅，简易明快。‎ A D C B M N 例3 如图，在梯形中，分别是的中点，若与互余，则与 的关系是（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ A D C B M N F E ‎ 【观察与思考】充分审题后知道应把互补的两角集中于一个三角形中，为此将AB平移至DE处，如图（1`），则易知中，MN平移至DF处，则 ‎， （1`）‎ 即F为斜边CE的中点，当然有 ‎。也即有。‎ 解：应选C。‎ ‎【说明】在这里，根据题目背景，认识到并实施化归到“直角三角形”是关键。‎ A D B C E 例4 现有一张矩形纸片如图（1），其中，点E是BC的中点，实施操作：将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形内，记为点。‎ ‎（1）请用尺规，在图中作出（保留作图痕迹）‎ ‎（2）试求两点之间的距离。 （1）‎ ‎【观察与思考】点易作出，要求线段长度，立刻想到寻找 相关的直角三角形。‎ 解：（1）可以从关于对称来作，也可以从来作，作法略，如图（1`）‎ A D B C E C F ‎（2）。‎ ‎。‎ 在中，。 （1`）‎ 两点之间的距离为。‎ ‎【说明】为求，始终把寻找相关的直角三角形作为思考的指导。‎ 例5 如图，在中，，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的长度的最小值是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ A B C D A B C Q P ‎ （1`）‎ ‎ （1）‎ ‎【观察与思考】过直角 顶点C且与斜边AB相切的圆有无数多个，最小的就是以斜边上的高为直径的圆，即PQ的最小值应等于斜边上的高，因此，本题归于图（1`）这样的基本模式，即求斜边上的高CD的长。‎ 解：应选：B 。‎ ‎【说明】将图（1）和原问题化归到图（1`）这样的基本模式，转化为求CD的长，就是本题获解的最佳通道。‎ 由以上几例可以看出：‎ Ⅰ、化归到基本模型或基本模式，是解法探究的第一指导思想，是最重要的思考策略，是最大的“巧”！‎ Ⅱ、化归意识的强烈，化归方法的有效落实，是以对“方程”、“函数”、“直角三角形”、“相似三角形”等这些模型，和一系列的模式的意义和作用，有深刻认识把握为基础的，达到“似非方程，却恰当地运用方程”，“似非函数，却恰当地运用函数”，“似无直角三角形，却恰当地造出并用直角三角形”，表面上不是某个模式，却恰当地归入并运用这一模式，达到这样的程度，就标志着对知识的掌握上升到了本质和原理的水平。这正是每一个学习者应当追求的目标。‎ ‎2、把“特殊与一般的关系”用活，用足 特殊与一般的关系是人们认识事物、解决问题最常用的思维方法。在我们探究数学问题的解法时，它同样发挥着至关重要的作用。‎ ‎（1）注意从背景中的“特殊点”切入 ‎ 我们知道，在平行四边形的背景下若附加“对角线互相垂直”，它就成了菱形，若附加更特殊的条件“对角线互相垂直且相等”。它就成了正方形，可知，越是特殊的条件，越体现着事物的特殊性，而越是特殊的东西范围越小，相对的就越好解决。‎ A B C D F G E 例6 已知：如图，在梯形中，，点分别在边上，。‎ ‎（1）求证：四边形是平行四边形；‎ ‎（2）当时，求证：四边形是矩形。‎ ‎【观察与思考】在四边形是等腰梯形的大背景下，对于（1），‎ 就要从“”这个附加的特殊条件切入，去推得 且。‎ 对于（2），就要从更特殊的附加条件“”切入，而为了应用“2倍角”这个关系，想到作于H（如图（1`），目的是将平分，构造出等角和直角三角形。‎ A B C D F G E H 证明：（1）在梯形中，。‎ ‎。 （1`）‎ 即又 四边形是平行四边形。‎ ‎（2）过点G作，垂足为H，（如图（1`）‎ ‎。‎ 平行四边形是矩形。‎ ‎【说明】由本例可以看出，最特殊的条件，常常正好是解法探寻的入口处。‎ ‎（2）善于借特殊窥测一般，解决一般 B C A M N ‎（D）‎ E）‎ O）‎ A C M N D E B 例7 如图，在中，分别是的中点，为上的点，连结，若则图中阴影部分的面积为 。‎ ‎ （1`）‎ ‎ （1）‎ ‎【观察与思考】在本题，的三边是确定的，点的位置是确定的，而在上且，‎ 但两点的位置不确定，它们在满足上述条件下是可以在上移动的，这个移动不影响阴影部分面积的大小。现考虑将原图换成图（1`）那样的特殊情况，即E为的中点，D重合于点B，此时立刻看出，‎ 即。‎ 解：应填30 。‎ 例8 现有若干张边长不相等但都大于4的正方形纸片，从中任选一张，如图（1），从距离正方形的四个顶点2处，沿角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是 ；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？ 。‎ ‎ （1） （1`）‎ ‎【观察与思考】若将阴影部分的正方形沿原正方形纸片的对角线平移，使两顶点到正方形纸片两邻边上，如图（1`），立刻看到阴影正方形的边长为，所有有：‎ 解：阴影部分正方形面积为 ；所得阴影正方形是定值：都等于。‎ ‎（3）正向思考与逆向思考的转化 例 12如图，在中，分别以为边在BC的同侧作等边三角形，等边三角形，等边三角形。‎ ‎（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；‎ ‎（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）‎ ‎①当满足 条件时，四边形DAEF是矩形；‎ ‎②当满足 条件时，四边形DAEF是菱形；‎ D B A E F C ‎③当满足 条件时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在。‎ ‎【观察与思考】对于（1），通过证明可推得 解：（1）和都是等边三角形 又，‎ 同理 四边形ADFE是平行四边形 ‎【观察与思考】对于（2），应逆过来思考，即从结论出发寻找条件。‎ 若，则需 若则需，但又不等于BC。‎ 因当时，DAEF在一条直线上，已不构成四边形—— 这正是（3）的情况。‎ 解：（2）①；②；③，且；‎ ‎【说明】象本题中对（2）的思考，就是运用了“逆向”的形式，当由结论探寻其成立的条件时，常常用这种方法。不过在运用逆向思考得到结果后，还需正过来进行验证。‎ 以上列举的事实可以看到：‎ ‎ 获得问题解法的主要思考策略是：‎ Ⅰ、化归到基本模型或基本模式；‎ Ⅱ、用活，用足特殊与一般的关系；‎ Ⅲ、从等价、数与形、正向逆向三个角度考虑将问题转化。‎ ‎ ‎ ‎ 练习题 A D C B E G F H ‎1、如图，等腰梯形中，，点E是线段AD上的一个动点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点。‎ ‎（1）试探索四边形EGFH的形状，并说明理由。‎ ‎（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？并加以证明。‎ ‎（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，‎ 并证明你的结论。‎ A B C D ‎2、如图，在等腰直角三角形ABC中，，AD为的平分线。‎ 求。 ‎ ‎3、如图（1），在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分交BD于点F。‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）点从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点从点A出发，沿着BA的延长线运动，点与点的运动速度相同，当动点停止动动时，另一动点也随之停止运动，如图（2），平分，交BD于点，过点作，垂足为，请猜想，与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；‎ A B C D C A ‎（3）在（2）的条件下，当时，求BD的长。‎ A B C D E F ‎ （2）‎ ‎ （1）‎ ‎4、如图，正方形ABCD的边长是，一个边长为的小正方形沿着正方形ABCD的边 A B C D A AB BC CD DA AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（ ）‎ A A A A ‎ A B C D ‎5、如图（1），在边长为的正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，它们从点A，点C同时出发，沿对角线以的相同速度运动，过E作EH垂直AC交的直角边于H；过F作FG垂直AC交的直角边于G，连结HG，EB。设围成的图形面积为，‎ 围成的图形面积为（这里规定：线段的面积为0），E到达C，F到达A停止，若E的运动时间为，解答下列问题：‎ A B C D E F G H B ‎（1）当时，直接写出以为顶点的四边形是什么四边形，并求为何值时，‎ ‎（2）①若是和的和，求与之间的函数关系式。‎ ‎ ②求的最大值。‎ ‎6、给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是给定矩形“加倍”矩形，如图，矩形，矩形是ABCD的“加倍”矩形。‎ A B C D 长：4‎ 宽：3‎ 长：12‎ 宽：2‎ 请你解决下列问题：‎ ‎（1）边长为的正方形存在“加倍”正方形吗？如果存在，求出“加倍”正方形的长，如果不存在，说明理由。‎ ‎（2）当矩形的长和宽分别为5，12时，它是否存在“加倍”矩形？并说明理由。‎ ‎7、如图，是两个半圆，点为大半圆的圆心，AB是大半圆与半圆直径平行的弦，与小半圆相切，且。‎ 问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由。‎ A B O ‎8、如图，正方形ABCD的边长为，两动点E，F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿BC，DE运动，与相应的在运动过程中始终保持，对应边在一直线上。‎ ‎（1）若求DH的长。‎ A B C D D D E F G H ‎（2）当E点在BC边上的什么位置时，的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值。‎ A B C D E O ‎9、如图，已知内接于⊙，AB是直径，D，是BC的中点，连结DO并延长到E，使，探究：当等于多少度时，四边形是菱形，写出结论给出证明。‎ ‎ ‎